Cohomología de grupos

En matemáticas (más específicamente, en álgebra homológica ), la cohomología de grupos es un conjunto de herramientas matemáticas utilizadas para estudiar grupos utilizando la teoría de la cohomología , una técnica de la topología algebraica . De manera análoga a las representaciones de grupos , la cohomología de grupos analiza las acciones grupales de un grupo G en un G -módulo M asociado para dilucidar las propiedades del grupo. Al tratar el G -módulo como una especie de espacio topológico con elementos que representan n - símplices , se pueden calcular las propiedades topológicas del espacio, como el conjunto de grupos de cohomología . Los grupos de cohomología, a su vez, brindan información sobre la estructura del grupo G y el G -módulo M en sí mismos. La cohomología de grupos juega un papel en la investigación de puntos fijos de una acción de grupo en un módulo o espacio y el módulo o espacio cociente con respecto a una acción de grupo. La cohomología de grupos se utiliza en los campos del álgebra abstracta , el álgebra homológica , la topología algebraica y la teoría algebraica de números , así como en aplicaciones a la teoría de grupos propiamente dicha. Al igual que en la topología algebraica, existe una teoría dual llamada homología de grupos. Las técnicas de la cohomología de grupos también se pueden extender al caso en que, en lugar de un G -módulo, G actúe sobre un G -grupo no abeliano; en efecto, una generalización de un módulo a coeficientes no abelianos .$Estilo de visualización G^{n}}$$Estilo de visualización H^{n}(G,M)}$

Estas ideas algebraicas están estrechamente relacionadas con las ideas topológicas. La cohomología de grupo de un grupo discreto G es la cohomología singular de un espacio adecuado que tiene a G como su grupo fundamental , es decir, el espacio de Eilenberg–MacLane correspondiente . Por lo tanto, la cohomología de grupo de puede considerarse como la cohomología singular del círculo S ¹ . Asimismo, la cohomología de grupo de es la cohomología singular de ${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

Se sabe mucho sobre la cohomología de grupos, incluidas las interpretaciones de la cohomología de baja dimensión, la funtorialidad y cómo cambiar los grupos. El tema de la cohomología de grupos comenzó en la década de 1920, maduró a fines de la década de 1940 y continúa siendo un área de investigación activa en la actualidad.

Un paradigma general en la teoría de grupos es que un grupo G debe estudiarse a través de sus representaciones grupales . Una ligera generalización de esas representaciones son los G -módulos : un G -módulo es un grupo abeliano M junto con una acción grupal de G sobre M , donde cada elemento de G actúa como un automorfismo de M. Escribiremos G de forma multiplicativa y M de forma aditiva.

Dado un G -módulo M , es natural considerar el submódulo de G -elementos invariantes :

${\displaystyle M^{G}=\lbrace x\en M\ |\ \para todo g\en G:\ gx=x\rbrace .}$

Ahora bien, si N es un G -submódulo de M (es decir, un subgrupo de M mapeado a sí mismo por la acción de G ), no es cierto en general que los invariantes en se encuentren como el cociente de los invariantes en M por aquellos en N : ser invariante 'módulo N ' es más amplio. El propósito de la primera cohomología de grupos es medir con precisión esta diferencia.${\estilo de visualización M/N}$$Estilo de visualización H^{1}(G,N)}$

Los funtores de cohomología de grupo miden en general hasta qué punto la toma de invariantes no respeta las secuencias exactas . Esto se expresa mediante una secuencia exacta larga .$Estilo de visualización H*$

La colección de todos los G -módulos es una categoría (los morfismos son homomorfismos de grupo equivariantes , es decir homomorfismos de grupo f con la propiedad para todo g en G y x en M ). Enviar cada módulo M al grupo de invariantes produce un funtor de la categoría de G -módulos a la categoría Ab de grupos abelianos. Este funtor es exacto por la izquierda pero no necesariamente exacto por la derecha. Por lo tanto, podemos formar sus funtores derivados por la derecha . ^[a] Sus valores son grupos abelianos y se denotan por , "el n -ésimo grupo de cohomología de G con coeficientes en M ". Además, el grupo puede identificarse con .${\displaystyle f(gx)=g(f(x))}$$Estilo de visualización M^{G}}$$Estilo de visualización H^{n}(G,M)}$$Estilo de visualización H^{0}(G,M)}$$Estilo de visualización M^{G}}$

