Teoría de Choquet

En matemáticas , la teoría de Choquet , llamada así por Gustave Choquet , es un área del análisis funcional y del análisis convexo que se ocupa de las medidas que tienen soporte en los puntos extremos de un conjunto convexo C. En términos generales, cada vector de C debería aparecer como un promedio ponderado de puntos extremos, un concepto que se hace más preciso al generalizar la noción de promedio ponderado de una combinación convexa a una integral tomada sobre el conjunto E de puntos extremos. Aquí C es un subconjunto de un espacio vectorial real V , y el objetivo principal de la teoría es tratar los casos en los que V es un espacio vectorial topológico de dimensión infinita (Hausdorff localmente convexo) a lo largo de líneas similares al caso de dimensión finita. Las principales preocupaciones de Gustave Choquet estaban en la teoría del potencial . La teoría de Choquet se ha convertido en un paradigma general, particularmente para tratar los conos convexos determinados por sus rayos extremos , y así para muchas nociones diferentes de positividad en matemáticas.

Los dos extremos de un segmento de línea determinan los puntos intermedios: en términos vectoriales, el segmento de v a w consiste en λ v + (1 − λ) w con 0 ≤ λ ≤ 1. El resultado clásico de Hermann Minkowski dice que en el espacio euclidiano , un conjunto convexo cerrado y acotado C es la envoltura convexa de su conjunto de puntos extremos E , de modo que cualquier c en C es una combinación convexa (finita) de puntos e de E. Aquí E puede ser un conjunto finito o infinito . En términos vectoriales, al asignar pesos no negativos w ( e ) a los e en E , casi todos 0, podemos representar cualquier c en C como con $${\displaystyle c=\sum _ {e\in E}w(e)e\ }$$$${\displaystyle \sum _ {e\in E}w(e)=1.\ }$$

En cualquier caso, w ( e ) da una medida de probabilidad sustentada en un subconjunto finito de E . Para cualquier función afín f en C , su valor en el punto c es$${\displaystyle f(c)=\int f(e)dw(e).}$$

En el entorno de dimensión infinita, a uno le gustaría hacer una declaración similar.

El teorema de Choquet establece que para un subconjunto compacto convexo C de un espacio normado V , dado c en C existe una medida de probabilidad w apoyada en el conjunto E de puntos extremos de C tal que, para cualquier función afín f en C, $${\displaystyle f(c)=\int f(e)dw(e).}$$

En la práctica, V será un espacio de Banach . El teorema original de Kerin-Milman se desprende del resultado de Choquet. Otro corolario es el teorema de representación de Riesz para estados en las funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto metrizable.

De manera más general, para V un espacio vectorial topológico localmente convexo , el teorema de Choquet–Bishop–de Leeuw ^[1] da la misma declaración formal.

Además de la existencia de una medida de probabilidad apoyada en el límite extremo que representa un punto dado c , también se podría considerar la unicidad de tales medidas. Es fácil ver que la unicidad no se cumple ni siquiera en el entorno de dimensión finita. Se puede tomar, como contraejemplo, el conjunto convexo como un cubo o una bola en R ³ . Sin embargo, la unicidad se cumple cuando el conjunto convexo es un símplex de dimensión finita . Un símplex de dimensión finita es un caso especial de un símplex de Choquet . Cualquier punto en un símplex de Choquet está representado por una medida de probabilidad única en los puntos extremos.

• Teorema de Carathéodory  – Un punto en la envoltura convexa de un conjunto P en Rd, es la combinación convexa de d+1 puntos en P
• Teorema de Helly  – Teorema sobre las intersecciones de conjuntos convexos de dimensión d
• Teorema de Kerin-Milman  : cuándo un espacio es igual a la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos
• Lista de temas sobre convexidad
• Lema de Shapley-Folkman  : las sumas de conjuntos de vectores son casi convexas

• Asimow, L.; Ellis, AJ (1980). Teoría de la convexidad y sus aplicaciones en el análisis funcional . Monografías de la London Mathematical Society. Vol. 16. Londres-Nueva York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp. x+266. ISBN 0-12-065340-0.Sr. 0623459  .
• Bourgin, Richard D. (1983). Aspectos geométricos de conjuntos convexos con la propiedad de Radon-Nikodým . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 993. Berlín: Springer-Verlag. pp. xii+474. ISBN 3-540-12296-6.Sr. 0704815  .
• Phelps, Robert R. (2001). Conferencias sobre el teorema de Choquet . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1757 (Segunda edición de 1966 ed.). Berlín: Springer-Verlag. págs. viii+124. ISBN 3-540-41834-2.Señor 1835574  .
• "Choquet simplex", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]