Proyección de mapas

En cartografía , una proyección de mapa es cualquiera de un amplio conjunto de transformaciones empleadas para representar la superficie curva bidimensional de un globo en un plano . ^{[1] [2] [3]} En una proyección de mapa, las coordenadas , a menudo expresadas como latitud y longitud , de ubicaciones desde la superficie del globo se transforman en coordenadas en un plano. ^{[4] [5]} La proyección es un paso necesario para crear un mapa bidimensional y es uno de los elementos esenciales de la cartografía.

Todas las proyecciones de una esfera sobre un plano necesariamente distorsionan la superficie de alguna manera. ^[6] Dependiendo del propósito del mapa, algunas distorsiones son aceptables y otras no; por lo tanto, existen diferentes proyecciones de mapas para preservar algunas propiedades del cuerpo esférico a expensas de otras propiedades. El estudio de las proyecciones de mapas se trata principalmente de la caracterización de sus distorsiones. No hay límite para el número de posibles proyecciones de mapas. ^{[7] : 1} De manera más general, las proyecciones se consideran en varios campos de las matemáticas puras, incluida la geometría diferencial , la geometría proyectiva y las variedades . Sin embargo, el término "proyección de mapa" se refiere específicamente a una proyección cartográfica .

A pesar del significado literal del nombre, la proyección no se limita a las proyecciones en perspectiva , como las que resultan de proyectar una sombra sobre una pantalla, o la imagen rectilínea producida por una cámara estenopeica sobre una placa de película plana. Más bien, cualquier función matemática que transforma las coordenadas de la superficie curva de manera clara y suave al plano es una proyección. Pocas proyecciones en el uso práctico son perspectivas. ^{[ cita requerida ]}

La mayor parte de este artículo asume que la superficie que se va a representar es la de una esfera. La Tierra y otros cuerpos celestes grandes generalmente se modelan mejor como esferoides achatados , mientras que los objetos pequeños como los asteroides suelen tener formas irregulares. Las superficies de los cuerpos planetarios se pueden representar incluso si son demasiado irregulares para ser modeladas bien con una esfera o un elipsoide. ^[8] Por lo tanto, de manera más general, una proyección cartográfica es cualquier método de aplanar una superficie curva continua sobre un plano. ^{[ cita requerida ]}

La proyección cartográfica más conocida es la proyección de Mercator . ^{[7] : 45} Esta proyección cartográfica tiene la propiedad de ser conforme . Sin embargo, ha sido criticada a lo largo del siglo XX por ampliar regiones más alejadas del ecuador. ^{[7] : 156–157} En contraste, las proyecciones de áreas iguales como la proyección sinusoidal y la proyección de Gall-Peters muestran los tamaños correctos de los países entre sí, pero distorsionan los ángulos. La National Geographic Society y la mayoría de los atlas favorecen las proyecciones cartográficas que alcanzan un equilibrio entre el área y la distorsión angular, como la proyección de Robinson y la proyección tripel de Winkel . ^{[7] [9]}

Muchas propiedades se pueden medir en la superficie de la Tierra independientemente de su geografía:

• Área
• Forma
• Dirección
• Cojinete
• Distancia

Se pueden construir proyecciones cartográficas para preservar algunas de estas propiedades a expensas de otras. Debido a que la superficie curva de la Tierra no es isométrica respecto de un plano, la preservación de las formas requiere inevitablemente una escala variable y, en consecuencia, una presentación no proporcional de las áreas. De manera similar, una proyección que preserve el área no puede ser conforme , lo que da como resultado formas y rumbos distorsionados en la mayoría de los lugares del mapa. Cada proyección preserva, compromete o se aproxima a las propiedades métricas básicas de diferentes maneras. El propósito del mapa determina qué proyección debe formar la base para el mapa. Debido a que los mapas tienen muchos propósitos diferentes, se han creado diversas proyecciones para satisfacer esos propósitos.

Otro aspecto a tener en cuenta a la hora de configurar una proyección es su compatibilidad con los conjuntos de datos que se van a utilizar en el mapa. Los conjuntos de datos son información geográfica; su recopilación depende del datum (modelo) de la Tierra elegido. Los distintos datums asignan coordenadas ligeramente diferentes a la misma ubicación, por lo que en los mapas de gran escala , como los de los sistemas cartográficos nacionales, es importante que el datum coincida con la proyección. Las ligeras diferencias en la asignación de coordenadas entre distintos datums no suponen un problema para los mapas del mundo o de grandes regiones, donde dichas diferencias se reducen a la imperceptibilidad.

