e (constante matemática)

Parte de una serie de artículos sobre el
constante matemática e
Propiedades
Logaritmo natural Función exponencial
Aplicaciones
interés compuesto La identidad de Euler Fórmula de Euler vidas medias crecimiento y decrecimiento exponencial
Definiendo e
Prueba de que e es irracional representaciones de e Teorema de Lindemann-Weierstrass
Gente
Juan Napier Leonhard Euler
Temas relacionados
La conjetura de Schanuel
en a mi

El número e es una constante matemática aproximadamente igual a 2,71828 que es la base del logaritmo natural y la función exponencial . A veces se le llama número de Euler , en honor al matemático suizo Leonhard Euler , aunque esto puede generar confusión con los números de Euler , o con la constante de Euler , una constante diferente que normalmente se denota como . Alternativamente, e puede llamarse constante de Napier en honor a John Napier . ^{[2] [3]} El matemático suizo Jacob Bernoulli descubrió la constante mientras estudiaba el interés compuesto. ^{[4] [5]}${\estilo de visualización \gamma}$

El número e es de gran importancia en matemáticas, ^[6] junto con 0, 1, π e i . Los cinco aparecen en una formulación de la identidad de Euler y desempeñan papeles importantes y recurrentes en las matemáticas. ^{[7] [8]} Al igual que la constante π , e es irracional , lo que significa que no se puede representar como una proporción de números enteros, y además es trascendental , lo que significa que no es raíz de ningún polinomio distinto de cero con coeficientes racionales. ^[3] Con 30 decimales, el valor de e es: ^[1]${\displaystyle e^{i\pi}+1=0}$

El número e es el límite de una expresión que surge en el cálculo del interés compuesto .$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$

Es la suma de la serie infinita$${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$$

Es el único número positivo a tal que la gráfica de la función y = a ^x tiene una pendiente de 1 en x = 0 .

Se tiene donde es la función exponencial (natural) , la única función que es igual a su propia derivada y satisface la ecuación Dado que la función exponencial se denota comúnmente como se tiene también$${\displaystyle e=\exp(1),}$$${\estilo de visualización \exp}$${\displaystyle \exp(0)=1.}$${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$$${\displaystyle e=e^{1}.}$$

El logaritmo de base b se puede definir como la función inversa de la función Dado que se tiene La ecuación implica por tanto que e es la base del logaritmo natural.${\displaystyle x\mapsto b^{x}.}$${\displaystyle b=b^{1},}$${\displaystyle \log_{b}b=1.}$${\displaystyle e=e^{1}}$

El número e también puede caracterizarse en términos de una integral : ^[9]$${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.}$$

Para otras caracterizaciones, véase § Representaciones.

Las primeras referencias a la constante se publicaron en 1618 en la tabla de un apéndice de una obra sobre logaritmos de John Napier . Sin embargo, este no contenía la constante en sí, sino simplemente una lista de logaritmos en base${\estilo de visualización e}$ . Se supone que la tabla fue escrita por William Oughtred . En 1661, Christiaan Huygens estudió cómo calcular logaritmos por métodos geométricos y calculó una cantidad que, en retrospectiva, es el logaritmo en base 10 de e , pero no reconoció a e en sí como una cantidad de interés. ^{[5] [10]}

La constante en sí fue introducida por Jacob Bernoulli en 1683, para resolver el problema de la capitalización continua del interés. ^{[11] [12]} En su solución, la constante e aparece como el límite donde n representa el número de intervalos en un año en el que se evalúa el interés compuesto (por ejemplo, para la capitalización mensual).$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$${\estilo de visualización n=12}$

El primer símbolo utilizado para esta constante fue la letra b de Gottfried Leibniz en cartas a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. ^[13]

Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para la constante en 1727 o 1728, en un artículo inédito sobre fuerzas explosivas en cañones, ^[14] y en una carta a Christian Goldbach el 25 de noviembre de 1731. ^{[15] [16]} La primera aparición de e en una publicación impresa fue en Mechanica de Euler (1736). ^[17] Se desconoce por qué Euler eligió la letra e . ^[18] Aunque algunos investigadores utilizaron la letra c en los años posteriores, la letra e fue más común y finalmente se convirtió en estándar. ^[2]

