Oscilación

La oscilación es la variación repetitiva o periódica , generalmente en el tiempo , de alguna medida en torno a un valor central (a menudo un punto de equilibrio ) o entre dos o más estados diferentes. Algunos ejemplos conocidos de oscilación incluyen un péndulo oscilante y una corriente alterna . Las oscilaciones se pueden utilizar en física para aproximar interacciones complejas, como las que se dan entre átomos.

Las oscilaciones no sólo se producen en sistemas mecánicos, sino también en sistemas dinámicos en prácticamente todas las áreas de la ciencia: por ejemplo, el latido del corazón humano (para la circulación), los ciclos económicos en economía , los ciclos de población depredador-presa en ecología , los géiseres geotérmicos en geología , la vibración de las cuerdas de la guitarra y otros instrumentos de cuerda , la activación periódica de las células nerviosas en el cerebro y la hinchazón periódica de las estrellas variables cefeidas en astronomía . El término vibración se utiliza precisamente para describir una oscilación mecánica.

La oscilación, especialmente la oscilación rápida, puede ser un fenómeno indeseable en el control de procesos y la teoría de control (por ejemplo, en el control de modo deslizante ), donde el objetivo es la convergencia a un estado estable . En estos casos, se denomina vibración o aleteo, como en el caso del traqueteo de válvulas y el aleteo de rutas .

El sistema oscilante mecánico más simple es un peso unido a un resorte lineal sujeto únicamente a peso y tensión . Un sistema de este tipo puede ser aproximado a una mesa de aire o una superficie de hielo. El sistema está en un estado de equilibrio cuando el resorte está estático. Si el sistema se desplaza del equilibrio, hay una fuerza restauradora neta sobre la masa, que tiende a devolverla al equilibrio. Sin embargo, al mover la masa de regreso a la posición de equilibrio, ha adquirido un impulso que la mantiene en movimiento más allá de esa posición, estableciendo una nueva fuerza restauradora en el sentido opuesto. Si se agrega una fuerza constante como la gravedad al sistema, el punto de equilibrio se desplaza. El tiempo que tarda en ocurrir una oscilación a menudo se conoce como período oscilatorio .

Los sistemas en los que la fuerza restauradora sobre un cuerpo es directamente proporcional a su desplazamiento, como la dinámica del sistema masa-resorte, se describen matemáticamente mediante el oscilador armónico simple y el movimiento periódico regular se conoce como movimiento armónico simple . En el sistema masa-resorte, las oscilaciones se producen porque, en el desplazamiento de equilibrio estático , la masa tiene energía cinética que se convierte en energía potencial almacenada en el resorte en los extremos de su trayectoria. El sistema masa-resorte ilustra algunas características comunes de la oscilación, a saber, la existencia de un equilibrio y la presencia de una fuerza restauradora que se hace más fuerte cuanto más se desvía el sistema del equilibrio.

En el caso del sistema masa-resorte, la ley de Hooke establece que la fuerza restauradora de un resorte es:$${\displaystyle F=-kx}$$

Utilizando la segunda ley de Newton , se puede derivar la ecuación diferencial: donde$${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x,}$$${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$

La solución de esta ecuación diferencial produce una función de posición sinusoidal:$${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )}$$

donde ω es la frecuencia de la oscilación, A es la amplitud y δ es el desplazamiento de fase de la función. Estos valores están determinados por las condiciones iniciales del sistema. Como el coseno oscila entre 1 y −1 infinitamente, nuestro sistema de masa-resorte oscilaría entre la amplitud positiva y negativa para siempre sin fricción.

En dos o tres dimensiones, los osciladores armónicos se comportan de manera similar a los de una dimensión. El ejemplo más simple de esto es un oscilador isotrópico , donde la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento desde el equilibrio con la misma constante de restauración en todas las direcciones.$${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {r}}}$$

Esto produce una solución similar, pero ahora hay una ecuación diferente para cada dirección.$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A_{x}\cos(\omega t-\delta _{x}),\\y(t)&=A_{y}\cos(\omega t-\delta _{y}),\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$

En el caso de los osciladores anisotrópicos , las diferentes direcciones tienen constantes diferentes de fuerzas de restauración. La solución es similar a la de los osciladores isotrópicos, pero hay una frecuencia diferente en cada dirección. Variar las frecuencias entre sí puede producir resultados interesantes. Por ejemplo, si la frecuencia en una dirección es el doble que en otra, se produce un patrón en forma de ocho. Si la relación de frecuencias es irracional, el movimiento es cuasiperiódico . Este movimiento es periódico en cada eje, pero no es periódico con respecto a r, y nunca se repetirá. ^[1]

Todos los sistemas osciladores del mundo real son termodinámicamente irreversibles . Esto significa que existen procesos disipativos, como la fricción o la resistencia eléctrica , que convierten continuamente parte de la energía almacenada en el oscilador en calor en el entorno. Esto se denomina amortiguamiento. Por lo tanto, las oscilaciones tienden a decaer con el tiempo a menos que haya alguna fuente neta de energía en el sistema. La descripción más simple de este proceso de decaimiento se puede ilustrar mediante el decaimiento de la oscilación del oscilador armónico.

