Simplectomorfismo

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En matemáticas , un simplectomorfismo o mapa simpléctico es un isomorfismo de la categoría de variedades simplécticas . En mecánica clásica , un simplectomorfismo representa una transformación del espacio de fases que preserva el volumen y la estructura simpléctica del espacio de fases, y se denomina transformación canónica .

Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas se llama simplectomorfismo si${\displaystyle f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')}$

${\displaystyle f^{*}\omega '=\omega,}$

donde es el pullback de . Los difeomorfismos simplécticos de a son un (pseudo)grupo, llamado grupo de simplectomorfismos (ver abajo).${\estilo de visualización f^{*}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$

La versión infinitesimal de los simplectomorfismos da los campos vectoriales simplécticos. Un campo vectorial se llama simpléctico si${\displaystyle X\en \Gamma ^{\infty }(TM)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0.}$

Además, es simpléctico si el flujo de es un simplectomorfismo para cada . Estos campos vectoriales construyen una subálgebra de Lie de . Aquí, es el conjunto de campos vectoriales suaves en , y es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi _{t}:M\rightarrow M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(TM)}$${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(TM)}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle X.}$

Los ejemplos de simplectomorfismos incluyen las transformaciones canónicas de la mecánica clásica y la física teórica , el flujo asociado a cualquier función hamiltoniana, la función de fibrados cotangentes inducida por cualquier difeomorfismo de variedades y la acción coadjunta de un elemento de un grupo de Lie en una órbita coadjunta .

Cualquier función suave en una variedad simpléctica da lugar, por definición, a un campo vectorial hamiltoniano y el conjunto de todos esos campos vectoriales forma una subálgebra del álgebra de Lie de campos vectoriales simplécticos . La integración del flujo de un campo vectorial simpléctico es un simplectomorfismo. Dado que los simplécticos preservan la 2-forma simpléctica y, por lo tanto, la forma de volumen simpléctica , se deduce el teorema de Liouville en mecánica hamiltoniana . Los simplécticomorfismos que surgen de los campos vectoriales hamiltonianos se conocen como simplécticomorfismos hamiltonianos.

Dado que { H , H } = X _H ( H ) = 0, el flujo de un campo vectorial hamiltoniano también preserva H . En física esto se interpreta como la ley de conservación de la energía .

Si el primer número de Betti de una variedad simpléctica conexa es cero, los campos vectoriales simplécticos y hamiltonianos coinciden, por lo que las nociones de isotopía hamiltoniana e isotopía simpléctica de los simplectomorfismos coinciden.

Se puede demostrar que las ecuaciones para una geodésica pueden formularse como un flujo hamiltoniano, ver Geodésicas como flujos hamiltonianos .

Los simplectomorfismos de una variedad hacia sí misma forman un pseudogrupo de dimensión infinita. El álgebra de Lie correspondiente consiste en cuerpos vectoriales simplécticos. Los simplectomorfismos hamiltonianos forman un subgrupo, cuya álgebra de Lie está dada por los cuerpos vectoriales hamiltonianos. Estos últimos son isomorfos al álgebra de Lie de funciones suaves en la variedad con respecto al corchete de Poisson , módulo las constantes.

El grupo de simplectomorfismos hamiltonianos de generalmente se denota como .${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \operatorname {Ham} (M,\omega )}$

Los grupos de difeomorfismos hamiltonianos son simples , según un teorema de Banyaga . ^[1] Tienen una geometría natural dada por la norma de Hofer. El tipo de homotopía del grupo de simplectomorfismos para ciertas cuadri-variedades simplécticas simples , como el producto de esferas , se puede calcular utilizando la teoría de curvas pseudoholomorfas de Gromov .

A diferencia de las variedades de Riemann , las variedades simplécticas no son muy rígidas: el teorema de Darboux muestra que todas las variedades simplécticas de la misma dimensión son localmente isomorfas. Por el contrario, las isometrías en la geometría de Riemann deben preservar el tensor de curvatura de Riemann , que es, por lo tanto, un invariante local de la variedad de Riemann. Además, cada función H en una variedad simpléctica define un campo vectorial hamiltoniano X _H , que exponencia a un grupo de un parámetro de difeomorfismos hamiltonianos. De ello se deduce que el grupo de simplectomorfismos es siempre muy grande y, en particular, de dimensión infinita. Por otro lado, el grupo de isometrías de una variedad de Riemann es siempre un grupo de Lie (de dimensión finita) . Además, las variedades de Riemann con grandes grupos de simetría son muy especiales, y una variedad de Riemann genérica no tiene simetrías no triviales.

Las representaciones de subgrupos de dimensión finita del grupo de simplectomorfismos (después de las deformaciones ħ, en general) en espacios de Hilbert se denominan cuantificaciones . Cuando el grupo de Lie es el definido por un hamiltoniano, se denomina "cuantización por energía". El operador correspondiente del álgebra de Lie al álgebra de Lie de operadores lineales continuos también se denomina a veces cuantificación ; esta es una forma más común de verlo en física.

Una célebre conjetura de Vladimir Arnold relaciona el número mínimo de puntos fijos para un simplectomorfismo hamiltoniano , en caso de que sea una variedad simpléctica compacta , con la teoría de Morse (véase ^[2] ). Más precisamente, la conjetura establece que tiene al menos tantos puntos fijos como el número de puntos críticos que debe tener una función suave en . Se ha demostrado una versión más débil de esta conjetura: cuando es "no degenerada", el número de puntos fijos está acotado desde abajo por la suma de los números de Betti de (véase, ^{[3] [4]} ). El desarrollo más importante en geometría simpléctica desencadenado por esta famosa conjetura es el nacimiento de la homología de Floer (véase ^[5] ), llamada así en honor a Andreas Floer .${\displaystyle \varphi :M\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$

"Simplectomorfismo" es una palabra en un crucigrama en el episodio 1 del anime Spy × Family . ^[6]

General

• McDuff, Dusa y Salamon, D. (1998), Introducción a la topología simpléctica , Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Abraham, Ralph y Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de mecánica , Londres: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-X. Véase la sección 3.2 .

Grupos de simplectomorfismo

• Gromov, M. (1985), "Curvas pseudoholomórficas en variedades simplécticas", Inventiones Mathematicae , 82 (2): 307–347, Bibcode :1985InMat..82..307G, doi :10.1007/BF01388806, S2CID  4983969.
• Polterovich, Leonid (2001), La geometría del grupo de difeomorfismo simpléctico , Basilea; Boston: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7.