La definición que utiliza funtores derivados es conceptualmente muy clara, pero para aplicaciones concretas, los siguientes cálculos, que algunos autores también utilizan como definición, suelen ser útiles. ^[1] Para sea el grupo de todas las funciones desde hasta M (aquí significa ). Este es un grupo abeliano; sus elementos se denominan n -cocadenas (inhomogéneas) . Los homomorfismos colímite se definen por${\displaystyle n\geq 0,}$$Estilo de visualización C^{n}(G,M)}$$Estilo de visualización G^{n}}$${\estilo de visualización G^{0}}$${\displaystyle \nombre del operador {id} _{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n}).\end{cases}}}$

Se puede comprobar que esto define un complejo de cocadena cuya cohomología se puede calcular. Se puede demostrar que la definición antes mencionada de cohomología de grupo en términos de funtores derivados es isomorfa a la cohomología de este complejo.${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0,}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).}$

Aquí los grupos de n -cociclos y n -colímites, respectivamente, se definen como

${\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}$

${\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\nombre del operador {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}}$

Al interpretar los G -módulos como módulos sobre el anillo de grupo se puede observar que${\displaystyle \mathbb {Z} [G],}$

${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$

es decir, el subgrupo de elementos G -invariantes en M se identifica con el grupo de homomorfismos de , que se trata como el G -módulo trivial (cada elemento de G actúa como la identidad) a M .${\displaystyle \mathbb {Z}}$

Por lo tanto, como los funtores Ext son los funtores derivados de Hom , existe un isomorfismo natural

${\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).}$

Estos grupos Ext también pueden calcularse mediante una resolución proyectiva de , con la ventaja de que dicha resolución solo depende de G y no de M . Recordamos la definición de Ext de forma más explícita para este contexto. Sea F una resolución proyectiva (por ejemplo, una resolución libre ) del módulo trivial :${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

${\displaystyle \cdots \a F_{n}\a F_{n-1}\a \cdots \a F_{0}\a \mathbb {Z} \a 0.}$

Por ejemplo, siempre se puede tomar la resolución de anillos de grupo, con morfismos.${\displaystyle F_{n}=\mathbb {Z}[G^{n+1}],}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}}$

Recordemos que para los -módulos N y M , Hom _G ( N , M ) es un grupo abeliano que consiste en -homomorfismos de N a M . Dado que es un funtor contravariante e invierte las flechas, aplicar a F término por término y eliminar produce un complejo de cocadena :${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \operatorname {Hom}_{G}(-,M)}$${\displaystyle \operatorname {Hom}_{G}(-,M)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _ {G}(\mathbb {Z},M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)}$

${\displaystyle \cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.}$

Los grupos de cohomología de G con coeficientes en el módulo M se definen como la cohomología del complejo de cocadena anterior:${\displaystyle H^{*}(G,M)}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.}$

Esta construcción conduce inicialmente a un operador colimitante que actúa sobre las cocadenas "homogéneas". Estos son los elementos de , es decir, funciones que obedecen${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(F,M)}$${\displaystyle \phi _{n}\colon G^{n}\to M}$

${\displaystyle g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).}$

El operador colímite ahora se define naturalmente, por ejemplo,${\displaystyle \delta \colon C^{n}\to C^{n+1}}$

${\displaystyle \delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).}$

La relación con el operador de colímite d que se definió en la sección anterior, y que actúa sobre las cocadenas "inhomogéneas" , se da reparametrizando de modo que${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}}$

como en la sección anterior.

Además de la construcción de la cohomología de grupos, existe la siguiente definición de homología de grupos : dado un G -módulo M , se establece que DM es el submódulo generado por elementos de la forma g · m  −  m , g  ∈  G , m  ∈  M. Asignando a M sus denominadas coinvariantes , el cociente

${\displaystyle M_{G}:=M/DM,}$

es un funtor exacto derecho . Sus funtores derivados izquierdos son por definición el grupo de homología

${\displaystyle H_{n}(G,M).}$

El funtor covariante que asigna M _G a M es isomorfo al funtor que envía M a donde está dotado de la acción trivial G. ^[b] Por lo tanto, también se obtiene una expresión para la homología de grupo en términos de los funtores Tor ,${\displaystyle \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$

Tenga en cuenta que la convención de superíndice/subíndice para cohomología/homología concuerda con la convención para invariantes/coinvariantes de grupo, mientras que lo que se denota como "co-" cambia:

• Los superíndices corresponden a la cohomología H* y a los invariantes X ^G mientras que
• Los subíndices corresponden a la homología H _∗ y coinvariantes X _G  := X / G .

