Grupo simétrico

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones básicas Subgrupo Subgrupo normal Acción grupal Grupo de cocientes Producto (semi) directo Suma directa Producto gratuito Producto de corona Homomorfismos de grupo núcleo imagen simple finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Grupo cíclico Z n Grupo simétrico S n Grupo alterno A n Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p -grupo Grupo abeliano elemental Grupo de Frobenius Multiplicador de Schur Clasificación de grupos finitos simples cíclico alterno Tipo de mentira esporádico
Grupos discretos Celosías Números enteros (${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo libre Grupos modulares LPS(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) SL(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de Lie Solenoide Círculo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En álgebra abstracta , el grupo simétrico definido sobre cualquier conjunto es el grupo cuyos elementos son todas las biyecciones del conjunto sobre sí mismo, y cuya operación de grupo es la composición de funciones . En particular, el grupo simétrico finito definido sobre un conjunto finito de símbolos consiste en las permutaciones que se pueden realizar sobre los símbolos. ^[1] Puesto que existen ( factorialmente ) tales operaciones de permutación, el orden (número de elementos) del grupo simétrico es .${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle n!}$

Aunque los grupos simétricos pueden definirse sobre conjuntos infinitos , este artículo se centra en los grupos simétricos finitos: sus aplicaciones, sus elementos, sus clases de conjugación , una presentación finita , sus subgrupos , sus grupos de automorfismos y su teoría de representación . En el resto de este artículo, "grupo simétrico" significará un grupo simétrico sobre un conjunto finito.

El grupo simétrico es importante para diversas áreas de las matemáticas, como la teoría de Galois , la teoría de invariantes , la teoría de representación de los grupos de Lie y la combinatoria . El teorema de Cayley establece que cada grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico en (el conjunto subyacente de) .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

El grupo simétrico de un conjunto finito es el grupo cuyos elementos son todos funciones biyectivas de a y cuya operación de grupo es la de composición de funciones . ^[1] Para los conjuntos finitos, "permutaciones" y "funciones biyectivas" se refieren a la misma operación, a saber, reordenamiento. El grupo simétrico de grado es el grupo simétrico del conjunto .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$

El grupo simétrico de un conjunto se denota de varias maneras, incluyendo , , , y . ^[1] Si es el conjunto , entonces el nombre puede abreviarse como , , o . ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {S} _{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$${\displaystyle \Sigma _{X}}$${\displaystyle X!}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$

Los grupos simétricos en conjuntos infinitos se comportan de manera bastante diferente a los grupos simétricos en conjuntos finitos y se analizan en (Scott 1987, cap. 11), (Dixon y Mortimer 1996, cap. 8) y (Cameron 1999).

El grupo simétrico de un conjunto de elementos tiene orden (el factorial de ). ^[2] Es abeliano si y solo si es menor o igual a 2. ^[3] Para y (el conjunto vacío y el conjunto singleton ), los grupos simétricos son triviales (tienen orden ). El grupo S _n es resoluble si y solo si . Esta es una parte esencial de la demostración del teorema de Abel-Ruffini que muestra que para cada hay polinomios de grado que no son resolubles por radicales, es decir, las soluciones no se pueden expresar realizando un número finito de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces sobre los coeficientes del polinomio.${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle 0!=1!=1}$${\displaystyle n\leq 4}$${\displaystyle n>4}$${\displaystyle n}$

El grupo simétrico sobre un conjunto de tamaño n es el grupo de Galois del polinomio general de grado n y juega un papel importante en la teoría de Galois . En la teoría de invariantes , el grupo simétrico actúa sobre las variables de una función multivariante, y las funciones que quedan invariantes son las llamadas funciones simétricas . En la teoría de representación de los grupos de Lie , la teoría de representación del grupo simétrico juega un papel fundamental a través de las ideas de los funtores de Schur .

En la teoría de grupos de Coxeter , el grupo simétrico es el grupo de Coxeter de tipo A _n y se presenta como el grupo de Weyl del grupo lineal general . En combinatoria , los grupos simétricos, sus elementos ( permutaciones ) y sus representaciones proporcionan una rica fuente de problemas que involucran tablas de Young , monoides plácticos y el orden de Bruhat . Los subgrupos de grupos simétricos se denominan grupos de permutación y se estudian ampliamente debido a su importancia para comprender las acciones de grupo , los espacios homogéneos y los grupos de automorfismos de grafos , como el grupo de Higman-Sims y el grafo de Higman-Sims .

