Mecánica de medios continuos

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Mecánica de medios continuos
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Leyes de difusión de Fick
Leyes Conservaciones Masa Impulso Energía Desigualdades Clausius-Duhem (entropía)
Mecánica de sólidos Deformación Elasticidad lineal Plasticidad Ley de Hooke Estrés Cepa Deformación finita Deformación infinitesimal Compatibilidad Doblado Mecánica de contacto friccional Teoría de la falla del material Mecánica de fracturas
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Reología Viscoelasticidad Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

La mecánica de medios continuos es una rama de la mecánica que estudia la deformación y la transmisión de fuerzas a través de materiales modelados como un medio continuo (también llamado continuo ) en lugar de partículas discretas . El matemático francés Augustin-Louis Cauchy fue el primero en formular dichos modelos en el siglo XIX.

La mecánica de medios continuos se ocupa de cuerpos deformables , a diferencia de los cuerpos rígidos . Un modelo continuo supone que la sustancia del objeto llena por completo el espacio que ocupa. Si bien ignora el hecho de que la materia está hecha de átomos , esto proporciona una descripción suficientemente precisa de la materia en escalas de longitud mucho mayores que las de las distancias interatómicas. El concepto de un medio continuo permite un análisis intuitivo de la materia en masa mediante el uso de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de dicha materia de acuerdo con las leyes físicas , como la conservación de la masa , la conservación del momento y la conservación de la energía. La información sobre el material específico se expresa en relaciones constitutivas .

La mecánica de medios continuos trata las propiedades físicas de los sólidos y fluidos independientemente de cualquier sistema de coordenadas particular en el que se observen. Estas propiedades se representan mediante tensores , que son objetos matemáticos con la propiedad destacada de ser independientes de los sistemas de coordenadas. Esto permite la definición de propiedades físicas en cualquier punto del continuo, de acuerdo con funciones continuas matemáticamente convenientes . Las teorías de elasticidad , plasticidad y mecánica de fluidos se basan en los conceptos de la mecánica de medios continuos.

El concepto de un continuo es la base del marco matemático para estudiar fuerzas y deformaciones a gran escala en los materiales. Aunque los materiales están compuestos de átomos y moléculas discretos, separados por espacios vacíos o grietas microscópicas y defectos cristalográficos , los fenómenos físicos a menudo se pueden modelar considerando una sustancia distribuida a lo largo de alguna región del espacio. Un continuo es un cuerpo que se puede subdividir continuamente en elementos infinitesimales con propiedades materiales locales definidas en cualquier punto particular. Por lo tanto, las propiedades del material en masa se pueden describir mediante funciones continuas y su evolución se puede estudiar utilizando las matemáticas del cálculo .

Además del supuesto de continuidad, en el estudio de la mecánica de medios continuos se emplean a menudo otros dos supuestos independientes: la homogeneidad (suposición de propiedades idénticas en todas las posiciones) y la isotropía (suposición de propiedades vectoriales direccionalmente invariantes). ^[1] Si estos supuestos auxiliares no son aplicables globalmente, el material puede segregarse en secciones donde sean aplicables para simplificar el análisis. Para casos más complejos, se pueden descartar uno o ambos supuestos. En estos casos, a menudo se utilizan métodos computacionales para resolver las ecuaciones diferenciales que describen la evolución de las propiedades del material.

Un área adicional de la mecánica de medios continuos comprende las espumas elastoméricas , que presentan una curiosa relación hiperbólica de tensión-deformación. El elastómero es un verdadero continuo, pero una distribución homogénea de huecos le otorga propiedades inusuales. ^[2]

Los modelos de mecánica de medios continuos comienzan asignando una región en el espacio euclidiano tridimensional al cuerpo material que se está modelando. Los puntos dentro de esta región se denominan partículas o puntos materiales. Diferentes configuraciones o estados del cuerpo corresponden a diferentes regiones en el espacio euclidiano. La región correspondiente a la configuración del cuerpo en el momento se etiqueta como .${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Una partícula particular dentro del cuerpo en una configuración particular se caracteriza por un vector de posición

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},}$

donde son los vectores de coordenadas en algún marco de referencia elegido para el problema (ver figura 1). Este vector puede expresarse como una función de la posición de la partícula en alguna configuración de referencia , por ejemplo la configuración en el tiempo inicial, de modo que${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} ).}$

Esta función debe tener varias propiedades para que el modelo tenga sentido físico. debe ser:${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

• Continuo en el tiempo, de modo que el cuerpo cambia de una manera realista,
• globalmente invertible en todo momento, de modo que el cuerpo no puede intersecarse a sí mismo,
• preservación de la orientación , ya que las transformaciones que producen reflejos especulares no son posibles en la naturaleza.

