Onda magnetosónica

Tipo de onda compresiva de baja frecuencia

En física , las ondas magnetosónicas , también conocidas como ondas magnetoacústicas , son ondas compresivas de baja frecuencia impulsadas por la interacción mutua entre un fluido conductor de electricidad y un campo magnético . Están asociadas con la compresión y rarefacción tanto del fluido como del campo magnético, así como con una tensión efectiva que actúa para enderezar las líneas de campo magnético dobladas. Las propiedades de las ondas magnetosónicas dependen en gran medida del ángulo entre el vector de onda y el campo magnético de equilibrio y de la importancia relativa de los procesos magnéticos y del fluido en el medio. Solo se propagan con frecuencias mucho más pequeñas que las frecuencias del ciclotrón iónico o del plasma iónico del medio, y no son dispersivas a pequeñas amplitudes.

Existen dos tipos de ondas magnetosónicas, las ondas magnetosónicas rápidas y las ondas magnetosónicas lentas , que, junto con las ondas de Alfvén , son los modos normales de la magnetohidrodinámica ideal. Los modos rápidos y lentos se distinguen por oscilaciones magnéticas y de presión de gas que están en fase o en contrafase, respectivamente. Esto da como resultado que la velocidad de fase de cualquier modo rápido dado sea siempre mayor o igual que la de cualquier modo lento en el mismo medio, entre otras diferencias.

Se han observado ondas magnetosónicas en la corona solar y proporcionan una base observacional para la sismología coronal .

Características

Las ondas magnetosónicas son un tipo de onda de baja frecuencia presente en fluidos magnetizados y conductores de electricidad, como plasmas y metales líquidos . Existen a frecuencias muy inferiores a las frecuencias de ciclotrón y plasma de los iones y electrones en el medio (ver Parámetros del plasma § Frecuencias ).

En un fluido magnetizado, homogéneo, conductor de electricidad y de extensión infinita, existen dos modos magnetosónicos: el rápido y el lento. Junto con la onda de Alfvén , forman las tres ondas magnetohidrodinámicas lineales básicas (MHD). En este régimen, las ondas magnetosónicas son no dispersivas a pequeñas amplitudes.

Relación de dispersión

Las ondas magnetosónicas rápidas y lentas se definen mediante una relación de dispersión bicuadrática que puede derivarse de las ecuaciones MHD linealizadas.

Derivación a partir de ecuaciones MHD linealizadas ^[1]^[2]^[3]

En un fluido conductor de electricidad ideal con un campo magnético homogéneo $B$ , el conjunto cerrado de ecuaciones MHD que consiste en la ecuación de movimiento, la ecuación de continuidad, la ecuación de estado y la ecuación de inducción ideal (ver Magnetohidrodinámica § Ecuaciones ) linealizadas alrededor de un equilibrio estacionario donde la presión $p$ y la densidad $ρ$ son uniformes y constantes son:

\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {v} _{1}}{\partial t}}={\frac {(\nabla \times \mathbf {B} _{1} )\times \mathbf {B} _{0}}{\mu _{0}}}-\nabla p_{1},

{\frac {\parcial \rho _{1}}{\parcial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} _{1}=0,

{\frac {\parcial }{\parcial t}}\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}}-{\frac {\gamma \rho _{1}}{\rho _{0}}}\right)=0,

{\frac {\partial \mathbf {B} _{1}}{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {B} _{0}),

donde las magnitudes de equilibrio tienen subíndices 0, las perturbaciones tienen subíndices 1, $γ$ es el índice adiabático y $μ 0$ es la permeabilidad al vacío . Buscando una solución en forma de superposición de ondas planas que varían como $exp[i (k \cdot x - ωt)]$ con vector de onda $k$ y frecuencia angular $ω$ , la ecuación de movimiento linealizada se puede reexpresar como

-\omega \rho _{0}\mathbf {v} _{1}={\frac {(\mathbf {k} \times \mathbf {B} _{1})\times \mathbf {B } _{0}}{\mu _{0}}}-\mathbf {k} p_{1}.

