Programa Langlands

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En matemáticas , el programa Langlands es un conjunto de conjeturas sobre las conexiones entre la teoría de números y la geometría . Fue propuesto por Robert Langlands  (1967, 1970). Busca relacionar los grupos de Galois en la teoría algebraica de números con las formas automórficas y la teoría de representación de grupos algebraicos sobre cuerpos locales y adeles . Es el proyecto más grande en la investigación matemática. Fue descrito por Edward Frenkel como " gran teoría unificada de las matemáticas". ^[1]

Una descripción no especializada: la construcción de un marco generalizado y en cierto modo unificado para caracterizar las estructuras que sustentan los números y sus abstracciones , y por tanto los invariantes que los basan, todo ello a través de métodos analíticos .

El programa Langlands consiste en abstracciones teóricas que desafían incluso a los matemáticos especializados. Básicamente, el lema fundamental del proyecto vincula la representación fundamental generalizada de un cuerpo finito con su extensión de grupo a las formas automórficas bajo las cuales es invariante . Esto se logra a través de la abstracción a la integración de dimensiones superiores , por una equivalencia a un cierto grupo analítico como una extensión absoluta de su álgebra . Esto permite una construcción funcional analítica de poderosas transformaciones de invariancia para un cuerpo numérico a su propia estructura algebraica .

El significado de una construcción de este tipo es matizado, pero sus soluciones y generalizaciones específicas son útiles. La consecuencia para la prueba de la existencia de tales objetos teóricos implica un método analítico para construir la aplicación categórica de estructuras fundamentales para virtualmente cualquier cuerpo de números . Como análogo a la posible distribución exacta de primos , el programa Langlands permite una herramienta general potencial para la resolución de la invariancia a nivel de estructuras algebraicas generalizadas . Esto a su vez permite un análisis algo unificado de objetos aritméticos a través de sus funciones automórficas . El concepto de Langlands permite un análisis general de abstracciones de números estructurantes. Esta descripción es a la vez una reducción y una generalización excesiva de los teoremas propios del programa, aunque estos análogos matemáticos proporcionan su base.

El programa Langlands se basa en ideas existentes: la filosofía de las formas de cúspide formulada unos años antes por Harish-Chandra y Gelfand  (1963), el trabajo y el enfoque de Harish-Chandra sobre los grupos de Lie semisimples y, en términos técnicos, la fórmula de trazas de Selberg y otros.

Lo novedoso en el trabajo de Langlands, además de la profundidad técnica, fue la conexión propuesta con la teoría de números, junto con su rica estructura organizacional hipotetizada (la llamada functorialidad ).

El trabajo de Harish-Chandra explotó el principio de que lo que se puede hacer para un grupo de Lie semisimple (o reductivo) se puede hacer para todos. Por lo tanto, una vez que se reconoció el papel de algunos grupos de Lie de baja dimensión como GL(2) en la teoría de formas modulares, y con la perspectiva de GL(1) en la teoría de cuerpos de clases , se abrió el camino a la especulación sobre GL( n ) para n > 2 general.

La idea de la forma de cúspide surgió de las cúspides de las curvas modulares , pero también tenía un significado visible en la teoría espectral como " espectro discreto ", en contraste con el " espectro continuo " de las series de Eisenstein . Se vuelve mucho más técnico para grupos de Lie más grandes, porque los subgrupos parabólicos son más numerosos.

En todos estos enfoques se disponía de métodos técnicos, a menudo de naturaleza inductiva y basados ​​en descomposiciones de Levi , entre otras cuestiones, pero el campo seguía siendo exigente. ^[2]

Desde la perspectiva de las formas modulares, se han desarrollado ejemplos como las formas modulares de Hilbert , las formas modulares de Siegel y las series theta .

Las conjeturas han evolucionado desde que Langlands las formuló por primera vez. Las conjeturas de Langlands se aplican a muchos grupos diferentes en muchos campos diferentes para los que pueden enunciarse, y cada campo ofrece varias versiones de las conjeturas. ^[3] Algunas versiones ^{[ ¿cuáles? ]} son ​​vagas o dependen de objetos como los grupos de Langlands , cuya existencia no está probada, o del grupo L , que tiene varias definiciones no equivalentes.

