Interés compuesto

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El interés compuesto es el interés acumulado a partir de una suma principal y de intereses previamente acumulados. Es el resultado de reinvertir o retener intereses que de otro modo se pagarían, o de la acumulación de deudas de un prestatario.

El interés compuesto se contrasta con el interés simple , en el que el interés acumulado previamente no se suma al monto principal del período actual. El interés compuesto depende de la tasa de interés simple aplicada y de la frecuencia con la que se capitaliza el interés.

La frecuencia de capitalización es el número de veces por unidad de tiempo determinada que se capitaliza el interés acumulado, de manera regular. La frecuencia puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, semanal, diaria, continua o no capitalizarse hasta el vencimiento.

Por ejemplo, la capitalización mensual con intereses expresados ​​como tasa anual significa que la frecuencia de capitalización es 12, con períodos de tiempo medidos en meses.

Para ayudar a los consumidores a comparar los productos financieros minoristas de manera más justa y sencilla, muchos países exigen a las instituciones financieras que revelen la tasa de interés anual compuesta sobre depósitos o anticipos sobre una base comparable. La tasa de interés sobre una base anual equivalente puede denominarse de diversas formas en diferentes mercados como tasa anual efectiva porcentual (EAPR), tasa anual equivalente (AER), tasa de interés efectiva , tasa anual efectiva , rendimiento porcentual anual y otros términos. La tasa anual efectiva es el interés acumulado total que se pagaría hasta el final de un año, dividido por la suma principal. Estas tasas suelen ser la tasa de interés compuesta anualizada junto con otros cargos distintos del interés, como impuestos y otras tarifas.

• Los intereses de los bonos corporativos y gubernamentales suelen pagarse dos veces al año. El monto de los intereses que se pagan cada seis meses es el tipo de interés divulgado dividido por dos y multiplicado por el capital. El tipo compuesto anual es superior al tipo divulgado.
• Los préstamos hipotecarios canadienses generalmente se capitalizan semestralmente con pagos mensuales o más frecuentes. ^[1]
• Las hipotecas estadounidenses utilizan un préstamo amortizable , no interés compuesto. En estos préstamos, se utiliza un cronograma de amortización para determinar cómo aplicar los pagos al capital y los intereses. Los intereses generados por estos préstamos no se suman al capital, sino que se pagan mensualmente a medida que se aplican los pagos.
• A veces resulta matemáticamente más sencillo, por ejemplo, en la valoración de derivados , utilizar la capitalización continua. La capitalización continua en la fijación de precios de estos instrumentos es una consecuencia natural del cálculo de Itô , en el que los derivados financieros se valoran con una frecuencia cada vez mayor, hasta que se llega al límite y el derivado se valora en tiempo continuo.

El interés compuesto cobrado por los prestamistas se consideraba en el pasado el peor tipo de usura y era severamente condenado por la ley romana y las leyes comunes de muchos otros países. ^[2]

El comerciante florentino Francesco Balducci Pegolotti proporcionó una tabla de interés compuesto en su libro Pratica della mercatura de alrededor de 1340. Da el interés de 100 liras, para tasas del 1% al 8%, por hasta 20 años. ^[3] La Summa de arithmetica de Luca Pacioli (1494) da la Regla del 72 , que establece que para encontrar el número de años para que una inversión a interés compuesto se duplique, uno debe dividir la tasa de interés por 72.

El libro de Richard Witt Arithmeticall Questions , publicado en 1613, fue un hito en la historia del interés compuesto. Estaba dedicado por completo al tema (anteriormente llamado anatocismo), mientras que los escritores anteriores generalmente habían tratado el interés compuesto brevemente en un solo capítulo en un libro de texto de matemáticas. El libro de Witt proporcionó tablas basadas en el 10% (la tasa máxima de interés permitida en préstamos) y otras tasas para diferentes propósitos, como la valuación de arrendamientos de propiedades. Witt era un matemático profesional de Londres y su libro es notable por su claridad de expresión, profundidad de conocimiento y precisión de cálculo, con 124 ejemplos resueltos. ^{[4] [5]}