Y suponiendo que $ω \neq 0$ , las ecuaciones restantes se pueden resolver para cantidades perturbadas en términos de $v 1$ :

\rho _{1}=\rho _{0}{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1}}{\omega }},

p_{1}=\gamma p_{0}{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1}}{\omega }},

\mathbf {B} _{1}={\frac {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1})\mathbf {B} _{0}-(\mathbf {k } \cdot \mathbf {B} _{0})\mathbf {v} _{1}}{\omega }}.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el eje $z$ está orientado a lo largo de $B 0$ y que el vector de onda $k$ se encuentra en el plano $xz$ con componentes $k ∥$ y $k ⊥$ paralelas y perpendiculares a $B 0$ , respectivamente. La ecuación de movimiento después de sustituir las cantidades perturbadas se reduce a la ecuación de valor propio

{\begin{pmatrix}\omega ^{2}-v_{A}^{2}k^{2}-c_{s}^{2}k_{\perp }^{2}&0&-c_{s}^{2}k_{\paralelo }k_{\perp }\\0&\omega ^{2}-v_{A}^{2}k_{\paralelo }^{2}&0\\-c_{s}^{2}k_{\paralelo }k_{\perp }&0&\omega ^{2}-c_{s}^{2}k_{\paralelo }^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x1}\\v_{y1}\\v_{z1}\end{pmatrix}}=\mathbf {0}

donde $c s = \sqrt γp 0 / ρ 0$ es la velocidad del sonido y $v A = B 0 / \sqrt μ 0 ρ 0$ es la velocidad de Alfvén . Si se fija el determinante en cero, se obtiene la relación de dispersión.

\left(\omega ^{2}-v_{A}^{2}k_{\paralelo }^{2}\right)\left(\omega ^{4}-\omega ^{2}k^{2}c_{ms}^{2}+k^{2}k_{\paralelo }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}\right)=0

dónde

\textstyle c_{ms}={\sqrt {v_{A}^{2}+c_{s}^{2}}}

es la velocidad magnetosónica . Esta relación de dispersión tiene tres raíces independientes: una correspondiente a la onda de Alfvén y las otras dos correspondientes a los modos magnetosónicos. A partir de la ecuación de valores propios, el componente y de la perturbación de la velocidad se desacopla de los otros dos componentes dando como resultado la relación de dispersión $ω 2 A = v 2 A a 2 ∥$ para la onda de Alfvén. La ecuación bicuadrática restante

\omega ^{4}-\omega ^{2}k^{2}c_{ms}^{2}+k^{2}k_{\paralelo }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}=0

es la relación de dispersión para los modos magnetosónicos rápidos y lentos. Tiene raíces

\omega ^{2}={\frac {k^{2}}{2}}\left(c_{ms}^{2}\pm {\sqrt {c_{ms}^{4}-4k_{\paralelo }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}/k^{2}}}\right)

donde el signo superior da el modo magnetosónico rápido y el signo inferior da el modo magnetosónico lento.

Velocidades de fase y de grupo

Las velocidades de fase de las ondas magnetosónicas rápidas y lentas dependen del ángulo $θ$ entre el vector de onda $k$ y el campo magnético de equilibrio $B 0,$ así como de la densidad de equilibrio, la presión y la intensidad del campo magnético. A partir de las raíces de la relación de dispersión magnetosónica, las velocidades de fase asociadas se pueden expresar como

v \pm

^{2}={\frac {\omega ^{2}}{k^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(c_{ms}^{2}\pm {\sqrt {c_{ms}^{4}-4v_{A}^{2}c_{s}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)

donde el signo superior da la velocidad de fase $v +$ del modo rápido y el signo inferior da la velocidad de fase $v -$ del modo lento.