Objetos para los cuales se pueden formular conjeturas de Langlands:

• Representaciones de grupos reductivos sobre cuerpos locales (con diferentes subcasos correspondientes a cuerpos locales arquimedianos, cuerpos locales p -ádicos y compleciones de cuerpos de funciones)
• Formas automórficas en grupos reductivos sobre campos globales (con subcasos correspondientes a campos numéricos o campos de funciones).
• Análogos para campos finitos.
• Campos más generales, como campos de función sobre números complejos.

Las conjeturas pueden enunciarse de diversas formas, estrechamente relacionadas pero no obviamente equivalentes.

El punto de partida del programa fue la ley de reciprocidad de Emil Artin , que generaliza la reciprocidad cuadrática . La ley de reciprocidad de Artin se aplica a una extensión de Galois de un cuerpo de números algebraicos cuyo grupo de Galois es abeliano ; asigna funciones L a las representaciones unidimensionales de este grupo de Galois y establece que estas funciones L son idénticas a ciertas series L de Dirichlet o series más generales (es decir, ciertos análogos de la función zeta de Riemann ) construidas a partir de caracteres de Hecke . La correspondencia precisa entre estos diferentes tipos de funciones L constituye la ley de reciprocidad de Artin.

Para los grupos de Galois no abelianos y sus representaciones de dimensiones superiores, las L -funciones se pueden definir de forma natural: L -funciones de Artin .

La idea de Langlands era encontrar la generalización adecuada de las funciones L de Dirichlet , que permitiera la formulación del enunciado de Artin en el contexto más general de Langland. Hecke había relacionado anteriormente las funciones L de Dirichlet con formas automórficas ( funciones holomorfas en el semiplano superior del plano de números complejos que satisfacen ciertas ecuaciones funcionales ). Langlands luego las generalizó a representaciones cuspidales automórficas , que son ciertas representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo lineal general GL( n ) sobre el anillo de Adele de (los números racionales ). (Este anillo rastrea todas las compleciones de ver números p -ádicos ).${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle \mathbb {Q},}$

Langlands adjuntó funciones L automórficas a estas representaciones automórficas y conjeturó que cada función L de Artin que surge de una representación de dimensión finita del grupo de Galois de un cuerpo de números es igual a una que surge de una representación cuspidal automórfica. Esto se conoce como su conjetura de reciprocidad .

En términos generales, esta conjetura da una correspondencia entre las representaciones automórficas de un grupo reductivo y los homomorfismos de un grupo de Langlands a un grupo L. Esto ofrece numerosas variaciones, en parte porque las definiciones de grupo de Langlands y grupo L no son fijas.

Sobre cuerpos locales se espera que esto proporcione una parametrización de L -paquetes de representaciones irreducibles admisibles de un grupo reductivo sobre el cuerpo local. Por ejemplo, sobre los números reales, esta correspondencia es la clasificación de Langlands de representaciones de grupos reductivos reales. Sobre cuerpos globales , debería proporcionar una parametrización de formas automórficas.

La conjetura de funtorialidad establece que se espera que un homomorfismo adecuado de grupos L dé una correspondencia entre formas automórficas (en el caso global) o representaciones (en el caso local). En términos generales, la conjetura de reciprocidad de Langlands es el caso especial de la conjetura de funtorialidad cuando uno de los grupos reductivos es trivial.

Langlands generalizó la idea de functorialidad: en lugar de utilizar el grupo lineal general GL( n ), se pueden utilizar otros grupos reductivos conexos. Además, dado dicho grupo G , Langlands construye el grupo dual de Langlands ^L G , y luego, para cada representación cuspidal automórfica de G y cada representación de dimensión finita de ^L G , define una función L. Una de sus conjeturas establece que estas funciones L satisfacen una cierta ecuación funcional que generaliza las de otras funciones L conocidas .