El teorema egregium de Carl Friedrich Gauss demostró que la superficie de una esfera no puede representarse en un plano sin distorsión. Lo mismo se aplica a otras superficies de referencia utilizadas como modelos para la Tierra, como los esferoides achatados , los elipsoides y los geoides . Dado que cualquier proyección cartográfica es una representación de una de esas superficies en un plano, todas las proyecciones cartográficas se distorsionan. ^[5]

La forma clásica de mostrar la distorsión inherente a una proyección es utilizar la indicatriz de Tissot . Para un punto dado, utilizando el factor de escala h a lo largo del meridiano, el factor de escala k a lo largo del paralelo y el ángulo θ ′ entre ellos, Nicolas Tissot describió cómo construir una elipse que ilustra la cantidad y la orientación de los componentes de la distorsión. ^{[7] : 147–149  [10] : 24} Al espaciar las elipses regularmente a lo largo de los meridianos y paralelos, la red de indicatrices muestra cómo varía la distorsión a lo largo del mapa.

Se han descrito muchas otras formas de mostrar la distorsión en las proyecciones. ^{[11] [12]} Al igual que la indicatriz de Tissot, la indicatriz de Goldberg-Gott se basa en infinitesimales y representa distorsiones de flexión y sesgo (curvatura y desnivel). ^[13]

En lugar del círculo infinitesimal original (ampliado) como en la indicatriz de Tissot, algunos métodos visuales proyectan formas finitas que abarcan una parte del mapa. Por ejemplo, un pequeño círculo de radio fijo (por ejemplo, un radio angular de 15 grados ). ^[14] A veces se utilizan triángulos esféricos . ^{[ cita requerida ]} En la primera mitad del siglo XX, era común proyectar una cabeza humana en diferentes proyecciones para mostrar cómo varía la distorsión en una proyección en comparación con otra. ^[15] En los medios dinámicos, las formas de las costas y los límites familiares se pueden arrastrar a lo largo de un mapa interactivo para mostrar cómo la proyección distorsiona los tamaños y las formas según la posición en el mapa. ^[16]

Otra forma de visualizar la distorsión local es mediante escalas de grises o gradaciones de color cuyo tono representa la magnitud de la deformación angular o inflación del área. A veces, ambas se muestran simultáneamente mezclando dos colores para crear un mapa bivariado . ^[17]

Medir la distorsión de manera global en todas las áreas en lugar de en un solo punto implica necesariamente elegir prioridades para llegar a un compromiso. Algunos esquemas utilizan la distorsión de la distancia como un indicador de la combinación de deformación angular e inflación de áreas; dichos métodos eligen arbitrariamente qué caminos medir y cómo ponderarlos para obtener un único resultado. Se han descrito muchos de ellos. ^{[13] [18] [19] [20] [21]}

La creación de una proyección cartográfica implica dos pasos:

1. Selección de un modelo para la forma de la Tierra o de un cuerpo planetario (normalmente se elige entre una esfera o un elipsoide ). Como la forma real de la Tierra es irregular, en este paso se pierde información.
2. Transformación de coordenadas geográficas ( longitud y latitud ) en coordenadas cartesianas ( x , y ) o polares ( r , θ ). En mapas de gran escala, las coordenadas cartesianas normalmente tienen una relación simple con los valores este y norte definidos como una cuadrícula superpuesta a la proyección. En mapas de pequeña escala, los valores este y norte no son significativos y las cuadrículas no se superponen.

Algunas de las proyecciones cartográficas más sencillas son proyecciones literales, que se obtienen colocando una fuente de luz en un punto determinado con respecto al globo y proyectando sus características sobre una superficie específica. Aunque la mayoría de las proyecciones no se definen de esta manera, representar el modelo fuente de luz-globo puede resultar útil para comprender el concepto básico de una proyección cartográfica.

Una superficie que se puede desplegar o desenrollar hasta formar un plano o una lámina sin estirarse, rasgarse ni encogerse se denomina superficie desarrollable . El cilindro , el cono y el plano son superficies desarrollables. La esfera y el elipsoide no tienen superficies desarrollables, por lo que cualquier proyección de ellas sobre un plano tendrá que distorsionar la imagen. (A modo de comparación, no se puede aplanar una cáscara de naranja sin rasgarla y deformarla).

Una forma de describir una proyección es proyectar primero desde la superficie de la Tierra a una superficie desarrollable, como un cilindro o un cono, y luego desenrollar la superficie hasta formar un plano. Si bien el primer paso inevitablemente distorsiona algunas propiedades del globo, la superficie desarrollable puede luego desplegarse sin más distorsión.

