Espacio localmente compacto

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio topológico se denomina localmente compacto si, en términos generales, cada pequeña porción del espacio parece una pequeña porción de un espacio compacto . Más precisamente, es un espacio topológico en el que cada punto tiene una vecindad compacta .

En el análisis matemático son de particular interés los espacios localmente compactos de Hausdorff ; se abrevian como espacios LCH . ^[1]

Sea X un espacio topológico . Lo más común es decir que X es localmente compacto si cada punto x de X tiene un entorno compacto , es decir, existe un conjunto abierto U y un conjunto compacto K , tales que .${\displaystyle x\in U\subseteq K}$

Existen otras definiciones comunes: todas son equivalentes si X es un espacio de Hausdorff (o preregular), pero no son equivalentes en general:

1. cada punto de X tiene un vecindario compacto .

2. cada punto de X tiene un vecindario compacto cerrado .

2′. cada punto de X tiene un vecindario relativamente compacto .

2″. cada punto de X tiene una base local de vecindades relativamente compactas.

3. cada punto de X tiene una base local de vecindades compactas.

4. cada punto de X tiene una base local de vecindarios compactos cerrados.

5. X es Hausdorff y satisface cualquiera (o equivalentemente, todas) las condiciones anteriores.

Relaciones lógicas entre las condiciones: ^[2]

• Cada condición implica (1).
• Las condiciones (2), (2′), (2″) son equivalentes.
• Ninguna de las condiciones (2), (3) implica la otra.
• La condición (4) implica (2) y (3).
• La compacidad implica las condiciones (1) y (2), pero no (3) o (4).

La condición (1) es probablemente la definición más comúnmente utilizada, ya que es la menos restrictiva y las otras son equivalentes a ella cuando X es Hausdorff . Esta equivalencia es una consecuencia de los hechos de que los subconjuntos compactos de los espacios de Hausdorff son cerrados, y los subconjuntos cerrados de los espacios compactos son compactos. Los espacios que satisfacen (1) también se denominandébilmente compactos localmente ,^[3][4]ya que satisfacen la más débil de las condiciones aquí.

Como se definen en términos de conjuntos relativamente compactos, los espacios que satisfacen (2), (2'), (2") pueden llamarse más específicamente localmente relativamente compactos . ^{[5] [6]} Steen y Seebach ^[7] llaman a (2), (2'), (2") fuertemente localmente compactos para contrastar con la propiedad (1), a la que llaman localmente compactos .

Los espacios que satisfacen la condición (4) son exactamente losespacios regulares localmente compactos ^{. [8][2]} De hecho, un espacio de este tipo es regular, ya que cada punto tiene una base local de vecindades cerradas. A la inversa, en un espacio regular localmente compacto supongamos que un puntotiene una vecindad compacta. Por regularidad, dada una vecindad arbitrariade, hay una vecindad cerradadecontenida enyes compacta como un conjunto cerrado en un conjunto compacto.${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K\cap U}$${\displaystyle V}$

La condición (5) se utiliza, por ejemplo, en Bourbaki . ^[9] Cualquier espacio que sea localmente compacto (en el sentido de la condición (1)) y también Hausdorff satisface automáticamente todas las condiciones anteriores. Dado que en la mayoría de las aplicaciones los espacios localmente compactos también son Hausdorff, estos espacios localmente compactos de Hausdorff ( LCH ) serán los espacios de los que se ocupa principalmente este artículo.

Todo espacio de Hausdorff compacto es también localmente compacto, y en el artículo sobre espacios compactos se pueden encontrar muchos ejemplos de espacios compactos . Aquí sólo mencionamos:

• el intervalo unitario [0,1];
• el conjunto de Cantor ;
• El cubo de Hilbert .

• Los espacios euclidianos R ⁿ (y en particular la línea real R ) son localmente compactos como consecuencia del teorema de Heine-Borel .
• Las variedades topológicas comparten las propiedades locales de los espacios euclidianos y, por lo tanto, también son localmente compactas. Esto incluye incluso variedades no paracompactas como la línea larga .
• Todos los espacios discretos son localmente compactos y de Hausdorff (son simplemente las variedades de dimensión cero ). Estos son compactos solo si son finitos.
• Todos los subconjuntos abiertos o cerrados de un espacio de Hausdorff localmente compacto son localmente compactos en la topología de subespacios . Esto proporciona varios ejemplos de subconjuntos localmente compactos de espacios euclidianos, como el disco unitario (ya sea la versión abierta o cerrada).
• El espacio Q _p de números p -ádicos es localmente compacto, porque es homeomorfo al conjunto de Cantor menos un punto. Por lo tanto, los espacios localmente compactos son tan útiles en el análisis p -ádico como en el análisis clásico .