En concreto, los grupos de homología H _n ( G , M ) se pueden calcular de la siguiente manera. Empecemos con una resolución proyectiva F del módulo trivial como en la sección anterior. Apliquemos el funtor covariante a F término por término para obtener un complejo de cadena :${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \cdot \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M.}$

Entonces H _n ( G , M ) son los grupos de homología de este complejo de cadena, para n ≥ 0.${\displaystyle H_{n}(G,M)=H_{n}(F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M)}$

La homología y la cohomología de grupos pueden tratarse de manera uniforme para algunos grupos, especialmente grupos finitos , en términos de resoluciones completas y los grupos de cohomología de Tate .

La homología de grupo de los grupos abelianos G con valores en un dominio ideal principal k está estrechamente relacionada con el álgebra exterior . ^[c]${\displaystyle H_{*}(G,k)}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}(G\otimes k)}$

El primer grupo de cohomología es el cociente de los llamados homomorfismos cruzados , es decir, aplicaciones (de conjuntos) f  : G → M que satisfacen f ( ab ) = f ( a ) + af ( b ) para todo a , b en G , módulo los llamados homomorfismos cruzados principales , es decir, aplicaciones f  : G → M dadas por f ( g ) = gm − m para algún m ∈ M fijo . Esto se desprende de la definición de cocadenas anterior.

Si la acción de G sobre M es trivial , entonces lo anterior se reduce a H ¹ ( G , M ) = Hom( G , M ), el grupo de homomorfismos de grupo G → M , ya que los homomorfismos cruzados son entonces simplemente homomorfismos ordinarios y los colímites (es decir, los homomorfismos cruzados principales) deben tener una imagen idéntica a cero: por lo tanto, solo existe el colímite cero.

Por otra parte, considere el caso de donde denota la estructura no trivial en el grupo aditivo de los enteros, que envía a a -a para cada ; y donde consideramos como el grupo . Al considerar todos los casos posibles para las imágenes de , se puede ver que los homomorfismos cruzados constituyen todas las aplicaciones que satisfacen y para alguna elección arbitraria de entero t . Los homomorfismos cruzados principales deben satisfacer adicionalmente para algún entero m : por lo tanto, todo homomorfismo cruzado que envíe -1 a un entero par es principal y, por lo tanto:${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle \{1,-1\}}$${\displaystyle f_{t}:\{\pm 1\}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle f_{t}(1)=0}$${\displaystyle f_{t}(-1)=t}$${\displaystyle f_{t}(-1)=(-1)*m-m=-2m}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle t=-2m}$

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2={\rm {\ (say)\ {\it {}}}}\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle ,}$

siendo la operación de grupo la suma puntual: , teniendo en cuenta que es el elemento identidad. ${\displaystyle (f_{s}+f_{t})(x)=f_{s}(x)+f_{t}(x)=f_{s+t}(x)}$${\displaystyle f_{0}}$

Si M es un G -módulo trivial (es decir, la acción de G sobre M es trivial), el segundo grupo de cohomología H ² ( G , M ) está en correspondencia biunívoca con el conjunto de extensiones centrales de G por M (hasta una relación de equivalencia natural). De manera más general, si la acción de G sobre M no es trivial, H ² ( G , M ) clasifica las clases de isomorfismo de todas las extensiones de G por M, en las que la acción de G sobre E (por automorfismos internos ), dota (a la imagen de) M de una estructura de G -módulo isomorfa .${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 0}$

En el ejemplo de la sección anterior, como la única extensión de por con la acción no trivial dada es el grupo diedro infinito , que es una extensión dividida y, por lo tanto, trivial dentro del grupo. De hecho, este es el significado en términos de teoría de grupos del único elemento no trivial de . ${\displaystyle H^{1}}$${\displaystyle H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle H^{2}}$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$

Un ejemplo de un segundo grupo de cohomología es el grupo de Brauer : es la cohomología del grupo de Galois absoluto de un cuerpo k que actúa sobre los elementos invertibles en un cierre separable:

${\displaystyle H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).}$

Véase también [1].