Una vez que se ha elegido entre proyectar sobre un cilindro, un cono o un plano, se debe especificar el aspecto de la forma. El aspecto describe cómo se coloca la superficie desarrollable en relación con el globo: puede ser normal (de manera que el eje de simetría de la superficie coincida con el eje de la Tierra), transversal (en ángulo recto con el eje de la Tierra) u oblicuo (cualquier ángulo intermedio).

La superficie desarrollable también puede ser tangente o secante a la esfera o el elipsoide. Tangente significa que la superficie toca el globo pero no lo corta; secante significa que la superficie lo corta. Alejando la superficie desarrollable del contacto con el globo nunca se conservan ni se optimizan las propiedades métricas, por lo que esa posibilidad no se analiza más aquí.

Las líneas tangentes y secantes ( líneas estándar ) se representan sin distorsión. Si estas líneas son un paralelo de latitud, como en las proyecciones cónicas, se denomina paralelo estándar . El meridiano central es el meridiano hacia el que se gira el globo antes de la proyección. El meridiano central (generalmente escrito λ ₀ ) y un paralelo de origen (generalmente escrito φ ₀ ) se utilizan a menudo para definir el origen de la proyección del mapa. ^{[22] [23]}

Un globo terráqueo es la única forma de representar la Tierra con una escala constante en todo el mapa y en todas las direcciones. Un mapa no puede lograr esa propiedad para cualquier área, por pequeña que sea. Sin embargo, puede lograr una escala constante a lo largo de líneas específicas.

Algunas posibles propiedades son:

• La escala depende de la ubicación, pero no de la dirección. Esto es equivalente a la conservación de los ángulos, la característica definitoria de un mapa conforme .
• La escala es constante a lo largo de cualquier paralelo en la dirección del paralelo. Esto se aplica a cualquier proyección cilíndrica o pseudocilíndrica en aspecto normal.
• Combinación de los puntos anteriores: la escala depende únicamente de la latitud, no de la longitud ni de la dirección. Esto se aplica a la proyección Mercator en aspecto normal.
• La escala es constante a lo largo de todas las líneas rectas que irradian desde una ubicación geográfica particular. Esta es la característica definitoria de una proyección equidistante, como la proyección equidistante azimutal . También existen proyecciones ( proyección equidistante de dos puntos de Maurer, Close) en las que se conservan las distancias reales desde dos puntos. ^{[7] : 234}

La construcción de proyecciones también se ve afectada por la forma aproximada de la Tierra o del cuerpo planetario. En la siguiente sección sobre categorías de proyección, se toma la Tierra como una esfera para simplificar el análisis. Sin embargo, la forma real de la Tierra se acerca más a un elipsoide achatado . Ya sea esférico o elipsoidal, los principios analizados se mantienen sin pérdida de generalidad.

La selección de un modelo para la forma de la Tierra implica elegir entre las ventajas y desventajas de una esfera frente a un elipsoide. Los modelos esféricos son útiles para mapas de pequeña escala, como atlas mundiales y globos terráqueos, ya que el error a esa escala no suele ser perceptible ni lo suficientemente importante como para justificar el uso del elipsoide, que es más complicado. El modelo elipsoidal se utiliza habitualmente para construir mapas topográficos y otros mapas de gran y mediana escala que necesitan representar con precisión la superficie terrestre. A menudo se emplean latitudes auxiliares para proyectar el elipsoide.

Un tercer modelo es el geoide , una representación más compleja y precisa de la forma de la Tierra que coincide con lo que sería el nivel medio del mar si no hubiera vientos, mareas o tierra. En comparación con el elipsoide de mejor ajuste, un modelo geoidal cambiaría la caracterización de propiedades importantes como la distancia, la conformidad y la equivalencia. Por lo tanto, en las proyecciones geoidales que preservan tales propiedades, la retícula mapeada se desviaría de la retícula de un elipsoide mapeado. Sin embargo, normalmente el geoide no se utiliza como modelo de la Tierra para proyecciones, porque la forma de la Tierra es muy regular, con la ondulación del geoide que asciende a menos de 100 m del modelo elipsoidal de los 6,3 millones de m de radio de la Tierra . Sin embargo, para cuerpos planetarios irregulares como los asteroides , a veces se utilizan modelos análogos al geoide para proyectar mapas. ^{[24] [25] [26] [27] [28]}

A veces se utilizan otros sólidos regulares como generalizaciones para el equivalente geoide de cuerpos más pequeños. Por ejemplo, Ío se modela mejor mediante un elipsoide triaxial o un esferoide alargado con pequeñas excentricidades. La forma de Haumea es un elipsoide de Jacobi , con su eje mayor el doble de largo que su eje menor y con su eje medio una vez y media más largo que su eje menor. Consulte la proyección cartográfica del elipsoide triaxial para obtener más información.