Euler demostró que e es la suma de las series infinitas donde n ! es el factorial de n . ^[5] La equivalencia de las dos caracterizaciones que utilizan el límite y la serie infinita se puede demostrar mediante el teorema del binomio . ^[19]$${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}$$

Jacob Bernoulli descubrió esta constante en 1683, mientras estudiaba una cuestión sobre el interés compuesto : ^[5]

Una cuenta comienza con $1.00 y paga un interés del 100 por ciento por año. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor de la cuenta al final del año será de $2.00. ¿Qué sucede si el interés se calcula y se acredita con mayor frecuencia durante el año?

Si el interés se acredita dos veces en el año, la tasa de interés para cada 6 meses será del 50%, por lo que el $1 inicial se multiplica por 1,5 dos veces, lo que da $1,00 × 1,5 ² = $2,25 al final del año. La capitalización trimestral da $1,00 × 1,25 ⁴ = $2,44140625 , y la capitalización mensual da $1,00 × (1 + 1/12) ¹² = $2,613035... . Si hay n intervalos de capitalización, el interés para cada intervalo será 100%/ n y el valor al final del año será $1,00 ×  (1 + 1/ n ) ⁿ . ^{[20] [21]}

Bernoulli notó que esta secuencia se acerca a un límite (la fuerza del interés ) con n más grande y, por lo tanto, intervalos de capitalización más pequeños. ^[5] La capitalización semanal ( n = 52 ) produce $2.692596..., mientras que la capitalización diaria ( n = 365 ) produce $2.714567... (aproximadamente dos centavos más). El límite a medida que n se hace grande es el número que llegó a conocerse como e . Es decir, con capitalización continua , el valor de la cuenta alcanzará $2.718281828... De manera más general, una cuenta que comienza en $1 y ofrece una tasa de interés anual de R , después de t años, producirá e ^Rt dólares con capitalización continua. Aquí, R es el equivalente decimal de la tasa de interés expresada como un porcentaje , por lo que para un interés del 5%, R = 5/100 = 0.05 . ^{[20] [21]}

El número e también tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad , de una manera que no está obviamente relacionada con el crecimiento exponencial. Supongamos que un jugador juega en una máquina tragamonedas que paga con una probabilidad de uno en n y juega n veces. A medida que n aumenta, la probabilidad de que el jugador pierda todas las n apuestas se acerca a 1/ e . Para n = 20 , esto ya es aproximadamente 1/2,789509....

Este es un ejemplo de un proceso de ensayo de Bernoulli . Cada vez que el jugador juega en las máquinas tragamonedas, hay una probabilidad de 1 en n de ganar. Jugar n veces se modela mediante la distribución binomial , que está estrechamente relacionada con el teorema binomial y el triángulo de Pascal . La probabilidad de ganar k veces de n ensayos es: ^[22]

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}$

En particular, la probabilidad de ganar cero veces ( k = 0 ) es

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

El límite de la expresión anterior, cuando n tiende a infinito, es precisamente 1/ e .

El crecimiento exponencial es un proceso que aumenta la cantidad a lo largo del tiempo a una tasa cada vez mayor. Ocurre cuando la tasa instantánea de cambio (es decir, la derivada ) de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad misma. ^[21] Descrita como una función, una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (a diferencia de otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático ). Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y se dice que está experimentando un decaimiento exponencial . La ley del crecimiento exponencial se puede escribir en formas diferentes pero matemáticamente equivalentes, utilizando una base diferente , para la cual el número e es una opción común y conveniente: Aquí, denota el valor inicial de la cantidad x , k es la constante de crecimiento y es el tiempo que tarda la cantidad en crecer por un factor de e .$${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \tau }$

La distribución normal con media cero y desviación estándar unitaria se conoce como distribución normal estándar , ^[23] dada por la función de densidad de probabilidad$${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