Para la formulación matemática del modelo, también se supone que es dos veces continuamente diferenciable , de modo que se pueden formular ecuaciones diferenciales que describan el movimiento.${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

Un sólido es un cuerpo deformable que posee resistencia al corte, es decir, un sólido puede soportar fuerzas de corte (fuerzas paralelas a la superficie del material sobre el que actúan). Los fluidos, por otro lado, no soportan fuerzas de corte.

Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler , el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se supone que son de dos tipos: fuerzas superficiales y fuerzas corporales . ^[3] Así, la fuerza total aplicada a un cuerpo o a una porción del cuerpo puede expresarse como:${\displaystyle \mathbf {F} _{C}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{B}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{C}+\mathbf {F} _{B}}$

Las fuerzas superficiales o fuerzas de contacto , expresadas como fuerza por unidad de área, pueden actuar sobre la superficie límite del cuerpo, como resultado del contacto mecánico con otros cuerpos, o sobre superficies internas imaginarias que limitan porciones del cuerpo, como resultado de la interacción mecánica entre las partes del cuerpo a cada lado de la superficie ( principio de tensión de Euler-Cauchy ). Cuando un cuerpo es afectado por fuerzas de contacto externas, las fuerzas de contacto internas se transmiten de un punto a otro dentro del cuerpo para equilibrar su acción, de acuerdo con la tercera ley de movimiento de Newton de conservación del momento lineal y del momento angular (para cuerpos continuos estas leyes se denominan ecuaciones de movimiento de Euler ). Las fuerzas de contacto internas están relacionadas con la deformación del cuerpoa través de ecuaciones constitutivas . Las fuerzas de contacto internas pueden describirse matemáticamente por cómo se relacionan con el movimiento del cuerpo, independientemente de la composición material del cuerpo. ^{[ cita requerida ]}

Se supone que la distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo es continua. Por lo tanto, existe una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción de Cauchy ^[4] que representa esta distribución en una configuración particular del cuerpo en un momento dado . No es un campo vectorial porque depende no solo de la posición de un punto material particular, sino también de la orientación local del elemento de superficie definida por su vector normal . ^{[5] [ página necesaria ]}${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle t\,\!}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

Cualquier área diferencial con vector normal de un área de superficie interna dada , que delimita una porción del cuerpo, experimenta una fuerza de contacto que surge del contacto entre ambas porciones del cuerpo a cada lado de , y está dada por${\displaystyle dS\,\!}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle S\,\!}$${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$${\displaystyle S\,\!}$

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

donde es la tracción superficial , ^[6] también llamada vector de tensión , ^[7] tracción , ^{[8] [ página necesaria ]} o vector de tracción . ^[9] El vector de tensión es un vector indiferente al marco (ver principio de tensión de Euler-Cauchy ).${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

La fuerza de contacto total sobre la superficie interna particular se expresa entonces como la suma ( integral de superficie ) de las fuerzas de contacto sobre todas las superficies diferenciales :${\displaystyle S\,\!}$${\displaystyle dS\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

En mecánica de medios continuos, un cuerpo se considera libre de tensiones si las únicas fuerzas presentes son las fuerzas interatómicas ( fuerzas iónicas , metálicas y de van der Waals ) necesarias para mantener el cuerpo unido y conservar su forma en ausencia de todas las influencias externas, incluida la atracción gravitatoria. ^{[9] [10]} Las tensiones generadas durante la fabricación del cuerpo a una configuración específica también se excluyen al considerar las tensiones en un cuerpo. Por lo tanto, las tensiones consideradas en mecánica de medios continuos son solo las producidas por la deformación del cuerpo, es decir, solo se consideran los cambios relativos en la tensión, no los valores absolutos de la tensión.