Jacob Bernoulli descubrió la constante en 1683 al estudiar una cuestión sobre el interés compuesto.${\estilo de visualización e}$

En el siglo XIX, y posiblemente antes, los comerciantes persas utilizaban una aproximación lineal de Taylor ligeramente modificada para la fórmula de pago mensual que podían calcular fácilmente en sus cabezas. ^[6] En los tiempos modernos, la supuesta cita de Albert Einstein sobre el interés compuesto suena cierta: "Quien lo entiende lo gana; quien no lo paga". ^[7]

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El valor total acumulado, incluyendo la suma principal más el interés compuesto , se da mediante la fórmula: ^{[8] [9]}${\estilo de visualización P}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle A=P(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

dónde:

• A es la cantidad final
• P es la suma principal original
• r es la tasa de interés nominal anual
• n es la frecuencia de capitalización
• t es el tiempo total durante el cual se aplica el interés (expresado utilizando las mismas unidades de tiempo que r , generalmente años).

El interés compuesto total generado es el monto final menos el capital inicial, ya que el monto final es igual al capital más el interés: ^[10]

$${\displaystyle I=P(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}-P}$$

Como el capital P es simplemente un coeficiente, a menudo se lo descarta para simplificarlo y se utiliza en su lugar la función de acumulación resultante . La función de acumulación muestra cuánto crece $1 después de un período de tiempo determinado. La función de acumulación para el interés compuesto es:$${\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

Cuando el número de períodos de capitalización por año aumenta sin límite, se produce una capitalización continua, en cuyo caso la tasa anual efectiva se acerca a un límite superior de e ^r − 1 . La capitalización continua puede considerarse como dejar que el período de capitalización se vuelva infinitesimalmente pequeño, lo que se logra tomando el límite cuando n tiende a infinito . La cantidad después de t períodos de capitalización continua puede expresarse en términos de la cantidad inicial P ₀ como:

$${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}.}$$

Como el número de períodos de capitalización tiende a infinito en la capitalización continua, la tasa de interés compuesta continua se denomina fuerza de interés . Para cualquier función de acumulación continuamente diferenciable a(t), la fuerza de interés, o más generalmente el rendimiento logarítmico o de capitalización continua , es una función del tiempo como sigue:${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización \delta}$

$${\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)}$$

Esta es la derivada logarítmica de la función de acumulación.

Por el contrario: (dado que , esto puede verse como un caso particular de una integral de producto ).$${\displaystyle a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,}$$${\displaystyle a(0)=1}$

Cuando la fórmula anterior se escribe en formato de ecuación diferencial, entonces la fuerza de interés es simplemente el coeficiente de la cantidad de cambio:$${\displaystyle da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt}$$

Para el interés compuesto con una tasa de interés anual constante r , la fuerza del interés es una constante y la función de acumulación del interés compuesto en términos de la fuerza del interés es una simple potencia de e : o$${\displaystyle \delta =\ln(1+r)}$$$${\displaystyle a(t)=e^{t\delta}}$$

La fuerza de interés es menor que la tasa de interés efectiva anual, pero mayor que la tasa de descuento efectiva anual . Es el recíproco del tiempo de plegado .

Una forma de modelar la fuerza de la inflación es con la fórmula de Stoodley: donde p , r y s son estimados.${\displaystyle \delta _{t}=p+{s \sobre {1+rse^{st}}}}$

Convertir una tasa de interés de una base de capitalización a otra base de capitalización, de modo que

$${\displaystyle \left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{n_{1}}=\left(1+{\frac {r_{2}}{n_{2}}}\right)^{n_{2}}}$$

usar

$${\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},}$$

donde r ₁ es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n ₁ , y r ₂ es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n ₂ .

Cuando el interés se capitaliza continuamente, utilice

$${\displaystyle \delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},}$$

donde es la tasa de interés sobre una base de capitalización continua, y r es la tasa de interés establecida con una frecuencia de capitalización n .${\estilo de visualización \delta}$

Los intereses de los préstamos e hipotecas que se amortizan (es decir, que tienen un pago mensual uniforme hasta que se cancela el préstamo) suelen capitalizarse mensualmente. La fórmula para los pagos se encuentra en el siguiente argumento.