Una forma de clasificar las proyecciones cartográficas se basa en el tipo de superficie sobre la que se proyecta el globo. En este esquema, el proceso de proyección se describe como la colocación de una superficie de proyección hipotética del tamaño del área de estudio deseada en contacto con parte de la Tierra, la transferencia de características de la superficie de la Tierra a la superficie de proyección y, a continuación, el desenredado y escalado de la superficie de proyección en un mapa plano. Las superficies de proyección más comunes son cilíndricas (p. ej., Mercator ), cónicas (p. ej., Albers ) y planas (p. ej., estereográficas ). Sin embargo, muchas proyecciones matemáticas no encajan perfectamente en ninguno de estos tres métodos de proyección. Por lo tanto, se han descrito otras categorías similares en la literatura, como pseudocónica, pseudocilíndrica, pseudoazimutal, retroazimutal y policónica .

Otra forma de clasificar las proyecciones es según las propiedades del modelo que preservan. Algunas de las categorías más comunes son:

• Preservación de la dirección ( azimutal o cenital ), rasgo posible sólo desde uno o dos puntos hacia cualquier otro punto ^{[10] : 192}
• Conservación de la forma localmente ( conforme u ortomórfica )
• Área de conservación ( de área igual o equiárea o equivalente o auténtica )
• Preservación de la distancia ( equidistante ), un rasgo posible sólo entre uno o dos puntos y cualquier otro punto
• Preservación de la ruta más corta, un rasgo preservado únicamente por la proyección gnomónica

Debido a que la esfera no es una superficie desarrollable , es imposible construir una proyección cartográfica que sea a la vez de áreas iguales y conforme.

Las tres superficies desarrollables (plana, cilíndrica y cónica) proporcionan modelos útiles para comprender, describir y desarrollar proyecciones cartográficas. Sin embargo, estos modelos están limitados de dos maneras fundamentales. Por un lado, la mayoría de las proyecciones mundiales en uso no entran en ninguna de esas categorías. Por otro lado, incluso la mayoría de las proyecciones que sí entran en esas categorías no se pueden obtener de forma natural mediante proyecciones físicas. Como señala LP Lee :

En las definiciones anteriores no se ha hecho referencia a cilindros, conos o planos. Las proyecciones se denominan cilíndricas o cónicas porque pueden considerarse desarrolladas sobre un cilindro o un cono, según sea el caso, pero es mejor prescindir de la representación de cilindros y conos, ya que han dado lugar a muchos malentendidos. Esto es particularmente así con respecto a las proyecciones cónicas con dos paralelas estándar: pueden considerarse desarrolladas sobre conos, pero son conos que no guardan una relación simple con la esfera. En realidad, los cilindros y los conos nos proporcionan términos descriptivos convenientes, pero poco más. ^[29]

La objeción de Lee se refiere a la forma en que se han abstraído los términos cilíndrico , cónico y plano (azimutal) en el campo de las proyecciones cartográficas. Si los mapas se proyectaran como si fueran una luz que brilla a través de un globo sobre una superficie desarrollable, entonces el espaciamiento de los paralelos seguiría un conjunto muy limitado de posibilidades. Una proyección cilíndrica de este tipo (por ejemplo) es aquella que:

1. Es rectangular;
2. Tiene meridianos verticales rectos, espaciados uniformemente;
3. Tiene paralelos rectos colocados simétricamente alrededor del ecuador;
4. Tiene paralelos limitados a donde caen cuando la luz brilla a través del globo sobre el cilindro, con la fuente de luz en algún lugar a lo largo de la línea formada por la intersección del meridiano principal con el ecuador y el centro de la esfera.

(Si gira el globo antes de proyectarlo, los paralelos y meridianos no necesariamente seguirán siendo líneas rectas. Las rotaciones normalmente se ignoran a los efectos de la clasificación).

El lugar donde emana la fuente de luz a lo largo de la línea descrita en esta última restricción es lo que produce las diferencias entre las diversas proyecciones cilíndricas "naturales". Pero el término cilíndrico tal como se utiliza en el campo de las proyecciones cartográficas relaja por completo la última restricción. En cambio, los paralelos se pueden colocar de acuerdo con cualquier algoritmo que el diseñador haya decidido que se adapte a las necesidades del mapa. La famosa proyección de Mercator es una en la que la colocación de los paralelos no surge por proyección; en cambio, los paralelos se colocan como deben estar para satisfacer la propiedad de que una trayectoria de rumbo constante siempre se traza como una línea recta.