Los elementos del grupo simétrico de un conjunto X son las permutaciones de X.

La operación de grupo en un grupo simétrico es la composición de funciones, denotada por el símbolo ∘ o simplemente por una composición de las permutaciones. La composición f ∘ g de las permutaciones f y g , pronunciada " f de g ", asigna cualquier elemento x de X a f ( g ( x )). Concretamente, sea (ver permutación para una explicación de la notación):

${\displaystyle f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.}$

Al aplicar f después de g, 1 se asigna primero a 2 y luego a sí mismo; 2 a 5 y luego a 4; 3 a 4 y luego a 5, y así sucesivamente. Por lo tanto, al componer f y g se obtiene

${\displaystyle fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.}$

Un ciclo de longitud L = k · m , llevado a la k -ésima potencia, se descompondrá en k ciclos de longitud m : Por ejemplo, ( k = 2 , m = 3 ),

${\displaystyle (1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).}$

Para comprobar que el grupo simétrico de un conjunto X es de hecho un grupo , es necesario verificar los axiomas de grupo de cierre, asociatividad, identidad e inversas. ^[4]

1. La operación de composición de funciones está cerrada en el conjunto de permutaciones del conjunto dado X.
2. La composición de funciones siempre es asociativa.
3. La biyección trivial que asigna cada elemento de X a sí mismo sirve como identidad para el grupo.
4. Toda biyección tiene una función inversa que deshace su acción y, por lo tanto, cada elemento de un grupo simétrico tiene una inversa que también es una permutación.

Una transposición es una permutación que intercambia dos elementos y mantiene todos los demás fijos; por ejemplo, (1 3) es una transposición. Toda permutación puede escribirse como un producto de transposiciones; por ejemplo, la permutación g de arriba puede escribirse como g = (1 2)(2 5)(3 4). Dado que g puede escribirse como un producto de un número impar de transposiciones, se denomina entonces permutación impar , mientras que f es una permutación par.

La representación de una permutación como producto de transposiciones no es única; sin embargo, el número de transposiciones necesarias para representar una permutación dada es siempre par o siempre impar. Existen varias demostraciones breves de la invariancia de esta paridad de una permutación.

El producto de dos permutaciones pares es par, el producto de dos permutaciones impares es par y todos los demás productos son impares. Así podemos definir el signo de una permutación:

${\displaystyle \operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\text{if }}f{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

Con esta definición,

${\displaystyle \operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\ }$

es un homomorfismo de grupo ({+1, −1} es un grupo bajo multiplicación, donde +1 es e, el elemento neutro ). El núcleo de este homomorfismo, es decir, el conjunto de todas las permutaciones pares, se llama grupo alternante A _n . Es un subgrupo normal de S _n , y para n ≥ 2 tiene n !/2 elementos. El grupo S _n es el producto semidirecto de A _n y cualquier subgrupo generado por una sola transposición.

Además, cada permutación puede escribirse como un producto de transposiciones adyacentes , es decir, transposiciones de la forma ( a a +1) . Por ejemplo, la permutación g de arriba también puede escribirse como g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5) . El algoritmo de ordenamiento bubble sort es una aplicación de este hecho. La representación de una permutación como un producto de transposiciones adyacentes tampoco es única.

Un ciclo de longitud k es una permutación f para la cual existe un elemento x en {1, ..., n } tal que x , f ( x ), f ² ( x ), ..., f ^k ( x ) = x son los únicos elementos movidos por f ; convencionalmente se requiere que k ≥ 2 ya que con k = 1 el elemento x tampoco se movería. La permutación h definida por

${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}}$

es un ciclo de longitud tres, ya que h (1) = 4 , h (4) = 3 y h (3) = 1 , dejando 2 y 5 intactos. Denotamos tal ciclo por (1 4 3) , pero podría escribirse igualmente (4 3 1) o (3 1 4) comenzando en un punto diferente. El orden de un ciclo es igual a su longitud. Los ciclos de longitud dos son transposiciones. Dos ciclos son disjuntos si tienen subconjuntos disjuntos de elementos. Los ciclos disjuntos conmutan : por ejemplo, en S ₆ existe la igualdad (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3) . Cada elemento de S _n puede escribirse como un producto de ciclos disjuntos; esta representación es única hasta el orden de los factores y la libertad presente en la representación de cada ciclo individual eligiendo su punto de partida.

