La paradoja de Skolem

En lógica matemática y filosofía , la paradoja de Skolem es la aparente contradicción de que un modelo numerable de la teoría de conjuntos de primer orden podría contener un conjunto incontable . La paradoja surge de parte del teorema de Löwenheim-Skolem ; Thoralf Skolem fue el primero en discutir los aspectos aparentemente contradictorios del teorema y en descubrir la relatividad de las nociones de la teoría de conjuntos ahora conocidas como no- absolutismo . Aunque no es una antinomia real como la paradoja de Russell , el resultado se suele llamar paradoja y fue descrito como un "estado de cosas paradójico" por Skolem. ^[1]

En teoría de modelos, un modelo corresponde a una interpretación específica de un lenguaje formal o teoría. Consiste en un dominio (un conjunto de objetos) y una interpretación de los símbolos y fórmulas en el lenguaje, de modo que los axiomas de la teoría se satisfacen dentro de esta estructura. El teorema de Löwenheim-Skolem muestra que cualquier modelo de teoría de conjuntos en lógica de primer orden , si es consistente , tiene un modelo equivalente que es numerable. Esto parece contradictorio, porque Georg Cantor demostró que existen conjuntos que no son numerables . Por lo tanto, la aparente contradicción es que un modelo que es en sí mismo numerable, y que por lo tanto contiene solo conjuntos numerables, satisface la oración de primer orden que intuitivamente establece "hay conjuntos incontables".

En 1922, Skolem dio por primera vez una explicación matemática de la paradoja, que demostraba que no se trataba de una verdadera contradicción en matemáticas. Explicó que la numerabilidad de un conjunto no es absoluta, sino relativa al modelo en el que se mide la cardinalidad . El trabajo de Skolem fue duramente recibido por Ernst Zermelo , quien argumentó en contra de las limitaciones de la lógica de primer orden y de la noción de "relatividad" de Skolem, pero el resultado pronto fue aceptado por la comunidad matemática.

Las implicaciones filosóficas de la paradoja de Skolem han sido objeto de numerosos estudios. Una línea de investigación cuestiona si es correcto afirmar que cualquier oración de primer orden en realidad afirma que "existen conjuntos incontables". Esta línea de pensamiento puede extenderse a la pregunta de si cualquier conjunto es incontable en un sentido absoluto. Más recientemente, académicos como Hilary Putnam han introducido la paradoja y el concepto de relatividad de Skolem en el estudio de la filosofía del lenguaje .

Uno de los primeros resultados en la teoría de conjuntos , publicado por Cantor en 1874, fue la existencia de diferentes tamaños, o cardinalidades, de conjuntos infinitos. ^[2] Un conjunto infinito se llama contable si hay una función que da una correspondencia biunívoca entre y los números naturales , y es incontable si no existe tal función de correspondencia. ^{[3] [4]} En 1874, Cantor demostró que los números reales eran incontables; en 1891, demostró mediante su argumento diagonal el resultado más general conocido como teorema de Cantor : para cada conjunto , el conjunto potencia de no puede estar en biyección consigo mismo. [ ^5] Cuando Zermelo propuso sus axiomas para la teoría de conjuntos en 1908, demostró el teorema de Cantor a partir de ellos para demostrar su fuerza. ^[6]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$

En 1915, Leopold Löwenheim dio la primera prueba de lo que Skolem probaría de manera más general en 1920 y 1922, el teorema de Löwenheim-Skolem . ^{[7] [8]} Löwenheim demostró que cualquier oración de primer orden con un modelo también tiene un modelo con un dominio contable; Skolem generalizó esto a conjuntos infinitos de oraciones. La forma descendente del teorema de Löwenheim-Skolem muestra que si una colección contable de axiomas de primer orden se satisface por una estructura infinita , entonces los mismos axiomas se satisfacen por alguna estructura infinita contable. ^[9] Dado que las versiones de primer orden de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos (como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) son una colección contable de axiomas, esto implica que si estos axiomas son satisfacibles, son satisfacibles en algún modelo contable. ^[4]