Como se menciona en la siguiente sección, si un espacio de Hausdorff es localmente compacto, entonces también es un espacio de Tichonoff . Por esta razón, en el artículo dedicado a los espacios de Tichonoff se pueden encontrar ejemplos de espacios de Hausdorff que no llegan a ser localmente compactos porque no son espacios de Tichonoff . Pero también hay ejemplos de espacios de Tichonoff que no llegan a ser localmente compactos, como por ejemplo:

• el espacio Q de números racionales (dotado de la topología de R ), ya que cualquier vecindad contiene una sucesión de Cauchy correspondiente a un número irracional, que no tiene ninguna subsucesión convergente en Q ;
• el subespacio de , ya que el origen no tiene un vecindario compacto;${\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$
• la topología del límite inferior o topología del límite superior en el conjunto R de números reales (útil en el estudio de límites unilaterales );
• cualquier T ₀ , por lo tanto de Hausdorff, espacio vectorial topológico de dimensión infinita , como un espacio de Hilbert de dimensión infinita .

Los dos primeros ejemplos muestran que un subconjunto de un espacio localmente compacto no necesita serlo necesariamente, lo que contrasta con los subconjuntos abiertos y cerrados de la sección anterior. El último ejemplo contrasta con los espacios euclidianos de la sección anterior; para ser más específicos, un espacio vectorial topológico de Hausdorff es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita (en cuyo caso es un espacio euclidiano). Este ejemplo también contrasta con el cubo de Hilbert como ejemplo de espacio compacto; no hay contradicción porque el cubo no puede ser un entorno de ningún punto en el espacio de Hilbert.

• La compactificación de un punto de los números racionales Q es compacta y por lo tanto localmente compacta en los sentidos (1) y (2) pero no es localmente compacta en los sentidos (3) o (4).
• La topología puntual particular de cualquier conjunto infinito es localmente compacta en los sentidos (1) y (3) pero no en los sentidos (2) o (4), porque el cierre de cualquier vecindad es el espacio entero, que no es compacto.
• La unión disjunta de los dos ejemplos anteriores es localmente compacta en el sentido (1) pero no en los sentidos (2), (3) o (4).
• La topología de orden correcto en la línea real es localmente compacta en los sentidos (1) y (3) pero no en los sentidos (2) o (4), porque el cierre de cualquier vecindad es todo el espacio no compacto.
• El espacio de Sierpiński es localmente compacto en los sentidos (1), (2) y (3), y también compacto, pero no es Hausdorff ni regular (ni siquiera preregular), por lo que no es localmente compacto en los sentidos (4) o (5). La unión disjunta de un número contable de copias del espacio de Sierpiński es un espacio no compacto que sigue siendo localmente compacto en los sentidos (1), (2) y (3), pero no en los sentidos (4) o (5).
• De manera más general, la topología de puntos excluidos es localmente compacta en los sentidos (1), (2) y (3), y compacta, pero no localmente compacta en los sentidos (4) o (5).
• La topología cofinita en un conjunto infinito es localmente compacta en los sentidos (1), (2) y (3), y también compacta, pero no es Hausdorff ni regular, por lo que no es localmente compacta en los sentidos (4) o (5).
• La topología indiscreta en un conjunto con al menos dos elementos es localmente compacta en los sentidos (1), (2), (3) y (4), y compacta también, pero no es Hausdorff, por lo que no es localmente compacta en el sentido (5).

• Todo espacio con una topología de Alexandrov es localmente compacto en los sentidos (1) y (3). ^[10]

Todo espacio preregular localmente compacto es, de hecho, completamente regular . ^{[11] [12]} De ello se deduce que todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Tichonoff . ^[13] Puesto que la regularidad directa es una condición más familiar que la preregularidad (que suele ser más débil) o la regularidad completa (que suele ser más fuerte), los espacios preregulares localmente compactos se denominan normalmente en la literatura matemática espacios regulares localmente compactos . De forma similar, los espacios de Tichonoff localmente compactos suelen denominarse simplemente espacios de Hausdorff localmente compactos .

Todo espacio regular localmente compacto, en particular todo espacio de Hausdorff localmente compacto, es un espacio de Baire . ^{[14] [15]} Es decir, se cumple la conclusión del teorema de la categoría de Baire : el interior de cada unión numerable de subconjuntos densos en ninguna parte está vacío.