Los ciclos admiten la siguiente propiedad de conjugación con cualquier permutación , esta propiedad se utiliza a menudo para obtener sus generadores y relaciones.${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ldots \end{pmatrix}}}$

Ciertos elementos del grupo simétrico de {1, 2, ..., n } son de particular interés (éstos pueden generalizarse al grupo simétrico de cualquier conjunto finito totalmente ordenado, pero no al de un conjunto desordenado).

ElLa permutación de inversión de orden es la dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.}$

Este es el único elemento máximo con respecto al orden de Bruhat y el elemento más largo del grupo simétrico con respecto al conjunto generador que consiste en las transposiciones adyacentes ( i i +1) , 1 ≤ i ≤ n − 1 .

Esta es una involución y consta de transposiciones (no adyacentes).${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle (1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ or }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}{\text{ adjacent transpositions: }}}$

${\displaystyle (n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,}$

Así que tiene el signo:

${\displaystyle \mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

que es 4-periódico en n .

En S _{2 n} , la mezcla perfecta es la permutación que divide el conjunto en 2 pilas y las intercala. Su signo también es${\displaystyle (-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.}$

Nótese que la inversa en n elementos y la mezcla perfecta en 2 n elementos tienen el mismo signo; estos son importantes para la clasificación de las álgebras de Clifford , que son 8-periódicas.

Las clases de conjugación de S _n corresponden a los tipos de ciclo de las permutaciones; es decir, dos elementos de S _n son conjugados en S _n si y solo si consisten en el mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S ₅ , (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no lo son. Un elemento conjugado de S _n se puede construir en "notación de dos líneas" colocando las "notaciones de ciclo" de las dos permutaciones conjugadas una encima de la otra. Continuando con el ejemplo anterior, que se puede escribir como el producto de ciclos como (2 4). Esta permutación relaciona entonces (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) mediante conjugación, es decir, Está claro que dicha permutación no es única.$${\displaystyle k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle (2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$$

Las clases de conjugación de S _n corresponden a particiones enteras de n : a la partición μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k ) con y μ ₁ ≥ μ ₂ ≥ ... ≥ μ _k , se asocia el conjunto C _μ de permutaciones con ciclos de longitudes μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k . Entonces C _μ es una clase de conjugación de S _n , cuyos elementos se dice que son de tipo ciclo .${\textstyle n=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}}$${\displaystyle \mu }$

Los grupos simétricos de bajo grado tienen una estructura más simple y excepcional y, a menudo, deben tratarse por separado.

S0 y _S1​

Los grupos simétricos en el conjunto vacío y el conjunto singleton son triviales, lo que corresponde a 0! = 1! = 1 . En este caso, el grupo alternante concuerda con el grupo simétrico, en lugar de ser un subgrupo de índice 2, y la función de signos es trivial. En el caso de S ₀ , su único miembro es la función vacía .

S ₂

Este grupo consta exactamente de dos elementos: la identidad y la permutación que intercambia los dos puntos. Es un grupo cíclico y, por tanto, abeliano . En la teoría de Galois , esto corresponde al hecho de que la fórmula cuadrática da una solución directa al polinomio cuadrático general después de extraer solo una raíz. En la teoría invariante , la teoría de la representación del grupo simétrico en dos puntos es bastante simple y se considera que escribe una función de dos variables como una suma de sus partes simétricas y antisimétricas: Fijando f _s ( x , y ) = f ( x , y ) + f ( y , x ) , y f _a ( x , y ) = f ( x , y ) − f ( y , x ) , se obtiene que 2⋅ f = f _s + f _a . Este proceso se conoce como simetrización .

S ₃

S ₃ es el primer grupo simétrico no abeliano. Este grupo es isomorfo al grupo diedro de orden 6 , el grupo de simetrías de reflexión y rotación de un triángulo equilátero , ya que estas simetrías permutan los tres vértices del triángulo. Los ciclos de longitud dos corresponden a reflexiones, y los ciclos de longitud tres son rotaciones. En la teoría de Galois, la función de signos de S ₃ a S ₂ corresponde a la resolución cuadrática de un polinomio cúbico , como descubrió Gerolamo Cardano , mientras que el núcleo A ₃ corresponde al uso de la transformada discreta de Fourier de orden 3 en la solución, en forma de resolventes de Lagrange . ^{[ cita requerida ]}