Para el grupo cíclico finito de orden con generador , el elemento en el anillo de grupo asociado es divisor de cero porque su producto con , dado por${\displaystyle G=C_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G],}$

da

${\displaystyle {\begin{aligned}N(1-\sigma )&=1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&\quad -\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\&=1-\sigma ^{m}\\&=0.\end{aligned}}}$

Esta propiedad se puede utilizar para construir la resolución ^{[2] [3]} del módulo trivial a través del complejo${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\text{aug}} \mathbb {Z} \to 0}$

dando el cálculo de cohomología de grupo para cualquier módulo . Nótese que el mapa de aumento le da al módulo trivial su estructura mediante${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle {\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}}$

Esta resolución proporciona un cálculo de la cohomología del grupo ya que existe el isomorfismo de los grupos de cohomología.

${\displaystyle H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)}$

mostrando que aplicando el funtor al complejo anterior (con eliminado ya que esta resolución es un cuasi-isomorfismo ), se obtiene el cálculo${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

para

${\displaystyle {}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}}$

Por ejemplo, si , el módulo trivial, entonces , , y , por lo tanto${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z} }$${\displaystyle N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$${\displaystyle {}_{N}\mathbb {Z} =0}$

${\displaystyle H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

Los cociclos para la cohomología de grupo de un grupo cíclico se pueden dar explícitamente ^[4] usando la resolución de Bar. Obtenemos un conjunto completo de generadores de -cociclos para impares como las aplicaciones${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \omega _{a}:B_{l}\to k^{*}}$

dado por

${\displaystyle [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]\mapsto \zeta _{m}^{ai_{1}\left[{\frac {i_{2}+i_{3}}{m}}\right]\cdots \left[{\frac {i_{l-1}+i_{l}}{m}}\right]}}$

para impar, , una raíz -ésima primitiva de la unidad, un campo que contiene raíces -ésimas de la unidad, y${\displaystyle l}$${\displaystyle 0\leq a\leq m-1}$${\displaystyle \zeta _{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]}$

para un número racional que denota el entero más grande no mayor que . Además, estamos usando la notación${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a/b}$

${\displaystyle B_{l}=\bigoplus _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{l}\leq m-1}\mathbb {Z} G\cdot [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]}$

donde es un generador para . Nótese que para índices pares distintos de cero los grupos de cohomología son triviales.${\displaystyle g}$${\displaystyle G=C_{m}}$${\displaystyle l}$

Dado un conjunto, el grupo libre asociado tiene una resolución explícita ^[5] del módulo trivial que se puede calcular fácilmente. Observe el mapa de aumento${\displaystyle S}$${\displaystyle G={\text{Free}}(S)={\underset {s\in S}{*}}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

${\displaystyle {\text{aug}}:\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

tiene núcleo dado por el submódulo libre generado por el conjunto , por lo que${\displaystyle I_{S}}$${\displaystyle \{s-1:s\in S\}}$

${\displaystyle I_{S}=\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} [G]\cdot (s-1)}$.

Como este objeto es gratuito, esto da una resolución.

${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}\to 0}$

Por lo tanto, la cohomología de grupo de con coeficientes en se puede calcular aplicando el funtor al complejo , dando${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to 0}$

${\displaystyle H^{k}(G,\mathbb {Z} _{\text{triv}})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

Esto se debe al mapa dual

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} _{\text{triv}})\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

Envía cualquier morfismo de módulo${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

al morfismo inducido al componer la inclusión. Los únicos mapas que se envían a son múltiplos del mapa de aumento, lo que da el primer grupo de cohomología. El segundo se puede encontrar observando los únicos otros mapas${\displaystyle I_{S}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \psi \in {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

se puede generar mediante la base de mapas enviando un fijo y enviando un fijo .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (s-1)\mapsto 1}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle (s'-1)\mapsto 0}$${\displaystyle s'\in S-\{s\}}$

La cohomología de grupos libres generados por letras se puede calcular fácilmente comparando la cohomología de grupos con su interpretación en topología. Recordemos que para cada grupo existe un espacio topológico , llamado espacio de clasificación del grupo, que tiene la propiedad${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$

${\displaystyle \pi _{1}(BG)=G{\text{ and }}\pi _{k}(BG)=0{\text{ for }}k\geq 2}$

Además, tiene la propiedad de que su cohomología topológica es isomorfa a la cohomología de grupo.