Las fuerzas corporales son fuerzas que se originan en fuentes externas al cuerpo ^[11] y que actúan sobre el volumen (o masa) del cuerpo. Decir que las fuerzas corporales se deben a fuentes externas implica que la interacción entre diferentes partes del cuerpo (fuerzas internas) se manifiesta solo a través de las fuerzas de contacto. ^[6] Estas fuerzas surgen de la presencia del cuerpo en campos de fuerza, por ejemplo , campo gravitacional ( fuerzas gravitacionales ) o campo electromagnético ( fuerzas electromagnéticas ), o de fuerzas inerciales cuando los cuerpos están en movimiento. Como se supone que la masa de un cuerpo continuo se distribuye continuamente, cualquier fuerza que se origine en la masa también se distribuye continuamente. Por lo tanto, las fuerzas corporales se especifican mediante campos vectoriales que se supone que son continuos en todo el volumen del cuerpo, ^[12] es decir, que actúan sobre cada punto del mismo. Las fuerzas corporales se representan mediante una densidad de fuerza corporal(por unidad de masa), que es un campo vectorial indiferente al marco.${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$

En el caso de las fuerzas gravitacionales, la intensidad de la fuerza depende de la densidad de masa del material o es proporcional a ella, y se especifica en términos de fuerza por unidad de masa ( ) o por unidad de volumen ( ). Estas dos especificaciones están relacionadas a través de la densidad del material mediante la ecuación . De manera similar, la intensidad de las fuerzas electromagnéticas depende de la fuerza ( carga eléctrica ) del campo electromagnético.${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$${\displaystyle b_{i}\,\!}$${\displaystyle p_{i}\,\!}$${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo se expresa como

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo dan lugar a momentos de fuerza ( torques ) correspondientes con respecto a un punto determinado. Por lo tanto, el torque total aplicado con respecto al origen viene dado por${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

En ciertas situaciones, no consideradas comúnmente en el análisis del comportamiento mecánico de los materiales, se hace necesario incluir otros dos tipos de fuerzas: estas son las tensiones de par ^{[nota 1] [nota 2]} (pares de superficie, ^[11] pares de contacto) ^[12] y los momentos de cuerpo . Las tensiones de par son momentos por unidad de área aplicados sobre una superficie. Los momentos de cuerpo, o pares de cuerpo, son momentos por unidad de volumen o por unidad de masa aplicados al volumen del cuerpo. Ambos son importantes en el análisis de la tensión para un sólido dieléctrico polarizado bajo la acción de un campo eléctrico, materiales donde se toma en consideración la estructura molecular ( por ejemplo, huesos), sólidos bajo la acción de un campo magnético externo y la teoría de dislocación de metales. ^{[7] [8] [ página necesaria ] [11]}

Los materiales que presentan pares de fuerzas y tensiones de par además de momentos producidos exclusivamente por fuerzas se denominan materiales polares . ^{[8] [ página necesaria ] [12]} Los materiales no polares son entonces aquellos materiales con solo momentos de fuerzas. En las ramas clásicas de la mecánica de medios continuos el desarrollo de la teoría de tensiones se basa en materiales no polares.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) en el cuerpo se puede dar por

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo da como resultado un desplazamiento . El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación . Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. La deformación implica el cambio en la forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada a una configuración actual o deformada (Figura 2).${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

El movimiento de un cuerpo continuo es una secuencia temporal continua de desplazamientos. Por lo tanto, el cuerpo material ocupará distintas configuraciones en distintos momentos, de modo que una partícula ocupa una serie de puntos en el espacio que describen una línea de trayectoria.

Hay continuidad durante el movimiento o deformación de un cuerpo continuo en el sentido de que:

• Los puntos materiales que forman una curva cerrada en cualquier instante siempre formarán una curva cerrada en cualquier momento posterior.
• Los puntos materiales que forman una superficie cerrada en cualquier instante siempre formarán una superficie cerrada en cualquier momento posterior y la materia dentro de la superficie cerrada siempre permanecerá dentro.

Es conveniente identificar una configuración de referencia o condición inicial a partir de la cual se hagan referencias a todas las configuraciones subsiguientes. La configuración de referencia no tiene por qué ser necesariamente la que el cuerpo ocupará en algún momento. A menudo, la configuración en se considera la configuración de referencia . Los componentes del vector de posición de una partícula, tomados con respecto a la configuración de referencia, se denominan coordenadas materiales o de referencia.${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

Al analizar el movimiento o la deformación de sólidos, o el flujo de fluidos, es necesario describir la secuencia o evolución de las configuraciones a lo largo del tiempo. Una descripción del movimiento se realiza en términos de las coordenadas materiales o referenciales, denominada descripción material o descripción lagrangiana.