Los osciladores amortiguados se crean cuando se introduce una fuerza resistiva que depende de la primera derivada de la posición o, en este caso, de la velocidad. La ecuación diferencial creada por la segunda ley de Newton suma esta fuerza resistiva con una constante arbitraria b . Este ejemplo supone una dependencia lineal de la velocidad.$${\displaystyle m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0}$$

Esta ecuación se puede reescribir como antes: donde .$${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$${\estilo de texto 2\beta ={\frac {b}{m}}}$

Esto produce la solución general: donde .$${\displaystyle x(t)=e^{-\beta t}\left(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t}\right),}$$${\textstyle \omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

El término exponencial fuera del paréntesis es la función de decaimiento y β es el coeficiente de amortiguamiento. Existen 3 categorías de osciladores amortiguados: subamortiguados, donde β < ω ₀ ; sobreamortiguados, donde β > ω ₀ ; y críticamente amortiguados, donde β = ω ₀ .

Además, un sistema oscilante puede estar sujeto a alguna fuerza externa, como cuando un circuito de CA está conectado a una fuente de energía externa. En este caso, se dice que la oscilación está impulsada .

El ejemplo más simple de esto es un sistema de masa-resorte con una fuerza impulsora sinusoidal . donde$${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),}$$${\displaystyle f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta ).}$

Esto nos da la solución: donde y$${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )+A_{tr}\cos(\omega _{1}t-\delta _{tr}),}$$${\displaystyle A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}}}$${\displaystyle \delta =\tan ^{-1}\left({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)}$

El segundo término de x ( t ) es la solución transitoria de la ecuación diferencial. La solución transitoria se puede encontrar utilizando las condiciones iniciales del sistema.

Algunos sistemas pueden excitarse mediante la transferencia de energía del entorno. Esta transferencia ocurre típicamente cuando los sistemas están inmersos en algún flujo de fluido . Por ejemplo, el fenómeno del aleteo en aerodinámica ocurre cuando un desplazamiento arbitrariamente pequeño del ala de un avión (a partir de su equilibrio) da como resultado un aumento en el ángulo de ataque del ala sobre el flujo de aire y un aumento consecuente en el coeficiente de sustentación , lo que lleva a un desplazamiento aún mayor. En desplazamientos suficientemente grandes, la rigidez del ala domina para proporcionar la fuerza restauradora que permite una oscilación.

La resonancia se produce en un oscilador excitado amortiguado cuando ω = ω ₀ , es decir, cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia natural del sistema. Cuando esto ocurre, el denominador de la amplitud se minimiza, lo que maximiza la amplitud de las oscilaciones.

El oscilador armónico y los sistemas que modela tienen un solo grado de libertad . Los sistemas más complicados tienen más grados de libertad, por ejemplo, dos masas y tres resortes (cada masa está unida a puntos fijos y entre sí). En tales casos, el comportamiento de cada variable influye en el de las otras. Esto conduce a un acoplamiento de las oscilaciones de los grados de libertad individuales. Por ejemplo, dos relojes de péndulo (de frecuencia idéntica) montados en una pared común tenderán a sincronizarse. Este fenómeno fue observado por primera vez por Christiaan Huygens en 1665. ^[2] Los movimientos aparentes de las oscilaciones compuestas suelen parecer muy complicados, pero se da una descripción más económica, computacionalmente más simple y conceptualmente más profunda al resolver el movimiento en modos normales .

La forma más simple de osciladores acoplados es un sistema de 3 resortes y 2 masas, donde las masas y las constantes de los resortes son las mismas. Este problema comienza con la derivación de la segunda ley de Newton para ambas masas.$${\displaystyle {\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}\end{cases}}}$$

Las ecuaciones se generalizan luego en forma matricial. donde , , y$${\displaystyle F=M{\ddot {x}}=kx,}$$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle k={\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}}$

Los valores de k y m se pueden sustituir en las matrices.$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}=m_{2}=m,\;\;k_{1}=k_{2}=k_{3}=k,\\M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}},\;\;k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

Estas matrices ahora se pueden incorporar a la solución general. ^{[ aclaración necesaria ]}$${\displaystyle {\begin{alineado}\left(kM\omega ^{2}\right)a&=0\\{\begin{bmatrix}2k-m\omega ^{2}&-k\\-k&2k-m\omega ^{2}\end{bmatrix}}&=0\end{alineado}}}$$

El determinante de esta matriz produce una ecuación cuadrática.$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(3k-m\omega ^{2}\right)\left(km\omega ^{2}\right)=0\\&\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}},\;\;\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

