Wilson primo

En teoría de números , un primo de Wilson es un número primo que divide a , donde " " denota la función factorial ; compárese esto con el teorema de Wilson , que establece que todo primo divide a . Ambos llevan el nombre del matemático inglés del siglo XVIII John Wilson ; en 1770, Edward Waring atribuyó el teorema a Wilson, ^[1] aunque había sido enunciado siglos antes por Ibn al-Haytham . ^[2]${\estilo de visualización p}$$estilo de visualización p^{2}}$ ${\displaystyle (p-1)!+1}$${\estilo de visualización !}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle (p-1)!+1}$

Los únicos primos de Wilson conocidos son 5 , 13 y 563 (secuencia A007540 en la OEIS ). Costa et al. escriben que "el caso es trivial" y atribuyen la observación de que 13 es un primo de Wilson a Mathews (1892). ^{[3] [4]} Los primeros trabajos sobre estos números incluyeron búsquedas de NGWH Beeger y Emma Lehmer , ^{[5] [3] [6]} pero 563 no se descubrió hasta principios de la década de 1950, cuando se pudieron aplicar búsquedas por computadora al problema. ^{[3] [7] [8]} Si existen otros, deben ser mayores que 2 × 10 ¹³ . ^[3] Se ha conjeturado que existen infinitos primos de Wilson y que el número de primos de Wilson en un intervalo es aproximadamente . ^[9]${\displaystyle p=5}$${\estilo de visualización [x,y]}$${\displaystyle \log \log _{x}y}$

Se han realizado varias búsquedas en computadoras con la esperanza de encontrar nuevos primos de Wilson. ^{[10] [11] [12]} El proyecto de computación distribuida Ibercivis incluye una búsqueda de primos de Wilson. ^[13] Otra búsqueda fue coordinada en el foro Great Internet Mersenne Prime Search . ^[14]

El teorema de Wilson se puede expresar en general como para todo entero y primo . Los primos de Wilson generalizados de orden n son los primos p tales que dividen a .${\displaystyle (n-1)!(pn)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle p\geq n}$$estilo de visualización p^{2}}$${\displaystyle (n-1)!(pn)!-(-1)^{n}}$

Se conjetura que para cada número natural n , hay infinitos primos de Wilson de orden n .

Los primos de Wilson generalizados más pequeños de orden son:${\estilo de visualización n}$

Un primo que satisface la congruencia con pequeño puede llamarse primo casi de Wilson . Los primos casi de Wilson con son primos de Wilson auténticos. La tabla de la derecha enumera todos esos primos con desde 10${\estilo de visualización p}$ ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$${\estilo de visualización |B|}$${\estilo de visualización B=0}$${\displaystyle |B|\leq 100}$⁶ hasta 4 × 10¹¹ . ^[3]

Un número de Wilson es un número natural tal que , donde y donde el término es positivo si y solo si tiene una raíz primitiva y negativo en caso contrario. ^[15] Para cada número natural , es divisible por , y los cocientes (llamados cocientes de Wilson generalizados ) se enumeran en OEIS : A157249 . Los números de Wilson son${\estilo de visualización n}$${\displaystyle W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})}$$${\displaystyle W(n)=\pm 1+\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\mcd(k,n)=1}}{k},}$$${\displaystyle \pm 1}$ ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle W(n)}$${\estilo de visualización n}$

Si un número de Wilson es primo, entonces es un número de Wilson primo. Hay 13 números de Wilson hasta 5 × 10${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$⁸ . ^[16]

• Red principal
• Tabla de congruencias
• Muro–Sol–Sol principal
• Primer ministro de Wieferich
• Wolstenholme prima

• Crandall, Richard E.; Pomerance, Carl (2001). Números primos: una perspectiva computacional . Springer-Verlag. pág. 29. ISBN 978-0-387-94777-8.
• Pearson, Erna H. (1963). "Sobre las congruencias (p − 1)! ≡ −1 y 2p−1 ≡ 1 (mod p2)" (PDF) . Matemáticas. Computación . 17 : 194–195.

• Glosario de los números primos: Número primo de Wilson
• Weisstein, Eric W. "Wilson principal". MundoMatemático .
• Estado de la búsqueda de primos de Wilson