S ₄

El grupo S4 es isomorfo al grupo de rotaciones propias sobre caras opuestas, diagonales opuestas y aristas opuestas, 9, 8 y 6 permutaciones, del cubo . ^[5] Más allá del grupo A ₄ , S ₄ tiene un cuatrigrupo de Klein V como subgrupo normal propio , es decir, las transposiciones pares {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, con cociente S ₃ . En la teoría de Galois , esta función corresponde a la resolución cúbica de un polinomio cuártico , que permite resolver el cuártico por radicales, como lo estableció Lodovico Ferrari . El grupo de Klein puede entenderse en términos de los resolventes de Lagrange del cuártico. La función de S ₄ a S ₃ también produce una representación irreducible bidimensional, que es una representación irreducible de un grupo simétrico de grado n de dimensión inferior a n − 1 , lo que solo ocurre para n = 4 .

S ₅

S ₅ es el primer grupo simétrico no resoluble. Junto con el grupo lineal especial SL(2, 5) y el grupo icosaédrico A ₅ × S ₂ , S ₅ es uno de los tres grupos no resolubles de orden 120, salvo isomorfismo. S ₅ es el grupo de Galois de la ecuación quintica general , y el hecho de que S ₅ no sea un grupo resoluble se traduce en la inexistencia de una fórmula general para resolver polinomios quinticos por radicales. Existe una aplicación de inclusión exótica S ₅ → S ₆ como subgrupo transitivo; la aplicación de inclusión obvia S _n → S _{n +1} fija un punto y, por lo tanto, no es transitiva. Esto produce el automorfismo externo de S ₆ , que se analiza a continuación, y corresponde al séxtico resolutivo de una quintica.

S ₆

A diferencia de todos los demás grupos simétricos, S ₆ , tiene un automorfismo externo . Usando el lenguaje de la teoría de Galois , esto también puede entenderse en términos de resolventes de Lagrange . El resolvente de un quíntico es de grado 6—esto corresponde a una función de inclusión exótica S ₅ → S ₆ como un subgrupo transitivo (la función de inclusión obvia S _n → S _{n +1} fija un punto y por lo tanto no es transitiva) y, mientras que esta función no hace que el quíntico general sea resoluble, produce el automorfismo externo exótico de S ₆ —ver Automorfismos de los grupos simétricos y alternantes para más detalles.

Nótese que si bien A ₆ y A ₇ tienen un multiplicador de Schur excepcional (una triple cobertura ) y que estos se extienden a las triples coberturas de S ₆ y S ₇ , estas no corresponden a multiplicadores de Schur excepcionales del grupo simétrico.

Aparte de la aplicación trivial S _n → C ₁ ≅ S ₀ ≅ S ₁ y la aplicación de signos S _n → S ₂ , los homomorfismos más notables entre grupos simétricos, en orden de dimensión relativa , son:

• S ₄ → S ₃ correspondiente al subgrupo normal excepcional V < A ₄ < S ₄ ;
• S ₆ → S ₆ (o más bien, una clase de tales mapas hasta el automorfismo interno) correspondiente al automorfismo externo de S ₆ .
• S ₅ → S ₆ como un subgrupo transitivo, produciendo el automorfismo externo de S ₆ como se discutió anteriormente.

También hay una gran cantidad de otros homomorfismos S _m → S _n donde m < n .

Para n ≥ 5 , el grupo alternante A _n es simple , y el cociente inducido es la función de signos: A _n → S _n → S ₂ que se descompone tomando una transposición de dos elementos. Por lo tanto, S _n es el producto semidirecto A _n ⋊ S ₂ , y no tiene otros subgrupos normales propios, ya que se intersectarían con A _n en la identidad (y, por lo tanto, serían ellos mismos la identidad o un grupo de 2 elementos, que no es normal), o en A _n (y, por lo tanto, serían ellos mismos A _n o S _n ).

S _n actúa sobre su subgrupo A _n por conjugación, y para n ≠ 6 , S _n es el grupo de automorfismos completo de A _n : Aut(A _n ) ≅ S _n . La conjugación por elementos pares son automorfismos internos de A _n mientras que el automorfismo externo de A _n de orden 2 corresponde a la conjugación por un elemento impar. Para n = 6 , hay un automorfismo externo excepcional de A _n por lo que S _n no es el grupo de automorfismos completo de A _n .

Por el contrario, para n ≠ 6 , S _n no tiene automorfismos externos, y para n ≠ 2 no tiene centro, por lo que para n ≠ 2, 6 es un grupo completo , como se analiza en el grupo de automorfismos, a continuación.