Dependiendo del punto de partida de las masas, este sistema tiene 2 frecuencias posibles (o una combinación de las dos). Si las masas se ponen en marcha con sus desplazamientos en la misma dirección, la frecuencia es la de un sistema de una sola masa, porque el resorte central nunca se extiende. Si las dos masas se ponen en marcha en direcciones opuestas, la segunda frecuencia, más rápida, es la frecuencia del sistema. ^[1]

Casos más especiales son los osciladores acoplados, donde la energía se alterna entre dos formas de oscilación. Muy conocido es el péndulo de Wilberforce , donde la oscilación se alterna entre la elongación de un resorte vertical y la rotación de un objeto en el extremo de ese resorte.

Los osciladores acoplados son una descripción común de dos fenómenos relacionados, pero diferentes. Un caso es cuando ambas oscilaciones se afectan mutuamente, lo que generalmente conduce a la ocurrencia de un único estado de oscilación arrastrada, donde ambas oscilan con una frecuencia de compromiso . Otro caso es cuando una oscilación externa afecta a una oscilación interna, pero no se ve afectada por esta. En este caso, las regiones de sincronización, conocidas como Lenguas de Arnold , pueden conducir a fenómenos altamente complejos como, por ejemplo, dinámicas caóticas.

En física, un sistema con un conjunto de fuerzas conservativas y un punto de equilibrio se puede aproximar como un oscilador armónico cerca del equilibrio. Un ejemplo de esto es el potencial de Lennard-Jones , donde el potencial viene dado por:$${\displaystyle U(r)=U_{0}[\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{12}-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{6}\right]}$$

Los puntos de equilibrio de la función se encuentran entonces:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dr}}&=0=U_{0}\left[-12r_{0}^{12}r^{-13}+6r_{0}^{6}r^{-7}\right]\\\Flecha derecha r&\approx r_{0}\end{aligned}}}$$

Luego se encuentra la segunda derivada, que se utiliza como constante de potencial efectivo:$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\text{eff}}&=\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right|_{r=r_{0}}=U_{0}\left[12(13)r_{0}^{12}r^{-14}-6(7)r_{0}^{6}r^{-8}\right]\\[1ex]&={\frac {114U_{0}}{r^{2}}}\end{aligned}}}$$

El sistema sufrirá oscilaciones cerca del punto de equilibrio. La fuerza que crea estas oscilaciones se deriva de la constante de potencial efectiva anterior:$${\displaystyle F=-\gamma _{\text{eff}}(r-r_{0})=m_{\text{eff}}{\ddot {r}}}$$

Esta ecuación diferencial se puede reescribir en forma de un oscilador armónico simple:$${\displaystyle {\ddot {r}}+{\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}(r-r_{0})=0}$$

Por lo tanto, la frecuencia de las pequeñas oscilaciones es:$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}}={\sqrt {\frac {114U_{0}}{r^{2}m_{\text{eff}}}}}$$

O, en forma general ^[3]$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right\vert _{r=r_{0}}}}}$$

Esta aproximación se puede entender mejor si se observa la curva de potencial del sistema. Si se piensa en la curva de potencial como una colina, si se coloca una pelota en cualquier parte de la curva, la pelota rodará hacia abajo con la pendiente de la curva de potencial. Esto es así debido a la relación entre la energía potencial y la fuerza.$${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-F(r)}$$

Si pensamos en el potencial de esta manera, veremos que en cualquier mínimo local hay un "pozo" en el que la bola rodaría hacia atrás y hacia adelante (oscilaría) entre y . Esta aproximación también es útil para pensar en las órbitas de Kepler .${\displaystyle r_{\text{min}}}$${\displaystyle r_{\text{max}}}$

A medida que el número de grados de libertad se vuelve arbitrariamente grande, un sistema se acerca a la continuidad ; los ejemplos incluyen una cuerda o la superficie de una masa de agua . Dichos sistemas tienen (en el límite clásico ) un número infinito de modos normales y sus oscilaciones ocurren en forma de ondas que pueden propagarse de manera característica.

Las matemáticas de la oscilación tratan de la cuantificación de la cantidad en que una secuencia o función tiende a moverse entre extremos. Existen varias nociones relacionadas: oscilación de una secuencia de números reales , oscilación de una función de valor real en un punto y oscilación de una función en un intervalo (o conjunto abierto ).

• Oscilador de cristal

• Estrellas de neutrones
• Modelo cíclico

• Oscilación de partículas neutras , por ejemplo, oscilaciones de neutrinos.
• Oscilador armónico cuántico

• Oscilador de autómatas celulares

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• Medios relacionados con Oscilación en Wikimedia Commons
• Vibraciones Archivado el 14 de diciembre de 2010 en Wayback Machine  – un capítulo de un libro de texto en línea