${\displaystyle H^{k}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{k}(G,\mathbb {Z} )}$

Proporciona una manera de calcular algunos grupos de cohomología de grupos. Nota: podría reemplazarse por cualquier sistema local que esté determinado por un mapa.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \pi _{1}(G)\to GL(V)}$

para algún grupo abeliano . En el caso de las letras, esto se representa mediante una suma de cuña de círculos ^[6] que se puede demostrar utilizando el teorema de Van-Kampen , lo que da la cohomología del grupo ^[7]${\displaystyle V}$${\displaystyle B(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{1}\vee \cdots \vee S^{1}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{n}&k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

Para una red integral de rango (por lo tanto isomorfa a ), su cohomología de grupo se puede calcular con relativa facilidad. Primero, debido a que , y tiene , que como grupos abelianos son isomorfos a , la cohomología de grupo tiene el isomorfismo${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle B\mathbb {Z} \cong S^{1}}$${\displaystyle B\mathbb {Z} \times B\mathbb {Z} }$${\displaystyle \pi _{1}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(\Lambda ,\mathbb {Z} _{\text{triv}})\cong H^{k}(\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} )}$

con la cohomología integral de un toro de rango .${\displaystyle n}$

En lo siguiente, sea M un G -módulo.

En la práctica, a menudo se calculan los grupos de cohomología utilizando el siguiente hecho: si

${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$

es una secuencia exacta corta de G -módulos, entonces se induce una secuencia exacta larga:

${\displaystyle 0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots }$

Los llamados homomorfismos conectivos ,

${\displaystyle \delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}$

se puede describir en términos de cocadenas no homogéneas de la siguiente manera. ^[8] Si se representa por un n -cociclo entonces se representa por donde es una n -cocadena "que se eleva" (es decir, es la composición de con la función sobreyectiva M → N ).${\displaystyle c\in H^{n}(G,N)}$${\displaystyle \phi :G^{n}\to N,}$${\displaystyle \delta ^{n}(c)}$${\displaystyle d^{n}(\psi ),}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle G^{n}\to M}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$

La cohomología de grupos depende contravariantemente del grupo G , en el siguiente sentido: si f  : H → G es un homomorfismo de grupo , entonces tenemos un morfismo inducido naturalmente H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( H , M ) (donde en este último, M se trata como un módulo H a través de f ). Esta función se llama función de restricción . Si el índice de H en G es finito, también hay una función en la dirección opuesta, llamada función de transferencia , ^[9]

${\displaystyle cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).}$

En grado 0, viene dado por el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}}$

Dado un morfismo de G -módulos M → N , se obtiene un morfismo de grupos de cohomología en H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( G , N ).

De manera similar a otras teorías de cohomología en topología y geometría, como la cohomología singular o la cohomología de De Rham , la cohomología de grupos disfruta de una estructura de producto: existe un mapa natural llamado producto de copa :

${\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}$

para cualesquiera dos G -módulos M y N . Esto produce una estructura de anillo anticonmutativo graduado en donde R es un anillo tal como o Para un grupo finito G , la parte par de este anillo de cohomología en característica p , lleva mucha información sobre el grupo la estructura de G , por ejemplo la dimensión de Krull de este anillo es igual al rango máximo de un subgrupo abeliano . ^[10]${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p.}$${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{r}}$

Por ejemplo, sea G el grupo con dos elementos, bajo la topología discreta. El espacio proyectivo real es un espacio clasificador para G. Sea el cuerpo de dos elementos. Entonces${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x],}$

un k -álgebra polinómica sobre un solo generador, ya que este es el anillo de cohomología celular de${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

Si M = k es un cuerpo, entonces H* ( G ; k ) es una k -álgebra graduada y la cohomología de un producto de grupos está relacionada con las de los grupos individuales mediante una fórmula de Künneth :

${\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).}$

Por ejemplo, si G es un 2-grupo abeliano elemental de rango r , y entonces la fórmula de Künneth muestra que la cohomología de G es un k -álgebra polinomial generada por r clases en H ¹ ( G ; k ).,${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].}$

Al igual que otras teorías de cohomología, como la cohomología singular , la cohomología de grupo y la homología están relacionadas entre sí por medio de una secuencia exacta corta ^[11]

${\displaystyle 0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,}$

donde A está dotado de la trivial G -acción y el término de la izquierda es el primer grupo Ext .

