Escala (geometría)

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En geometría afín , el escalado uniforme (o escalado isotrópico ^[1] ) es una transformación lineal que agranda (aumenta) o encoge (disminuye) objetos mediante un factor de escala que es el mismo en todas las direcciones ( isótropamente ). El resultado del escalado uniforme es similar (en el sentido geométrico) al original. Normalmente se permite un factor de escala de 1, de modo que las formas congruentes también se clasifiquen como similares. El escalado uniforme ocurre, por ejemplo, al agrandar o reducir una fotografía , o al crear un modelo a escala de un edificio, un automóvil, un avión, etc.

Más general es el escalado con un factor de escala separado para cada dirección de eje. El escalado no uniforme ( escalado anisotrópico ) se obtiene cuando al menos uno de los factores de escalado es diferente de los demás; un caso especial es el escalado direccional o estiramiento (en una dirección). El escalado no uniforme cambia la forma del objeto; por ejemplo, un cuadrado puede transformarse en un rectángulo o en un paralelogramo si los lados del cuadrado no son paralelos a los ejes de escalado (se conservan los ángulos entre líneas paralelas a los ejes, pero no todos los ángulos). Ocurre, por ejemplo, cuando se observa un cartel publicitario lejano desde un ángulo oblicuo , o cuando la sombra de un objeto plano cae sobre una superficie que no es paralela a él.

Cuando el factor de escala es mayor que 1, (uniforme o no uniforme) el escalamiento a veces también se denomina dilatación o ampliación . Cuando el factor de escala es un número positivo menor que 1, el escalamiento a veces también se denomina contracción o reducción .

En el sentido más general, un escalamiento incluye el caso en el que las direcciones de escalamiento no son perpendiculares. También incluye el caso en el que uno o más factores de escala son iguales a cero ( proyección ) y el caso de uno o más factores de escala negativos (un escalamiento direccional de -1 es equivalente a una reflexión ).

El escalamiento es una transformación lineal y un caso especial de transformación homotética (escalamiento en torno a un punto). En la mayoría de los casos, las transformaciones homotéticas son transformaciones no lineales.

Un factor de escala es generalmente un decimal que escala o multiplica alguna cantidad. En la ecuación y  = Cx , C es el factor de escala de x . C es también el coeficiente de x y puede llamarse la constante de proporcionalidad de y a x . Por ejemplo, duplicar distancias corresponde a un factor de escala de dos para la distancia, mientras que cortar una tarta por la mitad da como resultado trozos con un factor de escala de volumen de la mitad. La ecuación básica para ello es imagen sobre preimagen.

En el campo de las mediciones, el factor de escala de un instrumento se denomina a veces sensibilidad. La relación entre dos longitudes correspondientes en dos figuras geométricas similares también se denomina escala.

Una escala se puede representar mediante una matriz de escala . Para escalar un objeto mediante un vector v = ( v _x , vy _, v _z ), cada punto p = ( p _x , p _y , p _z ) debería multiplicarse por esta matriz de escala:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x }\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z} p_{z}\end{bmatriz}}.}$

Este escalamiento cambia el diámetro de un objeto por un factor entre los factores de escala, el área por un factor entre el producto más pequeño y el más grande de dos factores de escala, y el volumen por el producto de los tres.

El escalamiento es uniforme si y solo si los factores de escalamiento son iguales ( v _x = v _y = v _z ). Si todos los factores de escala, excepto uno, son iguales a 1, tenemos escalamiento direccional.

En el caso donde v _x = v _y = v _z = k , el escalamiento aumenta el área de cualquier superficie por un factor de k ² y el volumen de cualquier objeto sólido por un factor de k ³ .

En el espacio de dimensiones , el escalamiento uniforme por un factor se logra mediante la multiplicación escalar con , es decir, multiplicando cada coordenada de cada punto por . Como caso especial de transformación lineal, también se puede lograr multiplicando cada punto (visto como un vector columna) con una matriz diagonal cuyas entradas en la diagonal sean todas iguales a , es decir .${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle vI}$

El escalamiento no uniforme se logra mediante la multiplicación por cualquier matriz simétrica . Los valores propios de la matriz son los factores de escala y los vectores propios correspondientes son los ejes a lo largo de los cuales se aplica cada factor de escala. Un caso especial es una matriz diagonal, con números arbitrarios a lo largo de la diagonal: los ejes de escalamiento son entonces los ejes de coordenadas y la transformación escala a lo largo de cada eje por el factor .${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle v_{i}}$

En un escalamiento uniforme con un factor de escala distinto de cero, todos los vectores distintos de cero conservan su dirección (tal como se ven desde el origen) o todos tienen la dirección invertida, según el signo del factor de escalamiento. En un escalamiento no uniforme, solo los vectores que pertenecen a un espacio propio conservarán su dirección. Un vector que sea la suma de dos o más vectores distintos de cero que pertenezcan a diferentes espacios propios estará inclinado hacia el espacio propio con el valor propio más grande.

En geometría proyectiva , que se utiliza a menudo en gráficos por ordenador , los puntos se representan mediante coordenadas homogéneas . Para escalar un objeto mediante un vector v = ( v _x , v _y , v _z ), cada vector de coordenadas homogéneas p = ( p _x , p _y , p _z , 1) debería multiplicarse por esta matriz de transformación proyectiva :

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_ {x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\ \v_{z}p_{z}\\1\end{bmatriz}}.}$

Dado que el último componente de una coordenada homogénea puede verse como el denominador de los otros tres componentes, se puede lograr un escalamiento uniforme mediante un factor común s (escala uniforme) utilizando esta matriz de escalamiento:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

Para cada vector p = ( p _x , p _y , p _z , 1) tendríamos

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

lo que sería equivalente a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Dado un punto , la dilatación lo asocia con el punto a través de las ecuaciones${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle P'(x',y')}$

${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$para .${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$

Por lo tanto, dada una función , la ecuación de la función dilatada es${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

Si , la transformación es horizontal; cuando , es una dilatación, cuando , es una contracción.${\estilo de visualización n=1}$${\displaystyle m>1}$${\estilo de visualización m<1}$

Si , la transformación es vertical; cuando es una dilatación, cuando , es una contracción.${\estilo de visualización m=1}$${\estilo de visualización n>1}$${\estilo de visualización n<1}$

Si o , la transformación es un mapeo de compresión .${\displaystyle m=1/n}$${\displaystyle n=1/m}$

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• Comprensión del escalamiento 2D y comprensión del escalamiento 3D por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .
• Calculadora de factor de escala