Una proyección cilíndrica normal es cualquier proyección en la que los meridianos se asignan a líneas verticales igualmente espaciadas y los círculos de latitud (paralelos) se asignan a líneas horizontales.

La representación de los meridianos en líneas verticales se puede visualizar imaginando un cilindro cuyo eje coincide con el eje de rotación de la Tierra. Este cilindro se envuelve alrededor de la Tierra, se proyecta sobre ella y luego se desenrolla.

Por la geometría de su construcción, las proyecciones cilíndricas se extienden en dirección este-oeste. La cantidad de estiramiento es la misma en cualquier latitud elegida en todas las proyecciones cilíndricas, y está dada por la secante de la latitud como un múltiplo de la escala del ecuador. Las diversas proyecciones cilíndricas se distinguen entre sí únicamente por su estiramiento de norte a sur (donde la latitud está dada por φ):

• El estiramiento norte-sur es igual al estiramiento este-oeste ( sec φ ): la escala este-oeste coincide con la escala norte-sur: cilíndrica conforme o Mercator ; esto distorsiona excesivamente las áreas en latitudes altas.
• El estiramiento de norte a sur crece con la latitud más rápido que el estiramiento de este a oeste (sec ² φ ): La proyección en perspectiva cilíndrica (o cilíndrica central ); inadecuada porque la distorsión es incluso peor que en la proyección de Mercator.
• El estiramiento de norte a sur crece con la latitud, pero menos rápidamente que el estiramiento de este a oeste: como la proyección cilíndrica de Miller (sec .4/5⁠ φ ).
• Distancias norte-sur ni estiradas ni comprimidas (1): proyección equirectangular o "plate carrée".
• La compresión norte-sur es igual al coseno de la latitud (el recíproco del estiramiento este-oeste): cilíndrica de áreas iguales . Esta proyección tiene muchas especializaciones con nombre que difieren solo en la constante de escala, como la ortográfica de Gall-Peters o Gall (sin distorsión en los paralelos 45°), la de Behrmann (sin distorsión en los paralelos 30°) y la cilíndrica de áreas iguales de Lambert (sin distorsión en el ecuador). Dado que esta proyección escala las distancias norte-sur por el recíproco del estiramiento este-oeste, preserva el área a expensas de las formas.

En el primer caso (Mercator), la escala este-oeste siempre es igual a la escala norte-sur. En el segundo caso (cilíndrico central), la escala norte-sur supera a la escala este-oeste en todos los puntos alejados del ecuador. Cada caso restante tiene un par de líneas secantes , un par de latitudes idénticas de signo opuesto (o bien el ecuador) en las que la escala este-oeste coincide con la escala norte-sur.

Las proyecciones cilíndricas normales representan toda la Tierra como un rectángulo finito, excepto en los dos primeros casos, donde el rectángulo se extiende infinitamente en altura mientras mantiene un ancho constante.

Una proyección cilíndrica transversal es una proyección cilíndrica que en el caso tangente utiliza un círculo máximo a lo largo de un meridiano como línea de contacto para el cilindro.

Ver: Mercator transversal .

Una proyección cilíndrica oblicua se alinea con un círculo máximo, pero no con el ecuador ni con un meridiano.

Las proyecciones pseudocilíndricas representan el meridiano central como un segmento de línea recta. Otros meridianos son más largos que el meridiano central y se curvan hacia afuera, alejándose del meridiano central. Las proyecciones pseudocilíndricas representan los paralelos como líneas rectas. A lo largo de los paralelos, cada punto de la superficie se representa a una distancia del meridiano central que es proporcional a su diferencia de longitud con respecto al meridiano central. Por lo tanto, los meridianos están igualmente espaciados a lo largo de un paralelo determinado. En un mapa pseudocilíndrico, cualquier punto más alejado del ecuador que algún otro punto tiene una latitud más alta que el otro punto, lo que preserva las relaciones norte-sur. Esta característica es útil para ilustrar fenómenos que dependen de la latitud, como el clima. Algunos ejemplos de proyecciones pseudocilíndricas son:

• Sinusoidal , que fue la primera proyección pseudocilíndrica desarrollada. En el mapa, como en la realidad, la longitud de cada paralelo es proporcional al coseno de la latitud. ^[30] El área de cualquier región es verdadera.
• Proyección de Collignon , que en sus formas más comunes representa cada meridiano como dos segmentos de línea recta, uno desde cada polo hasta el ecuador.

La proyección HEALPix combina una proyección cilíndrica de áreas iguales en regiones ecuatoriales con la proyección Collignon en áreas polares.