Luego formula un "Principio de Functorialidad" muy general. Dados dos grupos reductivos y un morfismo (que se comporta bien) entre sus L -grupos correspondientes, esta conjetura relaciona sus representaciones automórficas de una manera que es compatible con sus L -funciones. Esta conjetura de functorialidad implica todas las demás conjeturas presentadas hasta ahora. Es de la naturaleza de una construcción de representación inducida , lo que en la teoría más tradicional de formas automórficas se había llamado un " elevamiento ", conocido en casos especiales, y por lo tanto es covariante (mientras que una representación restringida es contravariante). Los intentos de especificar una construcción directa solo han producido algunos resultados condicionales.

Todas estas conjeturas pueden formularse para campos más generales en lugar de : campos de números algebraicos (el caso original y más importante), campos locales y campos de funciones ( extensiones finitas de F _p ( t ) donde p es un primo y F _p ( t ) es el campo de funciones racionales sobre el campo finito con p elementos).${\displaystyle \mathbb {Q}}$

El programa geométrico de Langlands, sugerido por Gérard Laumon siguiendo las ideas de Vladimir Drinfeld , surge de una reformulación geométrica del programa de Langlands habitual que intenta relacionar más que sólo representaciones irreducibles. En casos simples, relaciona representaciones l -ádicas del grupo fundamental étale de una curva algebraica con objetos de la categoría derivada de haces l -ádicos en la pila de módulos de fibrados vectoriales sobre la curva.

Un proyecto colaborativo de nueve personas dirigido por Dennis Gaitsgory anunció una prueba de la conjetura geométrica de Langlands (categórica, no ramificada) que aprovecha el haz propio de Hecke como parte de la prueba. ^{[4] [5] [6] [7]}

Las conjeturas de Langlands para GL(1, K ) se derivan de (y son esencialmente equivalentes a) la teoría de campos de clases .

Langlands demostró las conjeturas de Langlands para grupos sobre los campos locales de Arquímedes (los números reales ) y (los números complejos ) dando la clasificación de Langlands de sus representaciones irreducibles.${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$

La clasificación de Lusztig de las representaciones irreducibles de grupos de tipo Lie sobre campos finitos puede considerarse un análogo de las conjeturas de Langlands para campos finitos.

La prueba de Andrew Wiles de la modularidad de las curvas elípticas semiestables sobre números racionales puede considerarse un ejemplo de la conjetura de reciprocidad de Langlands, ya que la idea principal es relacionar las representaciones de Galois que surgen de las curvas elípticas con las formas modulares. Aunque los resultados de Wiles se han generalizado sustancialmente, en muchas direcciones diferentes, la conjetura completa de Langlands para sigue sin demostrarse.${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {Q} )}$

En 1998, Laurent Lafforgue demostró el teorema de Lafforgue verificando las conjeturas de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para cuerpos de funciones K . Este trabajo continuó investigaciones anteriores de Drinfeld, quien demostró el caso GL(2, K ) en la década de 1980.

En 2018, Vincent Lafforgue estableció la correspondencia global de Langlands (la dirección de las formas automórficas a las representaciones de Galois) para grupos reductivos conectados sobre campos de funciones globales. ^{[8] [9] [10]}

Philip Kutzko  (1980) demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL(2, K ) sobre campos locales.

Gérard Laumon , Michael Rapoport y Ulrich Stuhler  (1993) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para campos locales característicos positivos K . Su prueba utiliza un argumento global.

Michael Harris y Richard Taylor  (2001) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para cuerpos locales característicos 0 K . Guy Henniart  (2000) dio otra prueba. Ambas pruebas utilizan un argumento global. Peter Scholze  (2013) dio otra prueba.

En 2008, Ngô Bảo Châu demostró el " lema fundamental ", que fue conjeturado originalmente por Langlands y Shelstad en 1983 y que se requiere en la prueba de algunas conjeturas importantes en el programa Langlands. ^{[11] [12]}

Para un lector profano o incluso para un matemático no especializado, las abstracciones del programa Langlands pueden resultar algo impenetrables. Sin embargo, existen algunas implicaciones sólidas y claras para la prueba o refutación de las conjeturas fundamentales de Langlands.