Una fórmula exacta para el pago mensual ( ) es o equivalentemente${\estilo de visualización c}$$${\displaystyle c={\frac {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}}$$$${\displaystyle c={\frac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle c}$= pago mensual
• ${\displaystyle P}$= principal
• ${\displaystyle r}$= tasa de interés mensual
• ${\displaystyle n}$= número de períodos de pago

En las hojas de cálculo se utiliza la función PMT() . La sintaxis es la siguiente:

PMT(tasa_de_interés, número_de_pagos, valor_actual, valor_futuro, [Tipo])

Se puede encontrar una fórmula con una precisión de unos pocos porcentajes observando que, para las tasas de interés típicas de los billetes estadounidenses ( y plazos de entre 10 y 30 años), la tasa de interés mensual es pequeña en comparación con 1, de modo que lo que produce la simplificación:${\displaystyle I<8\%}$${\displaystyle T}$${\displaystyle r<<1}$${\displaystyle \ln(1+r)\approx r}$

$${\displaystyle c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}}$$

lo que sugiere definir variables auxiliares

$${\displaystyle Y\equiv nr=IT}$$$${\displaystyle c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}.}$$

Aquí se muestra el pago mensual requerido para un préstamo sin intereses pagado en cuotas. En términos de estas variables, la aproximación se puede escribir como .${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle n}$${\textstyle c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$

Sea . La expansión es válida para más del 1% siempre que .${\textstyle X={\frac {1}{2}}Y}$${\textstyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)}$${\displaystyle X\leq 1}$

Para una hipoteca de $120,000 con un plazo de 30 años y una tasa de interés del 4.5%, pagadera mensualmente, encontramos:

$${\displaystyle T=30}$$$${\displaystyle I=0.045}$$$${\displaystyle c_{0}={\frac {\$120,000}{360}}=\$333.33}$$

Lo cual da

$${\displaystyle X={\frac {1}{2}}IT=.675}$$

de modo que

$${\displaystyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96}$$

El monto exacto del pago es, por lo tanto, una sobreestimación de aproximadamente un sexto de un por ciento.${\displaystyle c=\$608.02}$

Dado un depósito principal y un depósito recurrente, el rendimiento total de una inversión se puede calcular a través del interés compuesto obtenido por unidad de tiempo. Si es necesario, el interés sobre depósitos adicionales no recurrentes y recurrentes también se puede definir dentro de la misma fórmula (ver más abajo). ^[11]

• ${\displaystyle P}$= depósito principal
• ${\displaystyle r}$= tasa de rendimiento (mensual)
• ${\displaystyle M}$= depósito mensual, y
• ${\displaystyle t}$= tiempo, en meses

El interés compuesto para cada depósito es: Sumando todos los depósitos recurrentes durante el período total t, (i comienza en 0 si los depósitos comienzan con la inversión del capital; i comienza en 1 si los depósitos comienzan el mes siguiente): Reconociendo la serie geométrica : y aplicando la fórmula de forma cerrada (razón común : ):$${\displaystyle M'=M(1+r)^{t}}$$$${\displaystyle M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}}$$${\displaystyle M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}}$${\displaystyle 1/(1+r)}$

$${\displaystyle P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}}$$

Si se producen dos o más tipos de depósitos (ya sean recurrentes o no recurrentes), el valor compuesto obtenido se puede representar como

$${\displaystyle {\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}}$$

donde C es cada suma global y k son depósitos recurrentes no mensuales, respectivamente, y x e y son las diferencias de tiempo entre un nuevo depósito y el período total que t está modelando.

Una estimación práctica para el cálculo inverso de la tasa de retorno cuando no se conoce la fecha exacta y el monto de cada depósito recurrente, una fórmula que supone un depósito mensual recurrente uniforme durante el período, es: ^[12] o$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}}$$$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1}$$

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