En 1922, Skolem señaló la aparente contradicción entre el teorema de Löwenheim-Skolem, que implica que existe un modelo numerable de los axiomas de Zermelo, y el teorema de Cantor, que afirma que existen conjuntos incontables y que es demostrable a partir de los axiomas de Zermelo. "Hasta donde yo sé", escribió Skolem, "nadie ha llamado la atención sobre este estado de cosas peculiar y aparentemente paradójico. En virtud de los axiomas podemos demostrar la existencia de cardinalidades superiores... ¿Cómo puede ser, entonces, que todo el dominio B [un modelo numerable de los axiomas de Zermelo] ya pueda enumerarse por medio de los números enteros positivos finitos?" ^[1]

Sin embargo, esto es sólo una paradoja aparente. En el contexto de un modelo específico de teoría de conjuntos, el término "conjunto" no se refiere a un conjunto arbitrario, sino sólo a un conjunto que está realmente incluido en el modelo. La definición de numerabilidad requiere que exista una cierta correspondencia biunívoca entre un conjunto y los números naturales. Esta correspondencia en sí misma es un conjunto. Skolem resolvió la paradoja concluyendo que tal conjunto no existe necesariamente en un modelo numerable; es decir, la numerabilidad es "relativa" a un modelo, ^[10] y los modelos numerables de primer orden son incompletos . ^[11]

Aunque Skolem dio su resultado con respecto a los axiomas de Zermelo, es válido para cualquier teoría estándar de primer orden de conjuntos, ^[12] como ZFC . ^[4] Considere el teorema de Cantor como una fórmula larga en el lenguaje formal de ZFC . Si ZFC tiene un modelo, llamemos a este modelo y a su dominio . La interpretación del símbolo del elemento , o , es un conjunto de pares ordenados de elementos de —en otras palabras, es un subconjunto de . Puesto que el teorema de Löwenheim-Skolem garantiza que es contable, entonces también debe ser . Dos elementos especiales de modelan los números naturales y el conjunto potencia de los números naturales . Sólo hay un conjunto infinito contable de pares ordenados en de la forma , porque es contable. Es decir, sólo un número contable de elementos de modelan miembros del conjunto incontable . Sin embargo, no hay contradicción con el teorema de Cantor, porque lo que afirma es simplemente que ningún elemento de modela una función biyectiva de a . ^[13]${\displaystyle \mathrm {M}}$ ${\displaystyle \mathbb {M}}$ ${\estilo de visualización \en }$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\in )}$${\displaystyle \mathbb {M}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\in )}$${\displaystyle \mathbb {M} \veces \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {M}}$${\displaystyle \mathbb {M} \veces \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {M}}$ ${\displaystyle \mathbb {N}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\in )}$${\displaystyle \langle x,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\rangle }$${\displaystyle \mathbb {M} \veces \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {M}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \mathbb {M}}$${\displaystyle \mathbb {N}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

Skolem utilizó el término "relativo" para describir cuándo el mismo conjunto podría ser contable en un modelo de teoría de conjuntos y no contable en otro: en relación con un modelo, ninguna función enumeradora puede poner algún conjunto en correspondencia con los números naturales, pero en relación con otro modelo, esta correspondencia puede existir. ^[14] Describió esto como el resultado "más importante" en su artículo de 1922. ^[10] Los teóricos de conjuntos contemporáneos describen los conceptos que no dependen de la elección de un modelo transitivo como absolutos . ^[15] Desde su punto de vista, la paradoja de Skolem simplemente muestra que la contabilidad no es una propiedad absoluta en la lógica de primer orden. ^{[16] [17]}

Skolem describió su trabajo como una crítica de la teoría de conjuntos (de primer orden), destinada a ilustrar su debilidad como sistema fundamental:

Yo creía que era tan claro que la axiomatización en términos de conjuntos no era un fundamento definitivo satisfactorio para las matemáticas que los matemáticos, en su mayoría, no se preocuparían mucho por ello. Pero en los últimos tiempos he visto, para mi sorpresa, que muchos matemáticos piensan que estos axiomas de la teoría de conjuntos proporcionan el fundamento ideal para las matemáticas; por lo tanto, me pareció que había llegado el momento de una crítica. ^[18]

—  Thoralf Skolem, Algunas observaciones sobre la teoría de conjuntos axiomatizados (1922) ^{[nota 1]}

Pasó algún tiempo hasta que la teoría de la lógica de primer orden se desarrolló lo suficiente para que los matemáticos comprendieran la causa del resultado de Skolem; ninguna resolución de la paradoja fue ampliamente aceptada durante la década de 1920. En 1928, Abraham Fraenkel todavía describía el resultado como una antinomia :

Aún no se han cerrado los libros sobre la antinomia, ni se ha llegado a un acuerdo sobre su significado y su posible solución. ^[18]

—  Abraham Fraenkel, Introducción a la teoría de conjuntos (1928) ^{[nota 2]}

En 1925, John von Neumann presentó una nueva axiomatización de la teoría de conjuntos, que se convirtió en la teoría de conjuntos NBG . Muy consciente del artículo de Skolem de 1922, von Neumann investigó en detalle los modelos contables de sus axiomas. ^{[19] [20]} En sus observaciones finales, von Neumann comentó que no existe una axiomatización categórica de la teoría de conjuntos, ni de ninguna otra teoría con un modelo infinito. Hablando del impacto de la paradoja de Skolem, escribió:

Por el momento no podemos hacer más que señalar que tenemos una razón más para albergar reservas sobre la teoría de conjuntos y que por el momento no se conoce ninguna manera de rehabilitar esta teoría. ^[19]

—  John von Neumann, Una axiomatización de la teoría de conjuntos (1925) ^{[nota 3]}

Zermelo al principio consideró la paradoja de Skolem un engaño, y habló en contra del "relativismo" de Skolem en 1931. ^[21] El resultado de Skolem se aplica sólo a lo que ahora se llama lógica de primer orden , pero Zermelo argumentó en contra de las metamatemáticas finitarias que subyacen a la lógica de primer orden, ^[22] ya que Zermelo era un platónico matemático que se oponía al intuicionismo y al finitismo en matemáticas. ^[23] Zermelo creía en una especie de ideal platónico infinito de la lógica, y sostenía que las matemáticas tenían un carácter inherentemente infinito. ^[24] Zermelo argumentó que sus axiomas deberían estudiarse en cambio en la lógica de segundo orden , ^[25] un contexto en el que el resultado de Skolem no se aplica. ^[12] Zermelo publicó una axiomatización de segundo orden de la teoría de conjuntos en 1930. ^[26] El trabajo posterior de Zermelo sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos después del artículo de Skolem condujo a su descubrimiento de la jerarquía acumulativa y la formalización de la lógica infinitaria . ^[27]

La sorpresa con la que los teóricos de conjuntos se encontraron con la paradoja de Skolem en la década de 1920 fue un producto de su época. El teorema de completitud de Gödel y el teorema de compacidad , teoremas que iluminan la forma en que se comporta la lógica de primer orden y establecieron su naturaleza finita, no se demostraron por primera vez hasta 1929. ^{[28] La prueba de} Leon Henkin del teorema de completitud, que ahora es una técnica estándar para construir modelos contables de una teoría consistente de primer orden, no se presentó hasta 1947. ^{[29] [30]} Por lo tanto, en la década de 1920, las propiedades particulares de la lógica de primer orden que permiten la paradoja de Skolem aún no se entendían. ^[31] Ahora se sabe que la paradoja de Skolem es exclusiva de la lógica de primer orden; si la teoría de conjuntos se estudia utilizando lógica de orden superior con semántica completa, entonces no tiene ningún modelo contable. ^[12] Cuando Zermelo estaba escribiendo su refutación final de la paradoja en 1937, la comunidad de lógicos y teóricos de conjuntos había aceptado en gran medida la incompletitud de la lógica de primer orden. Zermelo dejó esta refutación inacabada. ^[32]