Como el programa postula una poderosa conexión entre la teoría analítica de números y las generalizaciones de la geometría algebraica , la idea de "funcionalidad" entre las representaciones algebraicas abstractas de cuerpos numéricos y sus construcciones analíticas de números primos da como resultado poderosas herramientas funcionales que permiten una cuantificación exacta de distribuciones de números primos . Esto, a su vez, genera la capacidad de clasificar ecuaciones diofánticas y otras abstracciones de funciones algebraicas .

Además, si existe la reciprocidad de tales álgebras generalizadas para los objetos postulados, y si se puede demostrar que sus funciones analíticas están bien definidas, algunos resultados muy profundos en matemáticas podrían estar al alcance de la prueba. Los ejemplos incluyen: soluciones racionales de curvas elípticas , construcción topológica de variedades algebraicas y la famosa hipótesis de Riemann . ^[13] Se esperaría que tales pruebas utilicen soluciones abstractas en objetos de series analíticas generalizadas , cada una de las cuales se relaciona con la invariancia dentro de las estructuras de cuerpos numéricos.

Además, se han postulado algunas conexiones entre el programa Langlands y la teoría M , ya que sus dualidades se conectan de maneras no triviales , proporcionando posibles soluciones exactas en la teoría de supercuerdas (como se hizo de manera similar en la teoría de grupos a través del monstruoso moonshine ).

En términos simples, el proyecto Langlands implica un marco profundo y poderoso de soluciones, que toca las áreas más fundamentales de las matemáticas, a través de generalizaciones de alto orden en soluciones exactas de ecuaciones algebraicas, con funciones analíticas, tal como están incorporadas en formas geométricas. Permite una unificación de muchos campos matemáticos distantes en un formalismo de métodos analíticos poderosos .

• Correspondencia entre Jacquet y Langlands
• Programa de Erlangen

• Arthur, James (2003), "El principio de funcionalidad", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 40 (1): 39–53, doi : 10.1090/S0273-0979-02-00963-1 , ISSN  0002-9904, MR  1943132
• Bernstein, J.; Gelbart, S. , eds. (2003). Introducción al programa Langlands . Boston: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-3211-2.
• Gelbart, Stephen (1984), "Una introducción elemental al programa Langlands", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 10 (2): 177–219, doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 , ISSN  0002-9904, MR  0733692
• Frenkel, Edward (2005). "Conferencias sobre el programa Langlands y la teoría de campos conforme". arXiv : hep-th/0512172 .
• Gelfand, IM (1963), "Funciones automórficas y la teoría de representaciones", Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, págs. 74-85, MR  0175997
• Harris, Michael; Taylor, Richard (2001), La geometría y cohomología de algunas variedades simples de Shimura, Annals of Mathematics Studies, vol. 151, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09090-0, Sr.  1876802
• Henniart, Guy (2000), "Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL( n ) sur un corps p -adique", Inventiones Mathematicae , 139 (2): 439–455, Bibcode :2000InMat.139..439H, doi :10.1007/s002220050012, ISSN  0020-9910, SEÑOR  1738446, S2CID  120799103
• Kutzko, Philip (1980), "La conjetura de Langlands para Gl2 de un campo local", Anales de Matemáticas , 112 (2): 381–412, doi :10.2307/1971151, JSTOR  1971151
• Langlands, Robert (1967), Carta al profesor Weil
• Langlands, RP (1970), "Problemas en la teoría de formas automórficas", Lectures in modern analysis and applications, III , Lecture Notes in Math, vol. 170, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 18–61, doi :10.1007/BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, Sr.  0302614
• Laumon, G.; Rapoport, M.; Stuhler, U. (1993), " Haces D -elípticos y la correspondencia de Langlands", Inventiones Mathematicae , 113 (2): 217–338, Bibcode :1993InMat.113..217L, doi :10.1007/BF01244308, ISSN  0020-9910, MR  1228127, S2CID  124557672
• Mueller, Julia; Shahidi, Freydoon , eds. (2021). La génesis del programa Langlands . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-71094-7.
• Scholze, Peter (2013), "La correspondencia local de Langlands para GL( n ) sobre cuerpos p -ádicos", Inventiones Mathematicae , 192 (3): 663–715, arXiv : 1010.1540 , Bibcode :2013InMat.192..663S, doi :10.1007/s00222-012-0420-5, S2CID  15124490

• La obra de Robert Langlands