Un subespacio X de un espacio de Hausdorff localmente compacto Y es localmente compacto si y solo si X es localmente cerrado en Y (es decir, X puede escribirse como la diferencia de teoría de conjuntos de dos subconjuntos cerrados de Y ). En particular, todo conjunto cerrado y todo conjunto abierto en un espacio de Hausdorff localmente compacto es localmente compacto. Además, como corolario, un subespacio denso X de un espacio de Hausdorff localmente compacto Y es localmente compacto si y solo si X es abierto en Y . Además, si un subespacio X de cualquier espacio de Hausdorff Y es localmente compacto, entonces X todavía debe ser localmente cerrado en Y , aunque la inversa no se cumple en general.

Sin la hipótesis de Hausdorff, algunos de estos resultados no se pueden aplicar a nociones más débiles de localmente compacto. Todo conjunto cerrado en un espacio débilmente localmente compacto (= condición (1) en las definiciones anteriores) es débilmente localmente compacto. Pero no todo conjunto abierto en un espacio débilmente localmente compacto es débilmente localmente compacto. Por ejemplo, la compactificación de un punto de los números racionales es compacta y, por lo tanto, débilmente localmente compacta. Pero contiene un conjunto abierto que no es débilmente localmente compacto.${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Los espacios cocientes de espacios de Hausdorff localmente compactos son espacios de Hausdorff generados de forma compacta . A la inversa, todo espacio de Hausdorff generado de forma compacta es un cociente de algún espacio de Hausdorff localmente compacto.

Para funciones definidas en un espacio localmente compacto, la convergencia uniforme local es lo mismo que la convergencia compacta .

En esta sección se exploran las compactificaciones de espacios localmente compactos. Cada espacio compacto es su propia compactificación. Por lo tanto, para evitar trivialidades, se supone a continuación que el espacio X no es compacto.

Como cada espacio localmente compacto de Hausdorff X es de Tichonoff, puede ser incluido en un espacio compacto de Hausdorff utilizando la compactificación de Stone-Čech . Pero, de hecho, hay un método más simple disponible en el caso localmente compacto; la compactificación de un punto incluirá a X en un espacio compacto de Hausdorff con solo un punto adicional. (La compactificación de un punto se puede aplicar a otros espacios, pero será de Hausdorff si y solo si X es localmente compacto y de Hausdorff). Los espacios localmente compactos de Hausdorff pueden, por lo tanto, caracterizarse como los subconjuntos abiertos de los espacios compactos de Hausdorff.${\displaystyle b(X)}$${\displaystyle a(X)}$${\displaystyle a(X)}$

Intuitivamente, el punto extra en puede considerarse como un punto en el infinito . El punto en el infinito debe considerarse como si estuviera fuera de cada subconjunto compacto de X. Muchas nociones intuitivas sobre la tendencia hacia el infinito pueden formularse en espacios de Hausdorff localmente compactos utilizando esta idea. Por ejemplo, se dice que una función continua real o compleja f con dominio X se desvanece en el infinito si , dado cualquier número positivo e , existe un subconjunto compacto K de X tal que siempre que el punto x esté fuera de K. Esta definición tiene sentido para cualquier espacio topológico X. Si X es localmente compacto y Hausdorff, tales funciones son precisamente aquellas extensibles a una función continua g en su compactificación de un punto donde${\displaystyle a(X)}$ ${\displaystyle |f(x)|<e}$ ${\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}$${\displaystyle g(\infty )=0.}$

Para un espacio localmente compacto de Hausdorff X, el conjunto de todas las funciones continuas de valor complejo en X que se anulan en el infinito es una C*-álgebra conmutativa . De hecho, toda C*-álgebra conmutativa es isomorfa a algún espacio localmente compacto de Hausdorff X único ( salvo el homeomorfismo ) . Esto se muestra utilizando la representación de Gelfand . ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$

La noción de compacidad local es importante en el estudio de grupos topológicos principalmente porque cada grupo localmente compacto de Hausdorff G conlleva medidas naturales llamadas medidas de Haar que permiten integrar funciones mensurables definidas en G . La medida de Lebesgue en la línea real es un caso especial de esto.${\displaystyle \mathbb {R} }$

El dual de Pontryagin de un grupo abeliano topológico A es localmente compacto si y solo si A es localmente compacto. Más precisamente, la dualidad de Pontryagin define una autodualidad de la categoría de grupos abelianos localmente compactos. El estudio de los grupos abelianos localmente compactos es la base del análisis armónico , un campo que desde entonces se ha extendido a los grupos localmente compactos no abelianos.

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