El término "proyección cónica" se utiliza para referirse a cualquier proyección en la que los meridianos se asignan a líneas igualmente espaciadas que irradian desde el vértice y los círculos de latitud (paralelos) se asignan a arcos circulares centrados en el vértice. ^[31]

Al hacer un mapa cónico, el cartógrafo elige arbitrariamente dos paralelos estándar. Esos paralelos estándar pueden visualizarse como líneas secantes donde el cono interseca el globo o, si el cartógrafo elige el mismo paralelo dos veces, como la línea tangente donde el cono es tangente al globo. El mapa cónico resultante tiene baja distorsión en escala, forma y área cerca de esos paralelos estándar. Las distancias a lo largo de los paralelos al norte de ambos paralelos estándar o al sur de ambos paralelos estándar se estiran; las distancias a lo largo de los paralelos entre los paralelos estándar se comprimen. Cuando se utiliza un solo paralelo estándar, las distancias a lo largo de todos los demás paralelos se estiran.

Las proyecciones cónicas que se utilizan comúnmente son:

• Cónica equidistante , que mantiene los paralelos espaciados uniformemente a lo largo de los meridianos para preservar una escala de distancia constante a lo largo de cada meridiano, típicamente la misma escala o una similar a la de los paralelos estándar.
• Cónica de Albers , que ajusta la distancia norte-sur entre paralelos no estándar para compensar el estiramiento o compresión este-oeste, dando un mapa de áreas iguales.
• Cónica conforme de Lambert , que ajusta la distancia norte-sur entre paralelos no estándar para igualar el estiramiento este-oeste, dando un mapa conforme.

• Bonne , una proyección de áreas iguales en la que la mayoría de los meridianos y paralelos aparecen como líneas curvas. Tiene un paralelo estándar configurable a lo largo del cual no hay distorsión.
• Cordiforme de Werner , según el cual las distancias son correctas desde un polo, así como a lo largo de todos los paralelos.
• Proyecciones policónicas americanas y otras proyecciones de la clase de proyección policónica .

Las proyecciones azimutales tienen la propiedad de que las direcciones desde un punto central se conservan y, por lo tanto, los círculos máximos que pasan por el punto central se representan mediante líneas rectas en el mapa. Estas proyecciones también tienen simetría radial en las escalas y, por lo tanto, en las distorsiones: las distancias del mapa desde el punto central se calculan mediante una función r ( d ) de la distancia real d , independientemente del ángulo; en consecuencia, los círculos que tienen como centro el punto central se representan en círculos que tienen como centro el punto central en el mapa.

El mapeo de líneas radiales se puede visualizar imaginando un plano tangente a la Tierra, con el punto central como punto tangente .

La escala radial es r′ ( d ) y la escala transversal r ( d )/( R  sin  ⁠d/R⁠ ) ​​donde R es el radio de la Tierra.

Algunas proyecciones azimutales son verdaderas proyecciones en perspectiva , es decir, pueden construirse mecánicamente, proyectando la superficie de la Tierra extendiendo líneas desde un punto de perspectiva (a lo largo de una línea infinita que pasa por el punto tangente y el antípoda del punto tangente ) sobre el plano:

• La proyección gnomónica muestra los círculos máximos como líneas rectas. Se puede construir utilizando un punto de perspectiva en el centro de la Tierra. r ( d ) = c  tan  ⁠d/R⁠ ; de modo que incluso un solo hemisferio ya es infinito en extensión. ^{[32] [33]}
• La proyección ortográfica asigna cada punto de la Tierra al punto más cercano del plano. Puede construirse desde un punto de perspectiva a una distancia infinita del punto tangente; r ( d ) = c  sen  ⁠d/R⁠ . ^[34] Puede mostrar hasta un hemisferio en un círculo finito. Fotografías de la Tierra desde una distancia suficiente, como la Luna , se aproximan a esta perspectiva.
• Proyección en perspectiva de lado cercano, que simula la vista desde el espacio a una distancia finita y, por lo tanto, muestra menos de un hemisferio completo, como la utilizada en The Blue Marble 2012 ). ^[35]
• La proyección en perspectiva general se puede construir utilizando un punto de perspectiva fuera de la Tierra. Las fotografías de la Tierra (como las tomadas desde la Estación Espacial Internacional ) ofrecen esta perspectiva. Es una generalización de la proyección en perspectiva cercana, que permite la inclinación.
• La proyección estereográfica , que es conforme, se puede construir utilizando el antípoda del punto tangente como punto de perspectiva. r ( d ) = c  tan  ⁠d/2 R⁠ ; la escala es c /(2 R  cos ²  ⁠d/2 R⁠ ). ^[36] Puede mostrar casi toda la superficie de la esfera en un círculo finito. La superficie completa de la esfera requiere un mapa infinito.