En la descripción lagrangiana, la posición y las propiedades físicas de las partículas se describen en términos de las coordenadas materiales o de referencia y del tiempo. En este caso, la configuración de referencia es la configuración en${\displaystyle t=0}$ . Un observador situado en el marco de referencia observa los cambios en la posición y las propiedades físicas a medida que el cuerpo material se mueve en el espacio a medida que avanza el tiempo. Los resultados obtenidos son independientes de la elección del tiempo inicial y de la configuración de referencia, . Esta descripción se utiliza normalmente en mecánica de sólidos .${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

En la descripción lagrangiana, el movimiento de un cuerpo continuo se expresa mediante la función de mapeo (Figura 2),${\displaystyle \chi (\cdot )}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

que es una representación de la configuración inicial sobre la configuración actual , dando una correspondencia geométrica entre ellas, es decir, dando el vector de posición que una partícula , con un vector de posición en la configuración no deformada o de referencia , ocupará en la configuración actual o deformada en el momento . Los componentes se denominan coordenadas espaciales.${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{i}}$

Las propiedades físicas y cinemáticas , es decir, las propiedades termodinámicas y la velocidad de flujo, que describen o caracterizan características del cuerpo material, se expresan como funciones continuas de la posición y el tiempo, es decir .${\displaystyle P_{ij\ldots }}$${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$

La derivada material de cualquier propiedad de un medio continuo, que puede ser un escalar, un vector o un tensor, es la tasa de cambio temporal de esa propiedad para un grupo específico de partículas del cuerpo continuo en movimiento. La derivada material también se conoce como derivada sustancial , derivada comóvil o derivada convectiva . Puede considerarse como la tasa a la que cambia la propiedad cuando la mide un observador que viaja con ese grupo de partículas.${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

En la descripción lagrangiana, la derivada material de es simplemente la derivada parcial con respecto al tiempo, y el vector de posición se mantiene constante ya que no cambia con el tiempo. Por lo tanto, tenemos${\displaystyle P_{ij\ldots }}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

La posición instantánea es una propiedad de una partícula y su derivada material es la velocidad de flujo instantánea de la partícula. Por lo tanto, el campo de velocidad de flujo del continuo viene dado por${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

De manera similar, el campo de aceleración está dado por

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

La continuidad en la descripción lagrangiana se expresa mediante la continuidad espacial y temporal de la aplicación desde la configuración de referencia hasta la configuración actual de los puntos materiales. Todas las magnitudes físicas que caracterizan el continuo se describen de esta manera. En este sentido, las funciones y son univaluadas y continuas, con derivadas continuas con respecto al espacio y al tiempo en cualquier orden que se requiera, generalmente en el segundo o tercer orden.${\displaystyle \chi (\cdot )}$${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$

La continuidad permite realizar el recorrido inverso de la partícula en la configuración inicial o de referencia , en este caso la descripción del movimiento se realiza en términos de coordenadas espaciales, en cuyo caso se denomina descripción espacial o descripción euleriana, es decir, se toma como configuración de referencia la configuración actual .${\displaystyle \chi (\cdot )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

La descripción euleriana, introducida por d'Alembert , se centra en la configuración actual , prestando atención a lo que está ocurriendo en un punto fijo en el espacio a medida que avanza el tiempo, en lugar de prestar atención a las partículas individuales a medida que se mueven a través del espacio y el tiempo. Este enfoque se aplica convenientemente en el estudio del flujo de fluidos donde la propiedad cinemática de mayor interés es la velocidad a la que se está produciendo el cambio en lugar de la forma del cuerpo de fluido en un tiempo de referencia. ^[14]${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Matemáticamente, el movimiento de un continuo utilizando la descripción euleriana se expresa mediante la función de aplicación

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

que proporciona un seguimiento de la partícula que ahora ocupa la posición en la configuración actual hasta su posición original en la configuración inicial .${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

Una condición necesaria y suficiente para que exista esta función inversa es que el determinante de la matriz jacobiana , a menudo denominada simplemente jacobiana, sea distinto de cero. Por lo tanto,

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

En la descripción euleriana, las propiedades físicas se expresan como${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

donde la forma funcional de en la descripción lagrangiana no es la misma que la forma de en la descripción euleriana.${\displaystyle P_{ij\ldots }}$${\displaystyle p_{ij\ldots }}$

