Radical de un anillo

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un radical de un anillo es un ideal de los elementos "no buenos" del anillo .

El primer ejemplo de radical fue el nilradical introducido por Köthe (1930), basado en una sugerencia de Wedderburn (1908). En los años siguientes se descubrieron varios radicales más, de los cuales el ejemplo más importante es el radical de Jacobson . La teoría general de radicales fue definida independientemente por (Amitsur 1952, 1954, 1954b) y Kurosh (1953).

En la teoría de radicales, se suele suponer que los anillos son asociativos , pero no necesariamente conmutativos ni tienen por qué tener una identidad multiplicativa . En particular, todo ideal de un anillo es también un anillo.

Una clase radical (también llamada propiedad radical o simplemente radical ) es una clase σ de anillos posiblemente sin identidades multiplicativas, tales que:

1. La imagen homomórfica de un anillo en σ también está en σ
2. cada anillo R contiene un ideal S ( R ) en σ que contiene cualquier otro ideal de R que esté en σ
3. S ( R / S ( R )) = 0. El ideal S ( R ) se llama radical, o σ-radical, de R .

El estudio de tales radicales se llama teoría de torsión .

Para cualquier clase δ de anillos, existe una clase de radicales más pequeña L δ que la contiene, llamada radical inferior de δ. El operador L se llama operador radical inferior .

Una clase de anillos se denomina regular si cada ideal distinto de cero de un anillo en la clase tiene una imagen distinta de cero en la clase. Para cada clase regular δ de anillos, existe una clase radical más grande U δ, llamada radical superior de δ, que tiene intersección cero con δ. El operador U se denomina operador radical superior .

Una clase de anillos se denomina hereditaria si cada ideal de un anillo de la clase también pertenece a la clase.

Sea R un anillo cualquiera, no necesariamente conmutativo. El radical de Jacobson de R es la intersección de los aniquiladores de todos los R -módulos rectos simples .

Existen varias caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson, tales como:

• J( R ) es la intersección de los ideales regulares máximos derechos (o izquierdos) de R .
• J( R ) es la intersección de todos los ideales primitivos derechos (o izquierdos) de R .
• J( R ) es el ideal cuasi-regular derecho (o izquierdo) máximo de R .

Al igual que con el nilradical , podemos extender esta definición a ideales arbitrarios de dos caras I definiendo J( I ) como la preimagen de J( R/I ) bajo el mapa de proyección R → R/I .

Si R es conmutativo, el radical de Jacobson siempre contiene al radical nil. Si el anillo R es un álgebra Z finitamente generada , entonces el radical nil es igual al radical de Jacobson y, de manera más general: el radical de cualquier ideal I siempre será igual a la intersección de todos los ideales maximales de R que contienen a I. Esto dice que R es un anillo de Jacobson .

El radical de Baer de un anillo es la intersección de los ideales primos del anillo R . Equivalentemente, es el ideal semiprimo más pequeño en R . El radical de Baer es el radical inferior de la clase de anillos nilpotentes. También llamado "radical nil inferior" (y denotado Nil _∗ R ), "radical primo" y "radical de Baer-McCoy". Cada elemento del radical de Baer es nilpotente , por lo que es un ideal nil .

Para los anillos conmutativos, este es simplemente el radical nil y sigue de cerca la definición del radical de un ideal .

La suma de los ideales nulos de un anillo R es el radical nil superior Nil ^* R o radical de Köthe y es el único ideal nulo más grande de R. La conjetura de Köthe pregunta si algún ideal nulo izquierdo está en el radical nil .

Un elemento de un anillo (posiblemente no conmutativo ) se llama singular izquierdo si aniquila un ideal izquierdo esencial , es decir, r es singular izquierdo si Ir = 0 para algún ideal izquierdo esencial I . El conjunto de elementos singulares izquierdos de un anillo R es un ideal bilateral, llamado ideal singular izquierdo , y se denota . El ideal N de R tal que se denota por y se llama radical singular o torsión de Goldie de R . El radical singular contiene al radical primo (el radical nil en el caso de anillos conmutativos) pero puede contenerlo propiamente, incluso en el caso conmutativo. Sin embargo, el radical singular de un anillo noetheriano es siempre nilpotente.${\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$${\displaystyle N/{Z}(_{R}R)={Z}(_{R/{Z}}(_{R}R)}R/{Z}}(_{R}R))\,}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{2}(_{R}R)}$

