Imagen (matemáticas)

En matemáticas , para una función , la imagen de un valor de entrada es el valor de salida único que produce cuando se pasa . La preimagen de un valor de salida es el conjunto de valores de entrada que producen .${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización y}$

En términos más generales, la evaluación de cada elemento de un subconjunto dado de su dominio produce un conjunto, llamado la " imagen de debajo (o a través) ". De manera similar, la imagen inversa (o preimagen ) de un subconjunto dado del codominio es el conjunto de todos los elementos de esa función a un miembro de${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización B}$ ${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización B.}$

La imagen de la función es el conjunto de todos los valores de salida que puede producir, es decir, la imagen de . La preimagen de , es decir, la preimagen de bajo , siempre es igual a (el dominio de ); por lo tanto, la primera noción rara vez se utiliza.${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$

La imagen y la imagen inversa también pueden definirse para relaciones binarias generales , no sólo para funciones.

Algebraic structure → Group theory Group theory
Basic notions Subgroup Normal subgroup Group action Quotient group (Semi-)direct product Direct sum Free product Wreath product Group homomorphisms kernel image simple finite infinite continuous multiplicative additive cyclic abelian dihedral nilpotent solvable Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

La palabra "imagen" se utiliza de tres maneras relacionadas. En estas definiciones, es una función del conjunto al conjunto.${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

Si es un miembro de entonces la imagen de debajo denotada es el valor de cuando se aplica a se conoce alternativamente como la salida de para el argumento${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$

Se dice que una función toma el valor o toma como valor si existe alguno en el dominio de la función tal que De manera similar, se dice que un conjunto toma un valor en si existe alguno en el dominio de la función tal que Sin embargo, toma [todos] los valores en y tiene valor en significa que para cada punto en el dominio de .${\displaystyle y,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y.}$${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)\in S.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(x)\in S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

En todo momento, sea una función.${\displaystyle f:X\to Y}$La imagen de un subconjunto de es el conjunto de todos los conjuntos . Se denota por o por cuando no hay riesgo de confusión. Usando la notación de constructor de conjuntos , esta definición se puede escribir como ^{[1] [2]}${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle a\in A.}$${\displaystyle f[A],}$${\displaystyle f(A),}$$${\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}$$

Esto induce una función donde denota el conjunto potencia de un conjunto que es el conjunto de todos los subconjuntos de Véase § Notación a continuación para más información.${\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle S;}$${\displaystyle S.}$

La imagen de una función es la imagen de todo su dominio , también conocido como el rango de la función. ^[3] Este último uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para significar el codominio de${\displaystyle f.}$

Si es una relación binaria arbitraria en entonces el conjunto se llama imagen, o rango, de Dualmente, el conjunto se llama dominio de${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ for some }}x\in X\}}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ for some }}y\in Y\}}$${\displaystyle R.}$

Sea una función de a La preimagen o imagen inversa de un conjunto bajo denotado por es el subconjunto de definido por${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f^{-1}[B],}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$

Otras notaciones incluyen y ^[4] La imagen inversa de un conjunto singleton , denotada por o por, también se denomina fibra o fibra sobre o conjunto de nivel de El conjunto de todas las fibras sobre los elementos de es una familia de conjuntos indexados por${\displaystyle f^{-1}(B)}$${\displaystyle f^{-}(B).}$${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$${\displaystyle f^{-1}[y],}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y.}$

Por ejemplo, para la función la imagen inversa de sería Nuevamente, si no hay riesgo de confusión, se puede denotar por y también se puede pensar como una función del conjunto potencia de al conjunto potencia de La notación no debe confundirse con la de función inversa , aunque coincide con la usual para biyecciones en que la imagen inversa de bajo es la imagen de bajo${\displaystyle f(x)=x^{2},}$${\displaystyle \{4\}}$${\displaystyle \{-2,2\}.}$${\displaystyle f^{-1}[B]}$${\displaystyle f^{-1}(B),}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f^{-1}.}$

Las notaciones tradicionales utilizadas en la sección anterior no distinguen la función original de la función imagen de conjuntos ; de la misma manera, no distinguen la función inversa (suponiendo que exista una) de la función imagen inversa (que nuevamente relaciona los conjuntos potencia). Dado el contexto correcto, esto mantiene la notación liviana y generalmente no causa confusión. Pero si es necesario, una alternativa ^[5] es dar nombres explícitos para la imagen y la preimagen como funciones entre conjuntos potencia:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$con${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$con${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$en lugar de${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$en lugar de${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

