Con y sin concha

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En física , particularmente en la teoría cuántica de campos , las configuraciones de un sistema físico que satisfacen las ecuaciones clásicas de movimiento se denominan en la capa de masa ( on shell ); mientras que las que no lo hacen se denominan fuera de la capa de masa ( off shell ).

En la teoría cuántica de campos, las partículas virtuales se denominan fuera de capa porque no satisfacen la relación energía-momento ; las partículas de intercambio reales sí satisfacen esta relación y se denominan dentro de la capa (masa). ^{[1] [2] [3]} En la mecánica clásica , por ejemplo, en la formulación de acción , las soluciones extremales del principio variacional están dentro de la capa y las ecuaciones de Euler-Lagrange dan las ecuaciones dentro de la capa. El teorema de Noether sobre simetrías diferenciables de la acción física y las leyes de conservación es otro teorema dentro de la capa.

Capa de masa es un sinónimo de hiperboloide de masa , es decir, el hiperboloide en el espacio de energía - momento que describe las soluciones de la ecuación:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$,

la fórmula de equivalencia masa-energía que da la energía en términos del momento y la masa en reposo de una partícula. La ecuación para la capa de masa también se escribe a menudo en términos de los cuatro momentos ; en notación de Einstein con signatura métrica (+,−,−,−) y unidades donde la velocidad de la luz , como . En la literatura, también se puede encontrar si la signatura métrica utilizada es (−,+,+,+).${\displaystyle E}$${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c=1}$${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}}$${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}}$

El cuadrimpulso de una partícula virtual intercambiada es , con masa . El cuadrimpulso de la partícula virtual es la diferencia entre los cuadrimpulsos de las partículas entrantes y salientes.${\displaystyle X}$${\displaystyle q_{\mu }}$${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$${\displaystyle q_{\mu }}$

En general, se permite que las partículas virtuales correspondientes a los propagadores internos en un diagrama de Feynman estén fuera de la capa, pero la amplitud del proceso disminuirá según qué tan lejos de la capa se encuentren. ^[4] Esto se debe a que la dependencia del propagador está determinada por los cuatro momentos de las partículas entrantes y salientes. El propagador normalmente tiene singularidades en la capa de masa. ^[5]${\displaystyle q^{2}}$

Cuando se habla del propagador, los valores negativos que satisfacen la ecuación se consideran dentro de la capa, aunque la teoría clásica no permite valores negativos para la energía de una partícula. Esto se debe a que el propagador incorpora en una expresión los casos en los que la partícula lleva energía en una dirección y en los que su antipartícula lleva energía en la otra dirección; los valores negativos y positivos dentro de la capa simplemente representan flujos opuestos de energía positiva.${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

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Un ejemplo proviene de considerar un campo escalar en un espacio de Minkowski de dimensión D. Considere una densidad lagrangiana dada por . La acción${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

La ecuación de Euler-Lagrange para esta acción se puede encontrar variando el campo y su derivada y estableciendo la variación en cero , y es:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}}$

Ahora, consideremos una traslación infinitesimal del espacio-tiempo . La densidad lagrangiana es un escalar, y por lo tanto se transformará infinitesimalmente como bajo la transformación infinitesimal. Por otro lado, por la expansión de Taylor , tenemos en general${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}$

Sustituyendo y observando que (ya que las variaciones son independientes en cada punto del espacio-tiempo):${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )}$

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Dado que esto debe cumplirse para traducciones independientes , podemos "dividir" por y escribir:${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...}$${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Este es un ejemplo de una ecuación que se cumple en la capa , ya que es cierta para cualquier configuración de campos independientemente de si respeta las ecuaciones de movimiento (en este caso, la ecuación de Euler-Lagrange dada anteriormente). Sin embargo, podemos derivar una ecuación en la capa simplemente sustituyendo la ecuación de Euler-Lagrange:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Podemos escribir esto como:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

Y si definimos la cantidad entre paréntesis como , tenemos:${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

Este es un ejemplo del teorema de Noether. Aquí, la cantidad conservada es el tensor de tensión-energía , que solo se conserva en la capa, es decir, si se satisfacen las ecuaciones de movimiento.