Para n ≥ 5 , S _n es un grupo casi simple , ya que se encuentra entre el grupo simple A _n y su grupo de automorfismos.

S _n se puede incorporar en A _{n +2} añadiendo la transposición ( n + 1, n + 2) a todas las permutaciones impares, mientras que la incorporación en A _{n +1} es imposible para n > 1 .

El grupo simétrico de n letras se genera por las transposiciones adyacentes que intercambian i e i + 1. [ ^6] La colección genera S _n sujeto a las siguientes relaciones: ^[7]${\displaystyle \sigma _{i}=(i,i+1)}$${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$

• ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1,}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$para , y${\displaystyle |i-j|>1}$
• ${\displaystyle (\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,}$

donde 1 representa la permutación identidad. Esta representación confiere al grupo simétrico la estructura de un grupo de Coxeter (y por tanto también de un grupo de reflexión ).

Otros conjuntos generadores posibles incluyen el conjunto de transposiciones que intercambian 1 e i por 2 ≤ i ≤ n , ^[8] o, de manera más general, cualquier conjunto de transposiciones que forme un gráfico conectado, ^[9] y un conjunto que contenga cualquier n -ciclo y un 2 -ciclo de elementos adyacentes en el n -ciclo. ^{[10] [11]}

Un subgrupo de un grupo simétrico se llama grupo de permutación .

Los subgrupos normales de los grupos simétricos finitos se entienden bien. Si n ≤ 2 , S _n tiene como máximo 2 elementos, y por lo tanto no tiene subgrupos propios no triviales. El grupo alterno de grado n es siempre un subgrupo normal, propio para n ≥ 2 y no trivial para n ≥ 3 ; para n ≥ 3 es de hecho el único subgrupo normal propio no trivial de S _n , excepto cuando n = 4 donde hay un subgrupo normal adicional, que es isomorfo al grupo de Klein cuatro .

El grupo simétrico de un conjunto infinito no tiene un subgrupo de índice 2, ya que Vitali (1915 ^[12] ) demostró que cada permutación puede escribirse como un producto de tres cuadrados. (Cualquier elemento al cuadrado debe pertenecer al subgrupo hipotético de índice 2, por lo tanto, también debe pertenecer el producto de cualquier número de cuadrados). Sin embargo, contiene el subgrupo normal S de permutaciones que fijan todos los elementos excepto un número finito, que se genera por transposiciones. Aquellos elementos de S que son productos de un número par de transposiciones forman un subgrupo de índice 2 en S , llamado subgrupo alterno A . Dado que A es un subgrupo característico par de S , también es un subgrupo normal del grupo simétrico completo del conjunto infinito. Los grupos A y S son los únicos subgrupos normales propios no triviales del grupo simétrico en un conjunto infinito numerable. Esto fue demostrado por primera vez por Onofri (1929 ^[13] ) e independientemente por Schreier - Ulam (1934 ^[14] ). Para más detalles, véase (Scott 1987, cap. 11.3) o (Dixon & Mortimer 1996, cap. 8.1).

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Los subgrupos maximales de S _n se dividen en tres clases: los intransitivos, los imprimitivos y los primitivos. Los subgrupos maximales intransitivos son exactamente aquellos de la forma S _k × S _{n – k} para 1 ≤ k < n /2 . Los subgrupos maximales imprimitivos son exactamente aquellos de la forma S _k wr S _{n / k} , donde 2 ≤ k ≤ n /2 es un divisor propio de n y "wr" denota el producto de corona . Los subgrupos maximales primitivos son más difíciles de identificar, pero con la ayuda del teorema de O'Nan-Scott y la clasificación de grupos simples finitos , (Liebeck, Praeger y Saxl 1988) dieron una descripción bastante satisfactoria de los subgrupos maximales de este tipo, según (Dixon y Mortimer 1996, p. 268).

Los subgrupos de Sylow de los grupos simétricos son ejemplos importantes de p -grupos . Se describen más fácilmente en casos especiales primero:

Los p -subgrupos de Sylow del grupo simétrico de grado p son simplemente los subgrupos cíclicos generados por p -ciclos. Existen ( p − 1)!/( p − 1) = ( p − 2)! tales subgrupos simplemente contando generadores . Por lo tanto, el normalizador tiene orden p ⋅( p − 1) y se conoce como un grupo de Frobenius F _{p ( p −1)} (especialmente para p = 5 ), y es el grupo lineal general afín , AGL(1, p ) .

