Juego de icosiano

El juego icosiano es un juego matemático inventado en 1856 por el matemático irlandés William Rowan Hamilton . Consiste en hallar un ciclo hamiltoniano en un dodecaedro , un polígono que utiliza las aristas del dodecaedro y que pasa por todos sus vértices . La invención del juego por parte de Hamilton surgió de sus estudios sobre la simetría y de su invención del cálculo icosiano , un sistema matemático que describe las simetrías del dodecaedro.

Hamilton vendió su obra a una empresa fabricante de juegos y se comercializó tanto en el Reino Unido como en Europa, pero era demasiado fácil que tuviera éxito comercial. Solo se sabe que sobreviven unas pocas copias en museos. Aunque Hamilton no fue el primero en estudiar los ciclos hamiltonianos, su trabajo en este juego se convirtió en el origen del nombre de ciclos hamiltonianos. Varias obras de matemáticas recreativas estudiaron su juego. Otros rompecabezas basados ​​en ciclos hamiltonianos se venden como aplicaciones para teléfonos inteligentes y los matemáticos continúan estudiando juegos combinatorios basados ​​en ciclos hamiltonianos.

El objetivo del juego es encontrar un polígono tridimensional formado por los bordes de un dodecaedro regular , que pase exactamente una vez por cada vértice del dodecaedro. Un polígono que visita todos los vértices de esta manera ahora se llama ciclo hamiltoniano . En una versión del juego para dos jugadores, un jugador comienza eligiendo cinco vértices consecutivos a lo largo del polígono, y el otro jugador debe completar el polígono. ^[1]

Édouard Lucas describe la forma de cualquier solución posible de un modo que los jugadores puedan recordar. Un polígono completo debe cortar las doce caras del dodecaedro en dos tiras de seis pentágonos. A medida que esta tira pasa por cada uno de sus cuatro pentágonos centrales, a su vez, se conecta a través de dos aristas de cada pentágono que no son adyacentes, haciendo un giro poco profundo hacia la izquierda o un giro poco profundo hacia la derecha a través del pentágono. De esta manera, la tira hace dos giros hacia la izquierda y luego dos giros hacia la derecha, o viceversa. ^[2]

Una versión del juego tenía la forma de un tablero de madera plano con una gráfica plana con la misma estructura combinatoria que el dodecaedro (un diagrama de Schlegel ), ^[3] con agujeros para colocar clavijas numeradas en sus vértices. El polígono encontrado por los jugadores se indicaba mediante la numeración consecutiva de las clavijas. ^{[4] [5]} Otra versión tenía la forma de un "dodecaedro parcialmente aplanado", una cúpula aproximadamente hemisférica con los pentágonos de un dodecaedro extendidos sobre su superficie curva y un mango unido a su base plana. Los vértices tenían clavijas fijas. Una cuerda separada, con un bucle en un extremo, se enrollaba a través de estas clavijas para indicar el polígono. ^[5]

El juego era demasiado fácil de jugar para alcanzar mucha popularidad, ^{[6] [7] [8]} aunque Hamilton intentó contrarrestar esta impresión dando un ejemplo de un colega académico que no logró resolverlo. ^[8] David Darling sugiere que Hamilton puede haberlo hecho mucho más difícil para sí mismo que para otros, al usar sus métodos teóricos para resolverlo en lugar de prueba y error . ^[6]

En el momento de su invención del juego icosiano, William Rowan Hamilton era profesor de Astronomía Andrews en el Trinity College de Dublín y astrónomo real de Irlanda , y ya era famoso por su trabajo sobre la mecánica hamiltoniana y su invención de los cuaterniones . ^[9] La motivación de Hamilton fue el problema de comprender las simetrías del dodecaedro y el icosaedro , dos poliedros duales que tienen las mismas simetrías entre sí. Para este propósito también inventó el cálculo icosiano , un sistema de álgebra no conmutativa que utilizó para calcular estas simetrías. ^[10]