La velocidad de fase del modo rápido es siempre mayor o igual a , que es mayor o igual que la del modo lento, $v$ $+$ $v$ $-$ . Esto se debe a las diferencias en los signos de las perturbaciones de presión térmica y magnética asociadas con cada modo. La perturbación de presión magnética se puede expresar en términos de la perturbación de presión térmica $p$ $1$ y la velocidad de fase como ${\frac {c_{ms}}{\sqrt {2}}}$ $\geq {\frac {c_{ms}}{\sqrt {2}}}\geq$ $p_{m1}={\mathbf {B}}_{0}\cdot {\mathbf {B}}_{1}/\mu _{0}$

p_{m1}={\frac {v_{A}^{2}}{c_{s}^{2}}}(1-{\frac {c_{s}^{2}\cos ^{2}\theta }{v_{\pm }^{2}}}\right)p_{1}.

Para el modo rápido $v 2 + > c 2 segundos cos 2 θ$ , por lo que las perturbaciones de presión magnética y térmica tienen signos coincidentes. Por el contrario, para el modo lento $v 2 - < c 2 segundos cos 2 θ$ , por lo que las perturbaciones de presión magnética y térmica tienen signos opuestos. En otras palabras, las dos perturbaciones de presión se refuerzan entre sí en el modo rápido, pero se oponen entre sí en el modo lento. Como resultado, el modo rápido se propaga a una velocidad mayor que el modo lento. ^[2]

La velocidad de grupo $v g \pm$ de las ondas magnetosónicas rápidas y lentas se define por

\mathbf {v} _{g\pm }={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}={\hat {k}}\,v_{\pm }+{\hat {\theta }}{\frac {\partial v_{\pm }}{\partial \theta }}

dónde $\land a$ y $\land θ$ son vectores unitarios ortogonales locales en la dirección de $k$ y en la dirección de aumento $de θ$ , respectivamente. En un sistema de coordenadas esféricas con un eje $z$ a lo largo del campo magnético no perturbado, estos vectores unitarios corresponden a aquellos en la dirección de aumento de la distancia radial y aumento del ángulo polar. ^[2]^[4]

Casos limitantes

Fluido incompresible

En un fluido incompresible , las perturbaciones de densidad y presión se anulan, $ρ 1 = 0$ y $p 1 = 0$ , lo que hace que la velocidad del sonido tienda a infinito, $c s \to \infty$ . En este caso, el modo lento se propaga con la velocidad de Alfvén, $ω 2 sl = ω 2 A$ , y el modo rápido desaparece del sistema, $ω 2 f \to \infty$ .

Límite de frío

Suponiendo que la temperatura de fondo es cero, de la ley de los gases ideales se deduce que la presión térmica también es cero, $p 0 = 0$ , y, como resultado, que la velocidad del sonido desaparece, $c s = 0$ . En este caso, el modo lento desaparece del sistema, $ω 2 sl = 0$ , y el modo rápido se propaga isótropamente con la velocidad de Alfvén, $ω 2 f = k2v 2 A$ En este límite, el modo rápido a veces se denomina onda Alfvén compresiva .

Propagación paralela

Cuando el vector de onda y el campo magnético de equilibrio son paralelos, $θ \to 0$ , los modos rápido y lento se propagan como una onda de sonido pura o una onda Alfvén pura, y el modo rápido se identifica con la mayor de las dos velocidades y el modo lento se identifica con la menor.

Propagación perpendicular

Cuando el vector de onda y el campo magnético de equilibrio son perpendiculares, $θ \to π /2$ , el modo rápido se propaga como una onda longitudinal con una velocidad de fase igual a la velocidad magnetosónica, y el modo lento se propaga como una onda transversal con una velocidad de fase que se aproxima a cero. ^[5]^[6]

Fluido no homogéneo

En el caso de fluidos no homogéneos (es decir, un fluido donde al menos una de las cantidades de fondo no es constante) las ondas MHD pierden su naturaleza definitoria y adquieren propiedades mixtas. ^[7] En algunas configuraciones, como las ondas axisimétricas en un cilindro recto con una base circular (uno de los modelos más simples para un bucle coronal ), las tres ondas MHD aún se pueden distinguir claramente. Pero en general, las ondas magnetosónicas rápidas y lentas y las ondas de Alfvén puras no existen, y las ondas en el fluido están acopladas entre sí de formas intrincadas.