La derivada material de , utilizando la regla de la cadena, es entonces${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

El primer término del lado derecho de esta ecuación da la tasa local de cambio de la propiedad que ocurre en la posición . El segundo término del lado derecho es la tasa de cambio convectivo y expresa la contribución de la partícula al cambiar de posición en el espacio (movimiento).${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

La continuidad en la descripción euleriana se expresa mediante la continuidad espacial y temporal y la diferenciabilidad continua del campo de velocidad del flujo. Todas las magnitudes físicas se definen de esta manera en cada instante de tiempo, en la configuración actual, en función de la posición del vector .${\displaystyle \mathbf {x} }$

El vector que une las posiciones de una partícula en la configuración no deformada y en la configuración deformada se denomina vector de desplazamiento , en la descripción lagrangiana, o , en la descripción euleriana.${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente realizar el análisis de la deformación o el movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas del material como

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

o en términos de las coordenadas espaciales como

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

donde son los cosenos directores entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales con vectores unitarios y , respectivamente. Por lo tanto${\displaystyle \alpha _{Ji}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

y la relación entre y viene dada entonces por${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle U_{J}}$

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

Sabiendo que

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

entonces

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones no deformadas y deformadas, lo que da como resultado , y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker , es decir${\displaystyle \mathbf {b} =0}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

Así pues, tenemos

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

o en términos de las coordenadas espaciales como

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

La mecánica de medios continuos estudia el comportamiento de los materiales que pueden considerarse continuos en determinadas escalas de longitud y tiempo. Las ecuaciones que rigen la mecánica de dichos materiales incluyen las leyes de equilibrio para la masa , el momento y la energía . Se necesitan relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas para completar el sistema de ecuaciones que rigen. Se pueden aplicar restricciones físicas a la forma de las relaciones constitutivas exigiendo que se cumpla la segunda ley de la termodinámica en todas las condiciones. En la mecánica de medios continuos de los sólidos, la segunda ley de la termodinámica se cumple si se cumple la forma de Clausius-Duhem de la desigualdad de la entropía.

Las leyes de equilibrio expresan la idea de que la tasa de cambio de una cantidad (masa, momento, energía) en un volumen debe surgir de tres causas:

1. La propia cantidad física fluye a través de la superficie que limita el volumen,
2. hay una fuente de la cantidad física en la superficie del volumen, o/y,
3. Hay una fuente de la cantidad física dentro del volumen.

Sea el cuerpo (un subconjunto abierto del espacio euclidiano) y sea su superficie (el límite de ).${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

Sea el movimiento de los puntos materiales en el cuerpo descrito por el mapa

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} )=\mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

donde es la posición de un punto en la configuración inicial y es la ubicación del mismo punto en la configuración deformada.${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

El gradiente de deformación viene dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}=\nabla \mathbf {x} ~.}$

Sea una cantidad física que fluye a través del cuerpo. Sea fuentes en la superficie del cuerpo y sea fuentes dentro del cuerpo. Sea la unidad exterior normal a la superficie . Sea la velocidad de flujo de las partículas físicas que transportan la cantidad física que fluye. Además, sea la velocidad a la que se mueve la superficie límite (en la dirección ).${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

Entonces, las leyes de equilibrio se pueden expresar en la forma general

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

Las funciones , , y pueden tener valores escalares, vectoriales o tensoriales, según la cantidad física con la que se trate la ecuación de equilibrio. Si existen límites internos en el cuerpo, las discontinuidades de salto también deben especificarse en las leyes de equilibrio.${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$

Si adoptamos el punto de vista euleriano , se puede demostrar que las leyes de equilibrio de masa, momento y energía para un sólido se pueden escribir como (asumiendo que el término fuente es cero para las ecuaciones de masa y momento angular)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

En las ecuaciones anteriores , es la densidad de masa (corriente), es la derivada temporal del material de , es la velocidad de la partícula, es la derivada temporal del material de , es el tensor de tensión de Cauchy , es la densidad de fuerza del cuerpo, es la energía interna por unidad de masa, es la derivada temporal del material de , es el vector de flujo de calor, y es una fuente de energía por unidad de masa. Los operadores utilizados se definen a continuación.${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\dot {\rho }}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\dot {e}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$