El radical de Levitzki se define como el ideal localmente nilpotente más grande , análogo al radical de Hirsch-Plotkin en la teoría de grupos . Si el anillo es noetheriano , entonces el radical de Levitzki es en sí mismo un ideal nilpotente, y por lo tanto es el único ideal nilpotente más grande de izquierda, derecha o bilateral. ^{[ cita requerida ]}

El radical de Brown-McCoy (llamado radical fuerte en la teoría de las álgebras de Banach ) se puede definir de cualquiera de las siguientes maneras:

• La intersección de los ideales bilaterales máximos
• La intersección de todos los ideales modulares máximos.
• el radical superior de la clase de todos los anillos simples con identidad multiplicativa

El radical Brown-McCoy se estudia con mucha mayor generalidad que los anillos asociativos con 1.

Un anillo regular de von Neumann es un anillo A (posiblemente no conmutativo sin identidad multiplicativa) tal que para cada a existe algún b con a = aba . Los anillos regulares de von Neumann forman una clase radical. Contiene todos los anillos de matrices sobre un álgebra de división , pero no contiene ningún anillo nulo.

El radical artiniano se define generalmente para anillos noetherianos bilaterales como la suma de todos los ideales derechos que son módulos artinianos . La definición es simétrica de izquierda a derecha y, de hecho, produce un ideal bilateral del anillo. Este radical es importante en el estudio de los anillos noetherianos, como lo describen Chatters y Hajarnavis (1980).

Usos relacionados de radicales que no son radicales de anillos:

• Radical de un módulo
• Radical kaplaniano
• Radical de una forma bilineal

• Amitsur, SA (1952). "Una teoría general de radicales. I: Radicales en redes completas". American Journal of Mathematics . 74 : 774–786. doi :10.2307/2372225. JSTOR  2372225.
• Amitsur, SA (1954). "Una teoría general de radicales. II: Radicales en anillos y bicategorías". American Journal of Mathematics . 75 : 100–125. doi :10.2307/2372403. JSTOR  2372403.
• Amitsur, SA (1954b). "Una teoría general de radicales. III: Aplicaciones". American Journal of Mathematics . 75 : 126–136. doi :10.2307/2372404. JSTOR  2372404.
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980), Anillos con condiciones de cadena , Research Notes in Mathematics, vol. 44, Boston, Massachusetts: Pitman (Advanced Publishing Program), pp. vii+197, ISBN 0-273-08446-1, Sr.  0590045
• Köthe, Gottfried (1930). "Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist". Mathematische Zeitschrift . 32 (1): 161–186. doi :10.1007/BF01194626. S2CID  123292297.
• Kurosh, AG (1953). "Radicales de anillos y álgebras". Matematicheskii Sbornik (en ruso). 33 : 13–26.
• Wedderburn, JHM (1908). "Sobre números hipercomplejos". Actas de la London Mathematical Society . 6 : 77–118. doi :10.1112/plms/s2-6.1.77.

• Andrunakievich, VA (2001) [1994], "Radical de anillos y álgebras", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Amitsur, Shimshon A.; Mann, Avinoam (2001), Documentos seleccionados de SA Amitsur con comentarios, Parte 1 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 9780821829240
• Divinsky, NJ (1965), Anillos y radicales , Exposiciones matemáticas n.º 14, University of Toronto Press , MR  0197489
• Gardner, BJ; Wiegandt, R. (2004), Teoría radical de anillos , Monografías y libros de texto en matemáticas puras y aplicadas, vol. 261, Marcel Dekker , ISBN 978-0-8247-5033-6, Sr.  2015465
• Goodearl, KR (1976), Teoría de anillos , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-6354-1, Sr.  0429962
• Gray, Mary W. (1970), Un enfoque radical del álgebra , Addison-Wesley , MR  0265396
• Stenström, Bo (1971), Anillos y módulos de cocientes , Lecture Notes in Mathematics, vol. 237, Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0059904, ISBN 978-3-540-05690-4, MR  0325663, Zbl  0229.16003
• Wiegandt, Richard (1974), Clases de anillos radicales y semisimples , Kingston, Ontario: Queen's University , MR  0349734