Los p -subgrupos de Sylow del grupo simétrico de grado p ² son el producto en corona de dos grupos cíclicos de orden p . Por ejemplo, cuando p = 3 , un 3-subgrupo de Sylow de Sym(9) es generado por a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9) y los elementos x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9) , y cada elemento del 3-subgrupo de Sylow tiene la forma a ⁱ x ^j y ^k z ^l para ⁠ ⁠${\displaystyle 0\leq i,j,k,l\leq 2}$ .

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado p ⁿ a veces se denotan W _p ( n ), y usando esta notación se tiene que W _p ( n + 1) es el producto de corona de W _p ( n ) y W _p (1).

En general, los p -subgrupos de Sylow del grupo simétrico de grado n son un producto directo de a _i copias de W _p ( i ), donde 0 ≤ a _i ≤ p − 1 y n = a ₀  +  p ⋅ a ₁  + ... +  p ^k ⋅ a _k (la expansión base p de n ).

Por ejemplo, W ₂ (1) = C ₂ y W ₂ (2) = D ₈ , el grupo diedro de orden 8 , y por lo tanto un 2-subgrupo de Sylow del grupo simétrico de grado 7 es generado por { (1,3)(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) } y es isomorfo a D ₈ × C ₂ .

Estos cálculos se atribuyen a (Kaloujnine 1948) y se describen con más detalle en (Rotman 1995, p. 176). Sin embargo, cabe señalar que (Kerber 1971, p. 26) atribuye el resultado a un trabajo de Cauchy de 1844 y menciona que incluso se trata en forma de libro de texto en (Netto 1882, §39–40).

Un subgrupo transitivo de S _n es un subgrupo cuya acción sobre {1, 2, ,...,  n } es transitiva . Por ejemplo, el grupo de Galois de una extensión de Galois ( finita ) es un subgrupo transitivo de S _n , para algún n .

Un subgrupo de S _n que se genera por transposiciones se denomina subgrupo de Young . Todos ellos tienen la forma donde es una partición entera de n . Estos grupos también pueden caracterizarse como subgrupos parabólicos de S _n cuando se lo considera como un grupo de reflexión .${\displaystyle S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{\ell }}}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{\ell })}$

El teorema de Cayley establece que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de algún grupo simétrico. En particular, se puede tomar un subgrupo del grupo simétrico sobre los elementos de G , ya que cada grupo actúa sobre sí mismo fielmente por multiplicación (izquierda o derecha).

Los grupos cíclicos son aquellos que se generan por una única permutación. Cuando una permutación se representa en notación de ciclos, el orden del subgrupo cíclico que genera es el mínimo común múltiplo de las longitudes de sus ciclos. Por ejemplo, en S ₅ , un subgrupo cíclico de orden 5 es generado por (13254), mientras que los subgrupos cíclicos más grandes de S ₅ son generados por elementos como (123)(45) que tienen un ciclo de longitud 3 y otro ciclo de longitud 2. Esto descarta muchos grupos como posibles subgrupos de grupos simétricos de un tamaño dado. ^{[ cita requerida ]} Por ejemplo, S ₅ no tiene ningún subgrupo de orden 15 (un divisor del orden de S ₅ ), porque el único grupo de orden 15 es el grupo cíclico. El mayor orden posible de un subgrupo cíclico (equivalentemente, el mayor orden posible de un elemento en S _n ) viene dado por la función de Landau .

Para n ≠ 2, 6 , S _n es un grupo completo : su centro y su grupo de automorfismo externo son ambos triviales.

Para n = 2 , el grupo de automorfismos es trivial, pero S ₂ no es trivial: es isomorfo a C ₂ , que es abeliano, y por lo tanto el centro es todo el grupo.

Para n = 6 , tiene un automorfismo externo de orden 2: Out(S ₆ ) = C ₂ , y el grupo de automorfismos es un producto semidirecto Aut(S ₆ ) = S ₆ ⋊ C ₂ .

De hecho, para cualquier conjunto X de cardinalidad distinta de 6, todo automorfismo del grupo simétrico en X es interno, un resultado debido en primer lugar a (Schreier y Ulam 1936) según (Dixon y Mortimer 1996, p. 259).