La restricción de la desviación estándar unitaria (y, por lo tanto, también de la varianza unitaria) da como resultado ⁠1/2⁠ en el exponente, y la restricción del área total unitaria bajo la curva da como resultado el factor . Esta función es simétrica alrededor de x = 0 , donde alcanza su valor máximo , y tiene puntos de inflexión en x = ±1 .${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

Otra aplicación de e , también descubierta en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Remond de Montmort , se encuentra en el problema de los trastornos , también conocido como el problema del guardarropa : ^[24] n invitados son invitados a una fiesta y, en la puerta, todos los invitados dejan sus sombreros con el mayordomo, quien a su vez coloca los sombreros en n cajas, cada una etiquetada con el nombre de un invitado. Pero el mayordomo no ha preguntado las identidades de los invitados, por lo que coloca los sombreros en cajas seleccionadas al azar. El problema de de Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros se coloque en la caja correcta. Esta probabilidad, denotada por , es:${\displaystyle p_{n}\!}$

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

A medida que n tiende a infinito, p _n se acerca a 1/ e . Además, la cantidad de formas en que se pueden colocar los sombreros en las cajas de modo que ninguno de ellos esté en la caja correcta es n !/ e , redondeada al entero más cercano, para cada  n positivo . ^[25]

El valor máximo de ocurre en . De manera equivalente, para cualquier valor de la base b > 1 , se da el caso de que el valor máximo de ocurre en ( problema de Steiner , analizado más adelante).${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$${\displaystyle x=e}$${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$${\displaystyle x=e}$

Esto es útil en el problema de un palo de longitud L que se divide en n partes iguales. El valor de n que maximiza el producto de las longitudes es entonces ^[26]

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }$o${\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}$

La cantidad también es una medida de información obtenida de un evento que ocurre con probabilidad (aproximadamente cuando ), de modo que esencialmente la misma división óptima aparece en problemas de planificación óptima como el problema de la secretaria .${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle 36.8\%}$${\displaystyle x=e}$

El número e aparece de forma natural en relación con muchos problemas que implican asintóticas . Un ejemplo es la fórmula de Stirling para la asintótica de la función factorial , en la que aparecen tanto los números e como π : ^[27]$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

Como consecuencia de ello, ^[27]$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$$

La principal motivación para introducir el número e , particularmente en cálculo , es realizar cálculo diferencial e integral con funciones exponenciales y logaritmos . ^{[28] Una} función exponencial general y = a ^x tiene una derivada, dada por un límite :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

El límite entre paréntesis de la derecha es independiente de la variable x . Su valor resulta ser el logaritmo de a en base e . Por lo tanto, cuando el valor de a se establece en e , este límite es igual a 1 , y se llega a la siguiente identidad simple:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

En consecuencia, la función exponencial con base e es especialmente adecuada para realizar cálculos. Elegir e (en lugar de otro número) como base de la función exponencial hace que los cálculos que involucran las derivadas sean mucho más simples.

Otra motivación proviene de considerar la derivada de la base, un logaritmo (es decir, log _a x ), ^[28] para  x > 0 :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

donde se realizó la sustitución u = h / x . El logaritmo base de e es 1, si a es igual a e . Entonces, simbólicamente,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

El logaritmo con esta base especial se llama logaritmo natural y generalmente se denota como ln ; se comporta bien bajo diferenciación ya que no hay un límite indeterminado para realizar los cálculos.

Por lo tanto, hay dos formas de seleccionar esos números especiales a . Una forma es hacer que la derivada de la función exponencial a ^x sea igual a a ^x y resolver para a . La otra forma es hacer que la derivada del logaritmo de base a sea 1/ x y resolver para a . En cada caso, se llega a una elección conveniente de base para hacer el cálculo. Resulta que estas dos soluciones para a son en realidad la misma : el número e .