Otras proyecciones azimutales no son verdaderas proyecciones en perspectiva :

• Equidistante azimutal : r ( d )= cd ; lo utilizan los radioaficionados para saber la dirección hacia la que apuntar sus antenas y ver la distancia hasta él. La distancia desde el punto tangente en el mapa es proporcional a la distancia superficial en la Tierra ( ^[37] para el caso en el que el punto tangente es el Polo Norte, véase la bandera de las Naciones Unidas )
• Área equivalente azimutal de Lambert . La distancia desde el punto tangente en el mapa es proporcional a la distancia en línea recta a través de la Tierra: r ( d ) = c  sen  ⁠d/2 R⁠ ^[38]
• El azimut logarítmico se construye de modo que la distancia de cada punto desde el centro del mapa sea el logaritmo de su distancia desde el punto tangente en la Tierra. r ( d ) = c  ln  ⁠d/el ₀⁠ ); no se muestran las ubicaciones más cercanas que a una distancia igual a la constante d _0. ^[39]

Comparación de algunas proyecciones azimutales centradas en 90° N a la misma escala, ordenadas por altitud de proyección en radios terrestres. (haga clic para ver el detalle)

Las proyecciones cartográficas poliédricas utilizan un poliedro para subdividir el globo en caras y luego proyectar cada cara en el globo. La proyección cartográfica poliédrica más conocida es el mapa Dymaxion de Buckminster Fuller .

Las proyecciones cartográficas conformes u ortomórficas preservan los ángulos localmente, lo que implica que representan círculos infinitesimales de tamaño constante en cualquier parte de la Tierra en círculos infinitesimales de tamaños variables en el mapa. Por el contrario, las proyecciones que no son conformes distorsionan la mayoría de esos círculos pequeños en elipses de distorsión . Una consecuencia importante de la conformidad es que los ángulos relativos en cada punto del mapa son correctos y la escala local (aunque varía a lo largo del mapa) en todas las direcciones alrededor de cualquier punto es constante. Estas son algunas proyecciones conformes:

• Mercator : Las líneas loxodrómicas se representan mediante segmentos rectos.
• Mercator transversal
• Estereográfica : Cualquier círculo de una esfera , grande o pequeño, se proyecta en un círculo o una línea recta.
• Roussilhe
• Cónica conforme de Lambert
• Proyección quincuncial de Peirce
• Proyección de Adams del hemisferio en un cuadrado
• Proyección de hemisferio en cuadrado de Guyou

Los mapas de áreas iguales preservan la medida del área, generalmente distorsionando las formas para lograrlo. Los mapas de áreas iguales también se denominan equivalentes o auténticos . Estas son algunas proyecciones que preservan el área:

Si la longitud del segmento de línea que conecta dos puntos proyectados en el plano es proporcional a la distancia geodésica (superficie más corta) entre los dos puntos no proyectados en el globo, entonces decimos que se ha conservado la distancia entre esos dos puntos. Una proyección equidistante conserva las distancias desde uno o dos puntos especiales a todos los demás puntos. El punto o los puntos especiales pueden estirarse hasta formar una línea o un segmento de curva cuando se proyectan. En ese caso, se debe utilizar el punto de la línea o del segmento de curva más cercano al punto que se está midiendo para medir la distancia.

• Placa cuadrada : Se conservan las distancias de los dos polos, en aspecto ecuatorial.
• Equidistante azimutal : se conservan las distancias desde el centro y el borde.
• Cónica equidistante : Se conservan las distancias de los dos polos, en aspecto ecuatorial.
• Cordiforme de Werner Las distancias desde el Polo Norte se conservan, en aspecto ecuatorial.
• Equidistante de dos puntos : el creador del mapa elige arbitrariamente dos "puntos de control"; se conservan las distancias desde cada punto de control.