La homología de grupo de S _n es bastante regular y se estabiliza: la primera homología (concretamente, la abelianización ) es:

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{cases}}}$

El primer grupo de homología es la abelianización, y corresponde a la función de signo S _n → S ₂ que es la abelianización para n ≥ 2; para n < 2 el grupo simétrico es trivial. Esta homología se calcula fácilmente de la siguiente manera: S _n se genera por involuciones (2-ciclos, que tienen orden 2), por lo que las únicas funciones no triviales S _n → C _p son con S ₂ y todas las involuciones son conjugadas, por lo tanto, se asignan al mismo elemento en la abelianización (ya que la conjugación es trivial en los grupos abelianos). Por lo tanto, las únicas funciones posibles S _n → S ₂ ≅ {±1} envían una involución a 1 (la función trivial) o a −1 (la función de signo). También se debe demostrar que la función de signo está bien definida, pero suponiendo que así sea, esto da la primera homología de S _n .

La segunda homología (concretamente, el multiplicador de Schur ) es:

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

Esto se calculó en (Schur 1911) y corresponde a la doble cobertura del grupo simétrico , 2 · S _n .

Nótese que la homología excepcional de baja dimensión del grupo alternante ( que corresponde a la abelianización no trivial, y debido a la excepcional cobertura triple) no cambia la homología del grupo simétrico; los fenómenos del grupo alternante producen fenómenos de grupo simétrico – el mapa se extiende a y las coberturas triples de A ₆ y A ₇ se extienden a las coberturas triples de S ₆ y S ₇ – pero estos no son homológicos – el mapa no cambia la abelianización de S ₄ , y las coberturas triples tampoco corresponden a la homología.${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3},}$${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6},}$${\displaystyle \mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3},}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}}$

La homología se "estabiliza" en el sentido de la teoría de homotopía estable : existe un mapa de inclusión S _n → S _{n +1} , y para k fijo , el mapa inducido en homología H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} ) es un isomorfismo para n suficientemente alto . Esto es análogo a la homología de familias de grupos de Lie que se estabilizan.

La homología del grupo simétrico infinito se calcula en (Nakaoka 1961), y el álgebra de cohomología forma un álgebra de Hopf .

La teoría de representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de representación de grupos finitos , para la que se puede obtener una teoría concreta y detallada. Ésta tiene un amplio campo de aplicaciones potenciales, desde la teoría de funciones simétricas hasta problemas de mecánica cuántica para un número de partículas idénticas .

El grupo simétrico S _n tiene orden n !. Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de  n . Por lo tanto, según la teoría de representación de un grupo finito, el número de representaciones irreducibles no equivalentes , sobre los números complejos , es igual al número de particiones de  n . A diferencia de la situación general para los grupos finitos, de hecho existe una forma natural de parametrizar la representación irreducible por el mismo conjunto que parametriza las clases de conjugación, es decir, por particiones de n o, equivalentemente, diagramas de Young de tamaño  n .

Cada una de estas representaciones irreducibles se puede realizar sobre los números enteros (cada permutación actúa mediante una matriz con coeficientes enteros); se puede construir explícitamente calculando los simetrizadores de Young que actúan sobre un espacio generado por las tablas de Young de forma dada por el diagrama de Young.

En otros cuerpos la situación puede volverse mucho más complicada. Si el cuerpo K tiene característica igual a cero o mayor que n entonces por el teorema de Maschke el álgebra de grupo K S _n es semisimple. En estos casos las representaciones irreducibles definidas sobre los enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción módulo característica si es necesario).

Sin embargo, las representaciones irreducibles del grupo simétrico no se conocen en una característica arbitraria. En este contexto es más habitual utilizar el lenguaje de módulos en lugar de representaciones. La representación obtenida a partir de una representación irreducible definida sobre los enteros mediante la reducción módulo la característica no será en general irreducible. Los módulos así construidos se denominan módulos de Specht , y todo irreducible surge dentro de algún módulo de este tipo. Ahora hay menos irreducibles, y aunque se pueden clasificar, se entienden muy mal. Por ejemplo, ni siquiera se conocen sus dimensiones en general.

La determinación de los módulos irreducibles para el grupo simétrico sobre un campo arbitrario se considera ampliamente como uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la representación.

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• "Grupo simétrico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Grupo simétrico". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Gráfico de grupo simétrico". MathWorld .
• Marcus du Sautoy: La simetría, el enigma de la realidad (video de una charla)
• Entradas de la OEIS que tratan del grupo simétrico