Dado un grupo A que es el subgrupo de dos grupos G ₁ y G ₂ , la homología del producto amalgamado (con coeficientes enteros) se encuentra en una secuencia exacta larga${\displaystyle G:=G_{1}\star _{A}G_{2}}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots }$

La homología de se puede calcular usando esto:${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6}$

${\displaystyle H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Esta secuencia exacta también se puede aplicar para demostrar que la homología del grupo lineal especial y del grupo lineal especial concuerdan para un campo infinito k . ^[12]${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k[t])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k)}$

La sucesión espectral de Hochschild–Serre relaciona la cohomología de un subgrupo normal N de G y el cociente G/N con la cohomología del grupo G (para grupos (pro-)finitos G ). A partir de ella, se obtiene la sucesión exacta de restricción de inflación .

La cohomología de grupos está estrechamente relacionada con las teorías de cohomología topológica, como la cohomología de haces , mediante un isomorfismo ^[13]

${\displaystyle H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).}$

La expresión de la izquierda es un espacio de clasificación para . Es un espacio de Eilenberg–MacLane , es decir, un espacio cuyo grupo fundamental es y cuyos grupos de homotopía superiores se anulan). ^[d] Los espacios de clasificación para y son la 1-esfera S ^{1 ,} el espacio proyectivo real infinito y los espacios de lentes , respectivamente. En general, se puede construir como el cociente , donde es un espacio contráctil sobre el que actúa libremente. Sin embargo, no suele tener una descripción geométrica fácilmente abordable.${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle EG/G}$${\displaystyle EG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$

De manera más general, se puede adjuntar a cualquier módulo un sistema de coeficientes locales y el isomorfismo anterior se generaliza a un isomorfismo ^[14]${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle BG}$

${\displaystyle H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).}$

Existe una manera de calcular el producto semidirecto de grupos utilizando la topología de fibraciones y las propiedades de los espacios de Eilenberg-Maclane. Recordemos que para un producto semidirecto de grupos existe una secuencia corta exacta de grupos asociada.${\displaystyle G=N\rtimes H}$

${\displaystyle 1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1}$

Utilizando los espacios de Eilenberg-Maclane asociados existe una fibración de Serre

${\displaystyle K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)}$

que se puede pasar por una secuencia espectral de Serre . Esto da una página${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))}$

que proporciona información sobre la cohomología de grupo de a partir de los grupos de cohomología de grupo de . Nótese que este formalismo se puede aplicar de una manera puramente teórica de grupo utilizando la secuencia espectral Lyndon–Hochschild–Serre .${\displaystyle G}$${\displaystyle H,N}$

Los grupos de cohomología H ⁿ ( G , M ) de los grupos finitos G son todos torsión para todo n ≥1. De hecho, por el teorema de Maschke la categoría de representaciones de un grupo finito es semisimple sobre cualquier cuerpo de característica cero (o más generalmente, cualquier cuerpo cuya característica no divida el orden del grupo), por lo tanto, viendo la cohomología de grupo como un funtor derivado en esta categoría abeliana , se obtiene que es cero. El otro argumento es que sobre un cuerpo de característica cero, el álgebra de grupo de un grupo finito es una suma directa de álgebras matriciales (posiblemente sobre álgebras de división que son extensiones del cuerpo original), mientras que un álgebra matricial es equivalente de Morita a su cuerpo base y por lo tanto tiene cohomología trivial.

Si el orden de G es invertible en un G -módulo M (por ejemplo, si M es un espacio vectorial), el mapa de transferencia se puede utilizar para demostrar que para Una aplicación típica de este hecho es la siguiente: la secuencia de cohomología exacta larga de la secuencia exacta corta (donde los tres grupos tienen una G -acción trivial)${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle H^{n}(G,M)=0}$${\displaystyle n\geqslant 1.}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to 0}$

produce un isomorfismo

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).}$

Los grupos de cohomología de Tate combinan tanto la homología como la cohomología de un grupo finito G :

${\displaystyle {\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}}$

donde se induce por el mapa de normas:${\displaystyle N:M_{G}\to M^{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}}$

La cohomología de Tate tiene características similares, como secuencias largas y exactas y estructuras de productos. Una aplicación importante es la teoría de campos de clases , véase formación de clases .