• Una notación alternativa utilizada en lógica matemática y teoría de conjuntos es ^{[6] [7]}${\displaystyle f[A]}$${\displaystyle f\,''A.}$
• Algunos textos se refieren a la imagen de como el rango de ^[8] pero este uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para significar el codominio de${\displaystyle f}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f.}$

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$definido por${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$
   La imagen del conjunto bajo es La imagen de la función es La preimagen de es La preimagen de es también La preimagen de bajo es el conjunto vacío${\displaystyle \{2,3\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{a,c\}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$${\displaystyle \{b,d\}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$
   La imagen de bajo es y la imagen de es (el conjunto de todos los números reales positivos y cero). La preimagen de bajo es La preimagen del conjunto bajo es el conjunto vacío, porque los números negativos no tienen raíces cuadradas en el conjunto de los reales.${\displaystyle \{-2,3\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$${\displaystyle f}$
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   Las fibras son círculos concéntricos en torno al origen , el origen mismo y el conjunto vacío (respectivamente), dependiendo de si (respectivamente). (Si entonces la fibra es el conjunto de todos los que satisfacen la ecuación , es decir, el círculo centrado en el origen con radio )${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0}$${\displaystyle a\geq 0,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$
4. Si es una variedad y es la proyección canónica del fibrado tangente a entonces las fibras de son los espacios tangentes Este es también un ejemplo de un fibrado de fibras .${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$
5. Un grupo cociente es una imagen homomórfica .

Contraejemplos basados ​​en los números reales definidos que muestran que la igualdad generalmente no tiene por qué cumplirse para algunas leyes:${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$

Para cada función y todos los subconjuntos se cumplen las siguientes propiedades:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$

Imagen	Preimage
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(Y)\right)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)\subseteq B}$ (igual si por ejemplo, si es sobreyectiva) [9] [10]${\displaystyle B\subseteq f(X);}$${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ (igual si es inyectiva) [9] [10]${\displaystyle f}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle \left(f\vert _{A}\right)^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(f(A))\right)=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right)=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\,{\text{ if and only if }}{\text{ there exists }}C\subseteq A{\text{ such that }}f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\,{\text{ if and only if }}\,f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\,{\text{ if and only if }}\,f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\,{\text{ if and only if }}\,f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[9]
${\displaystyle f\left(A\cup f^{-1}(B)\right)\subseteq f(A)\cup B}$[11]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[11]
${\displaystyle f\left(A\cap f^{-1}(B)\right)=f(A)\cap B}$[11]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[11]

También:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Para funciones y con subconjuntos se cumplen las siguientes propiedades:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Z,}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Para la función y los subconjuntos se cumplen las siguientes propiedades:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle S,T\subseteq Y,}$

Imagen	Preimage
${\displaystyle A\subseteq B\,{\text{ implies }}\,f(A)\subseteq f(B)}$	${\displaystyle S\subseteq T\,{\text{ implies }}\,f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}$[11] [12]	${\displaystyle f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)}$[11] [12] (igual si es inyectiva [13] )${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)}$[11] (igual si es inyectiva [13] )${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)}$[11]
${\displaystyle f\left(A\triangle B\right)\supseteq f(A)\triangle f(B)}$ (igual si es inyectiva)${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}\left(S\triangle T\right)=f^{-1}(S)\triangle f^{-1}(T)}$

Los resultados que relacionan imágenes y preimágenes con el álgebra ( booleana ) de intersección y unión funcionan para cualquier colección de subconjuntos, no sólo para pares de subconjuntos:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$

(Aquí, puede ser infinito, incluso incontablemente infinito .)${\displaystyle S}$

Con respecto al álgebra de subconjuntos descrita anteriormente, la función imagen inversa es un homomorfismo de red , mientras que la función imagen es solo un homomorfismo de semired (es decir, no siempre conserva las intersecciones).

• Biyección, inyección y sobreyección  – Propiedades de las funciones matemáticas
• Fibra (matemáticas)  : conjunto de todos los puntos en el dominio de una función que se asignan a un único punto dado.
• Imagen (teoría de categorías)  : término de la teoría de categoríasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Núcleo de una función  – Relación de equivalencia que expresa que dos elementos tienen la misma imagen bajo una funciónPages displaying short descriptions of redirect targets
• Inversión de conjuntos  : Problema matemático que consiste en encontrar el conjunto representado por una función específica en un rango determinado.

• Artín, Michael (1991). Álgebra . Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Blyth, TS (2005). Redes y estructuras algebraicas ordenadas . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4.OCLC 945169917  .
• Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . The University Series in Undergraduate Mathematics. Van Nostrand Company. ISBN 9780442030643.Zbl 0087.04403  .
• Kelley, John L. (1985). Topología general . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 27 (2.ª ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .

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