Con respecto a la configuración de referencia (el punto de vista lagrangiano), las leyes de equilibrio se pueden escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

En la imagen anterior, es el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff y es la densidad de masa en la configuración de referencia. El primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff está relacionado con el tensor de tensión de Cauchy por${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

Podemos definir alternativamente el tensor de tensión nominal que es la transpuesta del primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff tal que${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

Entonces las leyes del equilibrio se convierten en

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

Los operadores en las ecuaciones anteriores se definen como

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=v_{i,j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{i}=\sigma _{ij,j}~\mathbf {e} _{i}~.}$

donde es un campo vectorial, es un campo tensorial de segundo orden y son los componentes de una base ortonormal en la configuración actual. Además,${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{j}}}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}=v_{i,j}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial X_{j}}}~\mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~\mathbf {E} _{i}}$

donde es un campo vectorial, es un campo tensorial de segundo orden y son los componentes de una base ortonormal en la configuración de referencia.${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

El producto interno se define como

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}:{\boldsymbol {B}}=\sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=\operatorname {trace} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{T})~.}$

La desigualdad de Clausius-Duhem se puede utilizar para expresar la segunda ley de la termodinámica para materiales elastoplásticos. Esta desigualdad es una afirmación sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando interviene la disipación de energía.

Al igual que en las leyes de equilibrio de la sección anterior, suponemos que existe un flujo de una cantidad, una fuente de la cantidad y una densidad interna de la cantidad por unidad de masa. La cantidad de interés en este caso es la entropía. Por lo tanto, suponemos que existe un flujo de entropía, una fuente de entropía, una densidad de masa interna y una entropía interna específica (es decir, entropía por unidad de masa) en la región de interés.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \eta }$

Sea dicha región y sea su límite. Entonces, la segunda ley de la termodinámica establece que la tasa de aumento de en esta región es mayor o igual que la suma de la que se suministra a (como flujo o desde fuentes internas) y el cambio de la densidad de entropía interna debido al material que fluye dentro y fuera de la región.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \rho \eta }$

Dejemos que se mueva con una velocidad de flujo y que las partículas en el interior tengan velocidades . Sea la unidad normal hacia afuera a la superficie . Sea la densidad de materia en la región, el flujo de entropía en la superficie y la fuente de entropía por unidad de masa. Entonces la desigualdad de entropía puede escribirse como${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\bar {q}}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

El flujo de entropía escalar se puede relacionar con el flujo vectorial en la superficie mediante la relación . Suponiendo que las condiciones son isotérmicas de forma incremental, tenemos${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

donde es el vector de flujo de calor, es una fuente de energía por unidad de masa y es la temperatura absoluta de un punto material en el tiempo .${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle s}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle t}$

Tenemos entonces la desigualdad de Clausius-Duhem en forma integral:

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

Podemos demostrar que la desigualdad de entropía puede escribirse en forma diferencial como

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

En términos de la tensión de Cauchy y la energía interna, la desigualdad de Clausius-Duhem puede escribirse como

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

La validez de la hipótesis del continuo puede verificarse mediante un análisis teórico, en el que se identifique alguna periodicidad clara o exista homogeneidad estadística y ergodicidad de la microestructura . Más específicamente, la hipótesis del continuo depende de los conceptos de un volumen elemental representativo y separación de escalas basadas en la condición de Hill-Mandel. Esta condición proporciona un vínculo entre el punto de vista de un experimentalista y un teórico sobre ecuaciones constitutivas (campos elásticos/inelásticos o acoplados lineales y no lineales), así como una forma de promediar espacial y estadísticamente la microestructura. Cuando la separación de escalas no se cumple, o cuando se desea establecer un continuo de una resolución más fina que el tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que da como resultado campos continuos aleatorios. Estos últimos proporcionan entonces una base micromecánica para los elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica del continuo con la mecánica estadística . Experimentalmente, la RVE sólo se puede evaluar cuando la respuesta constitutiva es espacialmente homogénea.

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• "Objetividad en la mecánica clásica del medio continuo: Movimientos, funciones eulerianas y lagrangianas; Gradiente de deformación; Derivadas de Lie; Fórmula de adición de velocidad, Coriolis; Objetividad" por Gilles Leborgne, 7 de abril de 2021: "Parte IV Fórmula de adición de velocidad y objetividad" ^{[ enlace muerto permanente ]}