Observaciones

Se han observado ondas magnetosónicas rápidas y lentas en la corona solar, lo que proporciona una base observacional para la técnica de diagnóstico del plasma coronal, la sismología coronal . ^[8]

Véase también

Referencias

^ Goossens, Marcel (2003). Introducción a la astrofísica del plasma y a la magnetohidrodinámica . Biblioteca de Astrofísica y Ciencia Espacial. Vol. 294. Dordrecht: Springer Netherlands. doi :10.1007/978-94-007-1076-4. ISBN 978-1-4020-1433-8.
^ abc Bellan, Paul Murray (2006). Fundamentos de la física del plasma . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521528003.
^ Somov, Boris V. (2012). Astrofísica del plasma, parte I: fundamentos y práctica (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. ISBN 978-1-4614-4283-7.
^ Huang, YC; Lyu, LH (1 de septiembre de 2019). "Atlas de las ondas de frecuencia media en el plasma de dos fluidos ion-electrón". Física de plasmas . 26 (9). Código Bibliográfico :2019PhPl...26i2102H. doi : 10.1063/1.5110991 .
^ Parker, EN (1979). Campos magnéticos cósmicos: su origen y su actividad (edición de la serie Oxford Classics). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-882996-6.
^ Nakariakov, VM (27 de agosto de 2020). "Ondas magnetohidrodinámicas". Oxford Research Encyclopedia of Physics . doi :10.1093/acrefore/9780190871994.013.7. ISBN 978-0-19-087199-4.
^ Goossens, Marcel L.; Arregui, Inigo; Van Doorsselaere, Tom (11 de abril de 2019). "Propiedades mixtas de ondas MHD en plasmas no uniformes". Frontiers in Astronomy and Space Sciences . 6 : 20. Bibcode :2019FrASS...6...20G. doi : 10.3389/fspas.2019.00020 . ISSN 2296-987X.
^ Nakariakov, VM; Verwichte, E. (2005). "Ondas coronales y oscilaciones". Living Rev. Sol. Phys . 2 (1): 3. Bibcode :2005LRSP....2....3N. doi : 10.12942/lrsp-2005-3 . S2CID 123211890.

[1] Goossens, Marcel (2003). Introducción a la astrofísica del plasma y a la magnetohidrodinámica . Biblioteca de Astrofísica y Ciencia Espacial. Vol. 294. Dordrecht: Springer Netherlands. doi :10.1007/978-94-007-1076-4. ISBN 978-1-4020-1433-8.

[bellan06-2] Bellan, Paul Murray (2006). Fundamentos de la física del plasma . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521528003.

[3] Somov, Boris V. (2012). Astrofísica del plasma, parte I: fundamentos y práctica (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. ISBN 978-1-4614-4283-7.

[4] Huang, YC; Lyu, LH (1 de septiembre de 2019). "Atlas de las ondas de frecuencia media en el plasma de dos fluidos ion-electrón". Física de plasmas . 26 (9). Código Bibliográfico :2019PhPl...26i2102H. doi : 10.1063/1.5110991 .

[parker19-5] Parker, EN (1979). Campos magnéticos cósmicos: su origen y su actividad (edición de la serie Oxford Classics). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-882996-6.

[6] Nakariakov, VM (27 de agosto de 2020). "Ondas magnetohidrodinámicas". Oxford Research Encyclopedia of Physics . doi :10.1093/acrefore/9780190871994.013.7. ISBN 978-0-19-087199-4.

[7] Goossens, Marcel L.; Arregui, Inigo; Van Doorsselaere, Tom (11 de abril de 2019). "Propiedades mixtas de ondas MHD en plasmas no uniformes". Frontiers in Astronomy and Space Sciences . 6 : 20. Bibcode :2019FrASS...6...20G. doi : 10.3389/fspas.2019.00020 . ISSN 2296-987X.

[8] Nakariakov, VM; Verwichte, E. (2005). "Ondas coronales y oscilaciones". Living Rev. Sol. Phys . 2 (1): 3. Bibcode :2005LRSP....2....3N. doi : 10.12942/lrsp-2005-3 . S2CID 123211890.