4-colector

En matemáticas , una 4-variedad es una variedad topológica de 4 dimensiones . Una 4-variedad lisa es una 4-variedad con una estructura lisa . En dimensión cuatro, en marcado contraste con dimensiones inferiores, las variedades topológicas y lisas son bastante diferentes. Existen algunas 4-variedades topológicas que no admiten una estructura lisa, e incluso si existe una estructura lisa, no necesita ser única (es decir, hay 4-variedades lisas que son homeomorfas pero no difeomorfas ).

Las 4-variedades son importantes en física porque en la relatividad general , el espacio-tiempo se modela como una 4-variedad pseudo-riemanniana .

El tipo de homotopía de una 4-variedad compacta simplemente conexa depende únicamente de la forma de intersección de la homología de dimensión media. Un famoso teorema de Michael Freedman  (1982) implica que el tipo de homeomorfismo de la variedad depende únicamente de esta forma de intersección y de un invariante llamado invariante de Kirby-Siebenmann y, además, que puede surgir cualquier combinación de forma unimodular e invariante de Kirby-Siebenmann, excepto que si la forma es par, entonces el invariante de Kirby-Siebenmann debe ser la signatura/8 (mod 2).${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Ejemplos:

• En el caso especial cuando la forma es 0, esto implica la conjetura de Poincaré topológica de 4 dimensiones .
• Si la forma es la red E8 , esto da una variedad llamada variedad E8 , una variedad no homeomorfa a ningún complejo simplicial .
• Si la forma es , hay dos variedades que dependen del invariante de Kirby-Siebenmann: una es un espacio proyectivo complejo bidimensional y la otra es un espacio proyectivo falso, con el mismo tipo de homotopía pero no homeomorfo (y sin estructura suave).${\displaystyle \mathbb {Z}}$
• Cuando el rango de la forma es mayor que aproximadamente 28, el número de formas unimodulares definidas positivas comienza a aumentar extremadamente rápido con el rango, por lo que hay una enorme cantidad de 4-variedades topológicas simplemente conexas correspondientes (la mayoría de las cuales parecen no tener casi ningún interés).

La clasificación de Freedman se puede extender a algunos casos en los que el grupo fundamental no es demasiado complicado; por ejemplo, cuando es , existe una clasificación similar a la anterior que utiliza formas hermíticas sobre el anillo de grupos de . Si el grupo fundamental es demasiado grande (por ejemplo, un grupo libre sobre 2 generadores), entonces las técnicas de Freedman parecen fallar y se sabe muy poco sobre dichas variedades.${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

Para cualquier grupo finitamente presentado es fácil construir una 4-variedad compacta (suave) con él como su grupo fundamental. (Más específicamente, para cualquier grupo finitamente presentado, se construye una variedad con el grupo fundamental dado, de modo que dos variedades en esta familia sean homeomorfas si y solo si los grupos fundamentales son isomorfos.) Como no puede haber un algoritmo para determinar si dos grupos finitamente presentados son isomorfos (incluso si se sabe que uno es trivial), no puede haber un algoritmo para determinar si dos 4-variedades tienen el mismo grupo fundamental. Esta es una de las razones por las que gran parte del trabajo sobre 4-variedades solo considera el caso simplemente conexo: ya se sabe que el caso general de muchos problemas es intratable.

Para variedades de dimensión máxima de 6, cualquier estructura lineal por partes (PL) se puede suavizar de una manera esencialmente única, ^[1] por lo que, en particular, la teoría de las variedades PL de 4 dimensiones es muy similar a la teoría de las variedades suavizadas de 4 dimensiones.

Un problema importante abierto en la teoría de 4-variedades lisas es clasificar las variedades compactas simplemente conexas. Como se conocen las variedades topológicas, esto se divide en dos partes:

1. ¿Qué variedades topológicas son suavizables?
2. Clasifique las diferentes estructuras suaves en una variedad suavizable.

Existe una respuesta casi completa al primer problema que plantea la pregunta de qué 4-variedades compactas simplemente conexas tienen estructuras suaves. Primero, la clase Kirby–Siebenmann debe desaparecer.