La cohomología de Tate de grupos cíclicos finitos es 2-periódica en el sentido de que existen isomorfismos.${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .}$

Un criterio necesario y suficiente para una cohomología d -periódica es que los únicos subgrupos abelianos de G son cíclicos. ^[15] Por ejemplo, cualquier producto semidirecto tiene esta propiedad para los números enteros coprimos n y m .${\displaystyle \mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m}$

La K-teoría algebraica está estrechamente relacionada con la cohomología de grupos: en la construcción +-de la K-teoría de Quillen, la K -teoría de un anillo R se define como los grupos de homotopía de un espacio Aquí está el grupo lineal general infinito . El espacio tiene la misma homología que ie , la homología de grupo de GL( R ). En algunos casos, los resultados de estabilidad afirman que la secuencia de grupos de cohomología${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}.}$${\displaystyle \mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)}$${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}}$${\displaystyle \mathrm {BGL} (R),}$

${\displaystyle \dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots }$

se vuelve estacionario para un valor suficientemente grande de n , reduciendo así el cálculo de la cohomología del grupo lineal general infinito al de algún . Tales resultados se han establecido cuando R es un cuerpo ^[16] o para anillos de números enteros en un cuerpo de números . ^[17]${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$

El fenómeno de que la homología de grupo de una serie de grupos se estabilice se denomina estabilidad homológica . Además del caso que acabamos de mencionar, esto se aplica a varios otros grupos, como los grupos simétricos o los grupos de clases de mapeo .${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)}$

En mecánica cuántica a menudo tenemos sistemas con un grupo de simetría Esperamos una acción de en el espacio de Hilbert por matrices unitarias Podríamos esperar pero las reglas de la mecánica cuántica solo requieren${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle U(g).}$${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),}$

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),}$

donde es una fase. Esta representación proyectiva de también puede considerarse como una representación convencional de una extensión de grupo de por como se describe por la secuencia exacta${\displaystyle \exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {U} (1),}$

${\displaystyle 1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.}$

Requerimiento de asociatividad

${\displaystyle U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})}$

conduce a

${\displaystyle \omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,}$

que reconocemos como la afirmación de que es un cociclo que toma valores en Podemos preguntar si podemos eliminar las fases redefiniendo${\displaystyle d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).}$

${\displaystyle U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)}$

que cambia

${\displaystyle \omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Esto lo reconocemos como desplazamiento por un colímite Por lo tanto, las distintas representaciones proyectivas se clasifican por Nótese que si permitimos que el grupo actúe sobre las fases mismas (por ejemplo, la inversión del tiempo conjugaría complejamente la fase), entonces el primer término en cada una de las operaciones de colímite tendrá una acción sobre él como en las definiciones generales de colímite en las secciones anteriores. Por ejemplo,${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \to \omega +d\eta .}$${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Dado un grupo topológico G , es decir, un grupo equipado con una topología tal que el producto y la inversa son aplicaciones continuas, es natural considerar G -módulos continuos, es decir, que requieren que la acción

${\displaystyle G\times M\to M}$

es una función continua. Para tales módulos, se puede considerar nuevamente el funtor derivado de . Un caso especial que ocurre en álgebra y teoría de números es cuando G es profinito, por ejemplo, el grupo de Galois absoluto de un cuerpo. La cohomología resultante se llama cohomología de Galois .${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$

Utilizando los G -invariantes y las 1-cocadenas, se puede construir la cohomología del grupo cero y del primer grupo para un grupo G con coeficientes en un grupo no abeliano. Específicamente, un G -grupo es un grupo A (no necesariamente abeliano) junto con una acción de G .

La cohomología cero de G con coeficientes en A se define como el subgrupo

${\displaystyle H^{0}(G,A)=A^{G},}$

de elementos de A fijados por G .

La primera cohomología de G con coeficientes en A se define como 1-cociclos módulo una relación de equivalencia en lugar de por 1-colímites. La condición para que una función sea un 1-cociclo es que y si hay un a en A tal que . En general, no es un grupo cuando A no es abeliano. En cambio, tiene la estructura de un conjunto puntiagudo ; exactamente la misma situación surge en el grupo de homotopía 0 , que para un espacio topológico general no es un grupo sino un conjunto puntiagudo. Nótese que un grupo es en particular un conjunto puntiagudo, con el elemento identidad como punto distinguido.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]}$${\displaystyle \ \varphi \sim \varphi '}$${\displaystyle \ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)}$${\displaystyle H^{1}(G,A)}$${\displaystyle \ \pi _{0}(X;x)}$

Utilizando cálculos explícitos, se obtiene una secuencia exacta larga truncada en cohomología. En concreto, sea

${\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1\,}$

sea ​​una secuencia corta y exacta de G -grupos, entonces hay una secuencia exacta de conjuntos puntiagudos

${\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C).\,}$