El nombre del juego icosiano proviene del hecho de que el icosaedro tiene veinte caras, el dodecaedro tiene veinte vértices y cualquier polígono que pase por todos los vértices del dodecaedro tiene veinte aristas. Icosa es una raíz griega que significa veinte. ^{[7] [11]} En un dodecaedro con vértices etiquetados, hay 30 formas diferentes en las que estos vértices podrían conectarse entre sí para formar un ciclo hamiltoniano. Sin embargo, sin las etiquetas, todos los ciclos hamiltonianos son simétricos entre sí bajo rotaciones y reflexiones del dodecaedro. ^[12]

Tanto el cálculo icosiano como el juego icosiano fueron delineados por Hamilton en una serie de cartas a su amigo John T. Graves a fines de 1856. ^[10] Hamilton luego exhibió el juego en la reunión de Dublín de 1857 de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia . ^{[13] [14]} Por sugerencia de Graves, ^[3] Hamilton vendió sus derechos de publicación a Jaques and Son , una empresa de fabricación de juguetes y juegos con sede en Londres. ^{[10] [13]}

Esta empresa comercializó el juego de Hamilton a partir de 1859, ^[4] tanto en su forma sólida como plana, ^[5] bajo los largos títulos The Travellers Dodecahedron, or a voyage around the world , y (respectivamente) The Icosian Game, inventado por Sir William Rowan Hamilton, astrónomo real de Irlanda; formando un juego nuevo y muy divertido para el salón, particularmente interesante para los estudiantes de matemáticas que ilustra los principios del cálculo icosiano . ^[4]

Varias versiones del juego se vendieron en Europa. ^[12] Sin embargo, no fue un éxito comercial. ^{[6] [7] [10]} Hamilton recibió solo £25 de Jaques and Son por su invención (valor actual £3200). ^[12] Se sabe que sobreviven pocas copias originales del juego, ^[15] pero una se conserva en la biblioteca de la Real Academia Irlandesa en Dublín, ^[4] y otra está incluida en la colección del Conservatorio Nacional de Artes y Oficios en París, ^[3] ambas en la forma plana del juego. ^{[3] [4]}

Aunque Hamilton inventó el juego icosiano de forma independiente, no fue el primero en estudiar los ciclos hamiltonianos. Los recorridos de caballos en los tableros de ajedrez , otro rompecabezas basado en ciclos hamiltonianos, se remontan al siglo IX, tanto en la India como en las matemáticas del mundo islámico medieval . ^[16] Casi al mismo tiempo que Hamilton, Thomas Kirkman en Inglaterra también estaba estudiando ciclos hamiltonianos en poliedros. ^[17] Hamilton visitó a Kirkman en 1861 y le regaló una copia del juego icosiano. ^[10] A pesar de este trabajo relacionado, parte del cual era mucho anterior, los ciclos hamiltonianos llegaron a ser nombrados por Hamilton y por su trabajo en el juego icosiano. ^[1]

El juego icosiano en sí ha sido el tema de múltiples trabajos en matemáticas recreativas por autores conocidos sobre el tema, incluidos Édouard Lucas , ^[2] Wilhelm Ahrens , ^[18] y Martin Gardner . ^[12] Los rompecabezas como el juego icosiano de Hamilton, basado en encontrar ciclos hamiltonianos en gráficos planares, continúan vendiéndose como aplicaciones para teléfonos inteligentes. ^[19] Los juegos Maker-Breaker basados ​​en ciclos hamiltonianos se introdujeron en la teoría de juegos combinatorios en un artículo de 1978 de Václav Chvátal y Paul Erdős , ^{[20] [21]} y continúan estudiándose en matemáticas. ^[21]

• Hunt the Wumpus , otro juego que se juega en el gráfico de un dodecaedro
• Los siete puentes de Königsberg , un rompecabezas para encontrar un ciclo a través de todos los bordes de un gráfico

• Antonick, Gary (6 de octubre de 2014), "El juego icosiano de Hamilton", The New York Times, incluido un solucionador interactivo para encontrar trayectorias hamiltonianas en un dodecaedro
• Weisstein, Eric W. , "Juego icosiano", MathWorld, mostrando las 30 soluciones en el tablero plano