Número colosalmente abundante

En teoría de números , un número colosalmente abundante (a veces abreviado como CA ) es un número natural que, en un sentido particular y riguroso , tiene muchos divisores . En particular, se define como una relación entre la suma de los divisores de un número entero y ese número entero elevado a una potencia mayor que uno. Para cualquier exponente de este tipo, el número entero que tenga la relación más alta es un número colosalmente abundante. Es una restricción más fuerte que la de un número superabundante , pero no estrictamente más fuerte que la de un número abundante .

Formalmente, se dice que un número n es colosalmente abundante si existe un ε > 0 tal que para todo k > 1 ,

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}\geq {\frac {\sigma (k)}{k^{1+\varepsilon }}}}$

donde σ denota la función suma de divisores . ^[1]

Los primeros 15 números colosalmente abundantes, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (secuencia A004490 en la OEIS ) son también los primeros 15 números altamente compuestos superiores , pero ninguno de los conjuntos es un subconjunto del otro.

Los números colosalmente abundantes fueron estudiados por primera vez por Ramanujan y sus hallazgos estaban destinados a ser incluidos en su artículo de 1915 sobre números altamente compuestos . ^[2] Desafortunadamente, el editor de la revista a la que Ramanujan presentó su trabajo, la London Mathematical Society , estaba en dificultades financieras en ese momento y Ramanujan acordó eliminar aspectos del trabajo para reducir el costo de impresión. ^[3] Sus hallazgos fueron en su mayoría condicionales a la hipótesis de Riemann y con esta suposición encontró límites superior e inferior para el tamaño de los números colosalmente abundantes y demostró que lo que vendría a conocerse como la desigualdad de Robin (ver más abajo) se cumple para todos los valores suficientemente grandes de n . ^[4]

La clase de números fue reconsiderada de una forma ligeramente más fuerte en un artículo de 1944 de Leonidas Alaoglu y Paul Erdős en el que intentaron ampliar los resultados de Ramanujan. ^[5]

Los números colosalmente abundantes son una de varias clases de números enteros que intentan capturar la noción de tener muchos divisores. Para un entero positivo n , la función suma de divisores σ( n ) da la suma de todos los números que dividen a n , incluyendo 1 y n mismo. Paul Bachmann demostró que en promedio, σ( n ) está alrededor de π ² n  / 6. ^[6] El teorema de Grönwall , por su parte, dice que el orden máximo de σ( n ) es ligeramente mayor, específicamente hay una secuencia creciente de números enteros n tales que para estos números enteros σ( n ) es aproximadamente del mismo tamaño que e ^γ n  log(log( n )), donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . ^[6] Por lo tanto, los números colosalmente abundantes capturan la noción de tener muchos divisores al requerir que maximicen, para algún ε > 0, el valor de la función.

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}}$

sobre todos los valores de n . Los resultados de Bachmann y Grönwall aseguran que para cada ε > 0 esta función tiene un máximo y que a medida que ε tiende a cero estos máximos aumentarán. Por lo tanto, hay infinitos números colosalmente abundantes, aunque son bastante escasos, con solo 22 de ellos menores que 10 ¹⁸ . ^[7]

Al igual que con los números superiores altamente compuestos, una construcción efectiva del conjunto de todos los números colosalmente abundantes se da mediante la siguiente aplicación monótona a partir de los números reales positivos . Sea

${\displaystyle e_{p}(\varepsilon )=\left\lfloor {\frac {\ln \left(1+\displaystyle {\frac {p-1}{p^{1+\varepsilon }-p}}\right)}{\ln p}}\right\rfloor \quad }$

para cualquier número primo p y real positivo . Entonces${\estilo de visualización \varepsilon}$

${\displaystyle \quad s(\varepsilon )=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(\varepsilon )}\ }$es un número colosalmente abundante.