La serie de Taylor para la función exponencial se puede deducir del hecho de que la función exponencial es su propia derivada y que es igual a 1 cuando se evalúa en 0: ^[29] El ajuste recupera la definición de e como la suma de una serie infinita.$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$${\displaystyle x=1}$

La función logaritmo natural se puede definir como la integral de 1 a de , y la función exponencial se puede definir entonces como la función inversa del logaritmo natural. El número e es el valor de la función exponencial evaluada en , o equivalentemente, el número cuyo logaritmo natural es 1. De ello se deduce que e es el único número real positivo tal que${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/t}$${\displaystyle x=1}$$${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}$$

Como e ^x es la única función ( salvo multiplicación por una constante K ) que es igual a su propia derivada ,

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$$

Por lo tanto, también es su propia antiderivada : ^[30]

$${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$$

De manera equivalente, la familia de funciones

$${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$$

donde K es cualquier número real o complejo, es la solución completa de la ecuación diferencial

$${\displaystyle y'=y.}$$

El número e es el único número real tal que para todo x positivo . ^[31]$${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$$

Además, tenemos la desigualdad para todo real x , con igualdad si y solo si x = 0 . Además, e es la única base de la exponencial para la cual la desigualdad a ^x ≥ x + 1 se cumple para todo x . ^[32] Este es un caso límite de la desigualdad de Bernoulli .$${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$$

El problema de Steiner pide encontrar el máximo global para la función

$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$$

Este máximo se produce precisamente en x = e . (Se puede comprobar que la derivada de ln f ( x ) es cero sólo para este valor de  x .)

De manera similar, x = 1/ e es donde ocurre el mínimo global para la función.

$${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$$

La tetración infinita

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$o${\displaystyle {^{\infty }}x}$

converge si y sólo si x ∈ [(1/ e ) ^e , e ^{1/ e} ] ≈ [0.06599, 1.4447] , ^{[33] [34]} demostrado por un teorema de Leonhard Euler . ^{[35] [36] [37]}

El número real e es irracional . Euler demostró esto al mostrar que su simple desarrollo en fracción continua no termina. ^[38] (Véase también la prueba de Fourier de que e es irracional ).

Además, por el teorema de Lindemann-Weierstrass , e es trascendental , lo que significa que no es una solución de ninguna ecuación polinómica no nula con coeficientes racionales. Fue el primer número que se demostró trascendental sin haber sido construido específicamente para este propósito (compárese con el número de Liouville ); la prueba fue dada por Charles Hermite en 1873. ^[39] El número e es uno de los pocos números trascendentales para los que se conoce el exponente de irracionalidad exacto (dado por ). ^[40]${\displaystyle \mu (e)=2}$

Se conjetura que e es normal , lo que significa que cuando e se expresa en cualquier base, los posibles dígitos en esa base están distribuidos uniformemente (ocurren con igual probabilidad en cualquier secuencia de longitud dada). ^[41]

En geometría algebraica , un período es un número que puede expresarse como una integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico . La constante π es un período, pero se conjetura que e no lo es. ^[42]

La función exponencial e ^x puede escribirse como una serie de Taylor ^{[43] [29]}

$${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

Debido a que esta serie es convergente para cada valor complejo de x , se utiliza comúnmente para extender la definición de e ^x a los números complejos. ^[44] Esto, con la serie de Taylor para sen y cos x , permite derivar la fórmula de Euler :

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

que es válida para cada complejo x . ^[44] El caso especial con x = π es la identidad de Euler :

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$$que se considera un ejemplo de belleza matemática ya que muestra una conexión profunda entre los números más fundamentales de las matemáticas. Además, se utiliza directamente en una prueba de que π es trascendental , lo que implica la imposibilidad de cuadrar el círculo . ^{[45] [46]} Además, la identidad implica que, en la rama principal del logaritmo, ^[44]

$${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$$

Además, utilizando las leyes de exponenciación,

$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$$

para cualquier entero n , que es la fórmula de De Moivre . ^[47]

Las expresiones de cos x y sen x en términos de la función exponencial se pueden deducir de la serie de Taylor: ^[44]$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$$

La expresión a veces se abrevia como cis( x ) . ^[47]${\textstyle \cos x+i\sin x}$

El número e se puede representar de diversas maneras: como una serie infinita , un producto infinito , una fracción continua o un límite de una sucesión . Además del límite y la serie dados anteriormente, también existe la fracción continua

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}$^{[48] ​​[49]}

que escrito parece

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

El siguiente producto infinito se evalúa como e : ^[26]$${\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}$$

Se han probado muchas otras representaciones de e en series, secuencias, fracciones continuas y productos infinitos .