• Si la forma de intersección es definida, el teorema de Donaldson (Donaldson 1983) da una respuesta completa: hay una estructura suave si y sólo si la forma es diagonalizable.
• Si la forma es indefinida e impar hay una estructura suave.
• Si la forma es indefinida e incluso podemos asumir que es de firma no positiva cambiando las orientaciones si es necesario, en cuyo caso es isomorfa a una suma de m copias de II _1,1 y 2 n copias de E ₈ (−1) para algunos m y n . Si m ≥ 3 n (de modo que la dimensión es al menos 11/8 veces la |firma|) entonces hay una estructura suave, dada al tomar una suma conexa de n K3 superficies y m  − 3 n copias de S ² × S ² . Si m ≤ 2 n (de modo que la dimensión es como máximo 10/8 veces la |firma|) entonces Furuta demostró que no existe una estructura suave (Furuta 2001). Esto deja una pequeña brecha entre 10/8 y 11/8 donde la respuesta es en su mayoría desconocida. (El caso más pequeño no cubierto anteriormente tiene n = 2 y m = 5, pero esto también se ha descartado, por lo que la red más pequeña para la que actualmente no se conoce la respuesta es la red II _7,55 de rango 62 con n = 3 y m = 7. Consulte ^[2] para conocer el progreso reciente (a partir de 2019) en esta área). La "conjetura 11/8" establece que no existen estructuras suaves si la dimensión es menor que 11/8 veces la |firma|.

En contraste, se sabe muy poco sobre la segunda cuestión de clasificar las estructuras suaves en una 4-variedad suavizable; de ​​hecho, no hay una sola 4-variedad suavizable cuya respuesta se conozca completamente. Donaldson demostró que hay algunas 4-variedades compactas simplemente conexas, como las superficies de Dolgachev , con un número infinito numerable de diferentes estructuras suaves. Hay un número incontable de diferentes estructuras suaves en R ⁴ ; vea R ⁴ exótico . Fintushel y Stern mostraron cómo usar la cirugía para construir un gran número de diferentes estructuras suaves (indexadas por polinomios integrales arbitrarios) en muchas variedades diferentes, usando invariantes de Seiberg-Witten para mostrar que las estructuras suaves son diferentes. Sus resultados sugieren que cualquier clasificación de 4-variedades suaves simplemente conexas será muy complicada. Actualmente no hay conjeturas plausibles sobre cómo podría ser esta clasificación. (Algunas conjeturas tempranas de que todas las 4-variedades suaves simplemente conexas podrían ser sumas conexas de superficies algebraicas o variedades simplécticas , posiblemente con orientaciones invertidas, han sido refutadas.)

Hay varios teoremas fundamentales sobre variedades que pueden demostrarse mediante métodos de baja dimensión en dimensiones de como máximo 3, y mediante métodos de alta dimensión completamente diferentes en dimensiones de como mínimo 5, pero que son falsos en dimensión 4. He aquí algunos ejemplos:

• En dimensiones distintas de 4, el invariante de Kirby-Siebenmann impide la existencia de una estructura PL; en otras palabras, una variedad topológica compacta tiene una estructura PL si y solo si su invariante de Kirby-Siebenmann en H ⁴ ( M , Z /2 Z ) se anula. En dimensión 3 e inferior, cada variedad topológica admite una estructura PL esencialmente única. En dimensión 4 hay muchos ejemplos con invariante de Kirby-Siebenmann que se anula pero sin estructura PL.
• En cualquier dimensión distinta de 4, una variedad topológica compacta tiene solo un número finito de estructuras lisas o PL esencialmente distintas. En dimensión 4, las variedades compactas pueden tener un número infinito numerable de estructuras lisas no difeomórficas.
• Cuatro es la única dimensión n para la cual R ⁿ puede tener una estructura suave exótica. R ⁴ tiene un número incontable de estructuras suaves exóticas; véase R ⁴ exótico .
• La solución de la conjetura de Poincaré suave se conoce en todas las dimensiones distintas de 4 (normalmente es falsa en dimensiones de al menos 7; véase esfera exótica ). La conjetura de Poincaré para variedades PL ha sido demostrada para todas las dimensiones distintas de 4. En 4 dimensiones, la conjetura de Poincaré PL es equivalente a la conjetura de Poincaré suave, y su verdad es desconocida.
• El teorema del h-cobordismo suave se cumple para cobordismos siempre que ni el cobordismo ni su límite tengan dimensión 4. Puede fallar si el límite del cobordismo tiene dimensión 4 (como lo muestra Donaldson ). ^[3] Si el cobordismo tiene dimensión 4, entonces se desconoce si el teorema del h-cobordismo se cumple.
• Una variedad topológica de dimensión distinta de 4 tiene una descomposición en cuerpo de manija . Las variedades de dimensión 4 tienen una descomposición en cuerpo de manija si y solo si son suavizables.
• Existen variedades topológicas compactas de 4 dimensiones que no son homeomorfas a ningún complejo simplicial . Ciprian Manolescu demostró que existen variedades topológicas en cada dimensión mayores o iguales a 5, que no son homeomorfas a un complejo simplicial. ^[4]

Según Frank Quinn , "Dos subvariedades n -dimensionales de una variedad de dimensión 2n normalmente se intersecan a sí mismas y entre sí en puntos aislados. El "truco de Whitney" utiliza una isotopía a través de un disco 2 incrustado para simplificar estas intersecciones. En términos generales, esto reduce el estudio de incrustaciones n -dimensionales a incrustaciones de discos 2. Pero esto no es una reducción cuando la dimensión es 4: los discos 2 en sí mismos son de dimensión media, por lo que tratar de incrustarlos enfrenta exactamente los mismos problemas que se supone que resuelven. Este es el fenómeno que separa la dimensión 4 de otras". ^[5]

• Cálculo de Kirby
• Superficie algebraica
• 3-colector
• 5-múltiple
• Clasificación Enriques-Kodaira
• Mango de casson
• Corcho Akbulut

• Donaldson, Simon K. (1983), "Una aplicación de la teoría de calibre a la topología de cuatro dimensiones", Journal of Differential Geometry , 18 (2): 279–315, doi : 10.4310/jdg/1214437665
• Donaldson, Simon K. ; Kronheimer, Peter B. (1997), La geometría de cuatro variedades , Oxford Mathematical Monographs, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-850269-9
• Freed, Daniel S. ; Uhlenbeck, Karen K. (1984), Instantones y cuatro variedades , Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 1, Springer-Verlag, Nueva York, doi :10.1007/978-1-4684-0258-2, ISBN 0-387-96036-8, Sr.  0757358
• Freedman, Michael Hartley (1982), "La topología de variedades de cuatro dimensiones", Journal of Differential Geometry , 17 (3): 357–453, doi : 10.4310/jdg/1214437136 , MR  0679066
• Freedman, Michael H. ; Quinn, Frank (1990), Topología de 4-variedades , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-08577-3
• Furuta, Mikio (2001), "Ecuación monopolar y conjetura 11/8", Mathematical Research Letters , 8 : 279–291, doi : 10.4310/mrl.2001.v8.n3.a5 , MR  1839478
• Kirby, Robion C. (1989), La topología de 4-variedades , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0089031, ISBN 978-3-540-51148-9, Sr.  1001966
• Gompf, Robert E. ; Stipsicz, András I. (1999), 4-Variedades y cálculo de Kirby , Grad. Studies in Math., vol. 20, American Mathematical Society , MR  1707327
• Kirby, RC; Taylor, LR (1998). "Un estudio de las 4-variedades a través de los ojos de la cirugía". arXiv : math.GT/9803101 .
• Mandelbaum, R. (1980), "Topología de cuatro dimensiones: una introducción", Bull. Amer. Math. Soc. , 2 : 1–159, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14687-X
• Matveev, SV (2001) [1994], "Variedades de cuatro dimensiones", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Scorpan, A. (2005), El mundo salvaje de las 4-variedades , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3749-4

• Medios relacionados con 4-variedades en Wikimedia Commons