Los lógicos matemáticos posteriores no consideraron que la paradoja de Skolem fuera un defecto fatal en la teoría de conjuntos. Stephen Cole Kleene describió el resultado como "no una paradoja en el sentido de una contradicción absoluta, sino más bien una especie de anomalía". ^[33] Después de examinar el argumento de Skolem de que el resultado no es contradictorio, Kleene concluyó: "no existe una noción absoluta de contabilidad". ^[33] Geoffrey Hunter describió la contradicción como "apenas una paradoja". ^[34] Fraenkel et al. afirmaron que a los matemáticos contemporáneos no les preocupa más la falta de categoricidad de las teorías de primer orden de lo que les preocupa la conclusión del teorema de incompletitud de Gödel : que ningún conjunto consistente, efectivo y suficientemente fuerte de axiomas de primer orden es completo. ^[35]

Otros matemáticos como Reuben Goodstein y Hao Wang han llegado tan lejos como para adoptar lo que se llama una visión "Skolemita": que no sólo demuestra el teorema de Löwenheim-Skolem que las nociones de contabilidad de la teoría de conjuntos son relativas a un modelo, sino que cada conjunto es contable desde alguna perspectiva "absoluta". ^[36] LEJ Brouwer fue otro de los primeros partidarios de la idea de contabilidad absoluta, argumentando desde la perspectiva del intuicionismo matemático que todos los conjuntos son contables. ^[37] Tanto la visión Skolemita como el intuicionismo de Brouwer se oponen al platonismo matemático, ^[38] pero Carl Posy niega la idea de que la posición de Brouwer fuera una reacción a paradojas de la teoría de conjuntos anteriores. ^[39] Skolem fue otro intuicionista matemático, pero negó que sus ideas estuvieran inspiradas por Brouwer. ^[40]

Los modelos contables de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se han convertido en herramientas comunes en el estudio de la teoría de conjuntos. El método de Paul Cohen para extender la teoría de conjuntos, forzando , se explica a menudo en términos de modelos contables, y fue descrito por Akihiro Kanamori como una especie de extensión de la paradoja de Skolem. ^[41] El hecho de que estos modelos contables de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel todavía satisfagan el teorema de que existen conjuntos incontables no se considera una patología ; Jean van Heijenoort lo describió como "no una paradoja... [sino] una característica novedosa e inesperada de los sistemas formales". ^[42]

Hilary Putnam consideró el resultado de Skolem una paradoja, pero una de la filosofía del lenguaje más que de la teoría de conjuntos o la lógica formal. ^[43] Amplió la paradoja de Skolem para argumentar que no sólo las nociones de pertenencia de la teoría de conjuntos son relativas, sino que las nociones semánticas del lenguaje son relativas: no hay un modelo "absoluto" para los términos y predicados en el lenguaje. ^[44] Timothy Bays argumentó que el argumento de Putnam aplica incorrectamente el teorema de Löwenheim-Skolem descendente, ^[45] mientras que Tim Button argumentó que la afirmación de Putnam se mantiene a pesar del uso o mal uso del teorema de Löwenheim-Skolem. ^[46] Se han hecho varias apelaciones a la paradoja de Skolem en la filosofía de la ciencia , con académicos que hacen uso de la idea de Skolem de la relatividad de las estructuras de los modelos. ^{[47] [48]}

• Paradojas de la teoría de conjuntos

• Bays, Timothy (2000). Reflexiones sobre la paradoja de Skolem (PDF) (tesis doctoral). Departamento de Filosofía de la UCLA.
• Moore, AW (1985). "Teoría de conjuntos, la paradoja de Skolem y el Tractatus". Análisis . 45 (1): 13–20. doi :10.2307/3327397. JSTOR  3327397.

• Celebración de Vaughan Pratt del 120 cumpleaños de su antepasado académico Skolem