Los círculos máximos se muestran como líneas rectas:

• Proyección gnomónica

La dirección hacia un punto fijo B (el rumbo en el punto de partida A de la ruta más corta) corresponde a la dirección en el mapa de A a B:

• Littrow : la única proyección retroazimutal conforme
• Martillo retroazimutal : también conserva la distancia desde el punto central
• Craig retroazimutal , también conocido como La Meca o Qibla, también tiene meridianos verticales

Las proyecciones de compromiso abandonan la idea de preservar a la perfección las propiedades métricas y buscan, en cambio, lograr un equilibrio entre las distorsiones o simplemente hacer que las cosas se vean bien. La mayoría de estos tipos de proyecciones distorsionan la forma en las regiones polares más que en el ecuador. Estas son algunas proyecciones de compromiso:

• Robinson
• van der Grinten
• Miller cilíndrico
• Ganador del premio Triple
• Dymaxion de Buckminster Fuller
• Mapa de mariposas de BJS Cahill
• Proyección de Kavrayskiy VII
• Proyección de Wagner VI
• Chamberlin trimétrico
• Cordiforme de Oronce Finé
• Proyección AuthaGraph

Las matemáticas de la proyección no permiten que una proyección cartográfica en particular sea la mejor para todo. ^[39] Siempre habrá algo distorsionado. Por ello, existen muchas proyecciones para satisfacer los múltiples usos de los mapas y su amplia gama de escalas.

Los sistemas cartográficos nacionales modernos suelen emplear una proyección transversal de Mercator o una variante cercana para mapas de gran escala con el fin de preservar la conformidad y la baja variación de escala en áreas pequeñas. Para mapas de escala más pequeña , como los que abarcan continentes o el mundo entero, se utilizan muchas proyecciones de acuerdo con su idoneidad para el propósito, como Winkel tripel , Robinson y Mollweide . ^[40] Los mapas de referencia del mundo suelen aparecer en proyecciones de compromiso. Debido a las distorsiones inherentes a cualquier mapa del mundo, la elección de la proyección se convierte en gran medida en una cuestión estética.

Los mapas temáticos normalmente requieren una proyección de áreas iguales para que los fenómenos por unidad de área se muestren en la proporción correcta. ^[41] Sin embargo, representar las proporciones de áreas correctamente necesariamente distorsiona las formas más que muchos mapas que no son de áreas iguales.

La proyección Mercator , desarrollada con fines de navegación, se ha utilizado a menudo en mapas del mundo en los que otras proyecciones habrían sido más apropiadas. ^{[42] [43] [44] [45]} Este problema se ha reconocido desde hace mucho tiempo incluso fuera de los círculos profesionales. Por ejemplo, un editorial del New York Times de 1943 afirma:

Ha llegado el momento de descartar [el Mercator] por algo que represente los continentes y las direcciones de manera menos engañosa... Aunque su uso... ha disminuido... sigue siendo muy popular como mapa de pared, aparentemente en parte porque, como mapa rectangular, llena un espacio de pared rectangular con más mapa, y claramente porque su familiaridad genera más popularidad. ^{[7] : 166}

Una controversia en la década de 1980 sobre el mapa de Peters motivó a la Asociación Cartográfica Estadounidense (ahora Sociedad de Información Geográfica y Cartografía ) a producir una serie de folletos (incluido Which Map Is Best ^[46] ) diseñados para educar al público sobre las proyecciones cartográficas y la distorsión en los mapas. En 1989 y 1990, después de un debate interno, siete organizaciones geográficas norteamericanas adoptaron una resolución que recomendaba no utilizar ninguna proyección rectangular (incluidas las de Mercator y Gall–Peters) para los mapas de referencia del mundo. ^{[47] [48]}

• "Un álbum de proyecciones de mapas" (PDF) . (12,6 MB) , Documento profesional 1453 del Servicio Geológico de Estados Unidos, por John P. Snyder (USGS) y Philip M. Voxland (Universidad de Minnesota), 1989.
• Una cornucopia de proyecciones de mapas, una visualización de la distorsión en una amplia gama de proyecciones de mapas en una sola imagen.
• G.Projector, software libre puede renderizar muchas proyecciones ( NASA GISS ).
• Imágenes en color de proyecciones de mapas y distorsión (Mapthematics.com).
• Aspectos geométricos de la cartografía: proyección cartográfica (KartoWeb.itc.nl).
• Proyecciones del mapa mundial de Java, Henry Bottomley (SE16.info).
• Proyecciones de mapas (MathWorld).
• MapRef: la colección en Internet de proyecciones cartográficas y sistemas de referencia de Europa
• PROJ.4 – Biblioteca de Proyecciones Cartográficas.
• Tabla de referencia de proyecciones de ejemplos y propiedades de todas las proyecciones comunes (RadicalCartography.net).
• "Entendiendo las proyecciones de mapas" (PDF) . (1,70 MB) , Melita Kennedy ( Esri ).
• Proyecciones de mapas mundiales, Stephen Wolfram basadas en el trabajo de Yu-Sung Chang ( Proyecto de demostraciones Wolfram ).
• Comparar proyecciones de mapas
• La página "El tamaño real" muestra el tamaño de los países sin la distorsión de la proyección de Mercator