Además de las expresiones analíticas exactas para la representación de e , existen técnicas estocásticas para estimar e . Una de estas técnicas comienza con una secuencia infinita de variables aleatorias independientes X ₁ , X ₂ ..., extraídas de la distribución uniforme en [0, 1]. Sea V el menor número n tal que la suma de las primeras n observaciones exceda 1:

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}$

Entonces el valor esperado de V es e : E( V ) = e . ^{[50] [51]}

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado sustancialmente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al aumento del rendimiento de los ordenadores como a las mejoras algorítmicas. ^{[52] [53]}

Desde aproximadamente 2010, la proliferación de computadoras de escritorio modernas de alta velocidad ha hecho posible que los aficionados calculen billones de dígitos de e en cantidades de tiempo aceptables. El 5 de diciembre de 2020, se realizó un cálculo récord, que dio e igual a 31.415.926.535.897 (aproximadamente π × 10¹³ ) dígitos. ^[61]

Una forma de calcular los dígitos de e es con la serie ^[62]$${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.}$$

Un método más rápido implica dos funciones recursivas y . Las funciones se definen como${\displaystyle p(a,b)}$${\displaystyle q(a,b)}$$${\displaystyle {\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}}$$

La expresión produce la suma parcial n de la serie anterior. Este método utiliza la división binaria para calcular e con menos operaciones aritméticas de un solo dígito y, por lo tanto, reduce la complejidad de bits . La combinación de esto con métodos basados ​​en la transformada rápida de Fourier para multiplicar números enteros hace que el cálculo de los dígitos sea muy rápido. ^[62]$${\displaystyle 1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}}$$

Durante el surgimiento de la cultura de Internet , los individuos y las organizaciones a veces rendían homenaje al número e .

En un ejemplo temprano, el científico informático Donald Knuth dejó que los números de versión de su programa Metafont se aproximaran a e . Las versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, y así sucesivamente. ^[63]

En otro caso, la presentación de la oferta pública inicial de Google en 2004, en lugar de una típica cantidad de dinero redonda, la empresa anunció su intención de recaudar 2.718.281.828 USD , lo que equivale a mil millones de dólares redondeados al dólar más cercano. ^[64]

Google también fue responsable de un cartel publicitario ^[65] que apareció en el corazón de Silicon Valley , y más tarde en Cambridge, Massachusetts ; Seattle, Washington ; y Austin, Texas . Decía "{primer primo de 10 dígitos encontrado en dígitos consecutivos de e }.com". El primer primo de 10 dígitos en e es 7427466391, que comienza en el dígito 99. ^[66] Resolver este problema y visitar el sitio web anunciado (ahora desaparecido) condujo a un problema aún más difícil de resolver, que consistía en encontrar el quinto término en la secuencia 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Resultó que la secuencia consistía en números de 10 dígitos encontrados en dígitos consecutivos de e cuyos dígitos sumaban 49. El quinto término en la secuencia es 5966290435, que comienza en el dígito 127. ^[67] Resolver este segundo problema finalmente condujo a una página web de Google Labs donde se invitaba al visitante a enviar un currículum. ^[68]

• Maor, Eli; e : La historia de un número , ISBN 0-691-05854-7 
• Comentario a la nota final 10 del libro Prime Obsession para otra representación estocástica
• McCartin, Brian J. (2006). "e: El amo de todo" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 28 (2): 10–21. doi :10.1007/bf02987150. S2CID  123033482.

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Wikiquote tiene citas relacionadas con e (constante matemática) .

• El número e a 1 millón de lugares y NASA.gov 2 y 5 millones de lugares
• Aproximaciones electrónicas – Wolfram MathWorld
• Los primeros usos de símbolos para constantes 13 de enero de 2008
• "La historia de e", por Robin Wilson en Gresham College , 28 de febrero de 2007 (disponible para descarga de audio y video)
• Motor de búsqueda electrónico 2 mil millones de dígitos de búsqueda de e , π y √ 2