Para cada ε la función anterior tiene un máximo, pero no es obvio, y de hecho no es cierto, que para cada ε este valor máximo sea único. Alaoglu y Erdős estudiaron cuántos valores diferentes de n podrían dar el mismo valor máximo de la función anterior para un valor dado de ε. Demostraron que para la mayoría de los valores de ε habría un único entero n que maximizaría la función. Sin embargo, más tarde Erdős y Jean-Louis Nicolas demostraron que para un cierto conjunto de valores discretos de ε podría haber dos o cuatro valores diferentes de n que dieran el mismo valor máximo. ^[8]

En su artículo de 1944, Alaoglu y Erdős conjeturaron que la razón de dos números consecutivos colosalmente abundantes era siempre un número primo. Demostraron que esto se seguiría de un caso especial de la conjetura de los cuatro exponenciales en la teoría de números trascendentales , específicamente que para dos números primos distintos cualesquiera p y q , los únicos números reales t para los que tanto p como q ^son racionales son los enteros positivos. Utilizando el resultado correspondiente para tres primos, que Siegel les aseguró que era cierto ^{[9] —un} caso especial del teorema de los seis exponenciales demostrado en la década de 1960 ^[10] por Serge Lang y K. Ramachandra— lograron demostrar que el cociente de dos números consecutivos colosalmente abundantes es siempre un primo o un semiprimo (es decir, un número con solo dos factores primos ). El cociente nunca puede ser el cuadrado de un primo.

La conjetura de Alaoglu y Erdős sigue abierta, aunque ha sido comprobada al menos hasta 10 ⁷ . ^[11] Si fuera cierta, significaría que había una secuencia de números primos no distintos p ₁ , p ₂ , p ₃ ,... tales que el n -ésimo número colosalmente abundante tenía la forma

${\displaystyle c_{n}=\prod_{i=1}^{n}p_{i}}$

Suponiendo que la conjetura se cumple, esta secuencia de primos comienza con 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (secuencia A073751 en la OEIS ). La conjetura de Alaoglu y Erdős también significaría que ningún valor de ε da cuatro enteros diferentes n como máximos de la función anterior.

Al igual que los números superabundantes , los números colosalmente abundantes son una generalización de los números abundantes . También como los números superabundantes, no es una generalización estricta; un número puede ser colosalmente abundante sin ser abundante. Esto es cierto en el caso de 6; los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6, pero un número abundante se define como aquel en el que la suma de los divisores, excluyéndose a sí mismo , es mayor que el número mismo; 1+2+3=6, por lo que esta condición no se cumple (y 6 es en cambio un número perfecto ). Sin embargo, todos los números colosalmente abundantes también son números superabundantes. ^[12]

En la década de 1980, Guy Robin demostró ^[13] que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la siguiente desigualdad es verdadera para todo n  > 5040: (donde γ es la constante de Euler-Mascheroni )

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n\aproximadamente 1,781072418n\log \log n\,}$

Se sabe que esta desigualdad falla para 27 números (secuencia A067698 en la OEIS ):

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040

Robin demostró que si la hipótesis de Riemann es verdadera, entonces n  = 5040 es el último número entero para el cual falla. La desigualdad se conoce ahora como desigualdad de Robin en honor a su trabajo. Se sabe que la desigualdad de Robin, si alguna vez falla, fallará para un número colosalmente abundante n ; por lo tanto, la hipótesis de Riemann es de hecho equivalente a que la desigualdad de Robin se cumpla para todo número colosalmente abundante n  > 5040.

En 2001-2 Lagarias ^[7] demostró una forma alternativa de la afirmación de Robin que no requiere excepciones, utilizando los números armónicos en lugar del logaritmo:

${\displaystyle \sigma(n)<H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})}$

O bien, salvo las 8 excepciones de n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

${\displaystyle \sigma(n)<\exp(H_{n})\log(H_{n})}$

• Keith Briggs sobre los números colosalmente abundantes y la hipótesis de Riemann
• Entrada de MathWorld
• Notas sobre la hipótesis de Riemann y los números abundantes
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