Elasticidad (física)

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Continuum mechanics
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Fick's laws of diffusion
Laws Conservations Mass Momentum Energy Inequalities Clausius–Duhem (entropy)
Solid mechanics Deformation Elasticity linear Plasticity Hooke's law Stress Strain Finite strain Infinitesimal strain Compatibility Bending Contact mechanics frictional Material failure theory Fracture mechanics
Fluid mechanics Fluids Statics · Dynamics Archimedes' principle · Bernoulli's principle Navier–Stokes equations Poiseuille equation · Pascal's law Viscosity (Newtonian · non-Newtonian) Buoyancy · Mixing · Pressure Liquids Adhesion Capillary action Chromatography Cohesion (chemistry) Surface tension Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Combined gas law Fick's law Gay-Lussac's law Graham's law Plasma
Rheology Viscoelasticity Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

En física y ciencia de los materiales , la elasticidad es la capacidad de un cuerpo de resistir una influencia distorsionante y volver a su tamaño y forma originales cuando dicha influencia o fuerza desaparece. Los objetos sólidos se deforman cuando se les aplican cargas adecuadas ; si el material es elástico, el objeto volverá a su forma y tamaño iniciales después de retirarlo. Esto contrasta con la plasticidad , en la que el objeto no logra hacerlo y, en cambio, permanece en su estado deformado.

Las razones físicas del comportamiento elástico pueden ser muy diferentes para distintos materiales. En los metales , la red atómica cambia de tamaño y forma cuando se aplican fuerzas (se añade energía al sistema). Cuando se eliminan las fuerzas, la red vuelve al estado original de menor energía. En el caso de los cauchos y otros polímeros , la elasticidad se produce por el estiramiento de las cadenas de polímeros cuando se aplican fuerzas.

La ley de Hooke establece que la fuerza necesaria para deformar objetos elásticos debe ser directamente proporcional a la distancia de deformación, independientemente de lo grande que sea dicha distancia. Esto se conoce como elasticidad perfecta , en la que un objeto dado volverá a su forma original sin importar cuán fuertemente se deforme. Este es solo un concepto ideal ; la mayoría de los materiales que poseen elasticidad en la práctica permanecen puramente elásticos solo hasta deformaciones muy pequeñas, después de las cuales ocurre la deformación plástica (permanente).

En ingeniería , la elasticidad de un material se cuantifica mediante el módulo elástico , como el módulo de Young , el módulo volumétrico o el módulo de corte, que miden la cantidad de tensión necesaria para alcanzar una unidad de deformación ; un módulo más alto indica que el material es más difícil de deformar. La unidad SI de este módulo es el pascal (Pa). El límite elástico o límite elástico del material es la tensión máxima que puede surgir antes del inicio de la deformación plástica. Su unidad SI también es el pascal (Pa).

Cuando un material elástico se deforma debido a una fuerza externa, experimenta una resistencia interna a la deformación y lo restaura a su estado original si ya no se aplica la fuerza externa. Existen varios módulos elásticos , como el módulo de Young , el módulo de corte y el módulo volumétrico , todos los cuales son medidas de las propiedades elásticas inherentes de un material como resistencia a la deformación bajo una carga aplicada. Los diversos módulos se aplican a diferentes tipos de deformación. Por ejemplo, el módulo de Young se aplica a la extensión/compresión de un cuerpo, mientras que el módulo de corte se aplica a su cizallamiento . ^[1] El módulo de Young y el módulo de corte son solo para sólidos, mientras que el módulo volumétrico es para sólidos, líquidos y gases.

La elasticidad de los materiales se describe mediante una curva de tensión-deformación , que muestra la relación entre la tensión (la fuerza interna restauradora promedio por unidad de área) y la deformación (la deformación relativa). ^[2] La curva generalmente no es lineal, pero puede (mediante el uso de una serie de Taylor ) aproximarse como lineal para deformaciones suficientemente pequeñas (en las que los términos de orden superior son insignificantes). Si el material es isótropo , la relación tensión-deformación linealizada se denomina ley de Hooke , que a menudo se presume que se aplica hasta el límite elástico para la mayoría de los metales o materiales cristalinos, mientras que la elasticidad no lineal generalmente se requiere para modelar grandes deformaciones de materiales gomosos incluso en el rango elástico. Para tensiones incluso más altas, los materiales exhiben un comportamiento plástico , es decir, se deforman irreversiblemente y no vuelven a su forma original después de que ya no se aplica tensión. ^[3] Para materiales similares al caucho, como los elastómeros , la pendiente de la curva de tensión-deformación aumenta con la tensión, lo que significa que los cauchos se vuelven progresivamente más difíciles de estirar, mientras que para la mayoría de los metales, el gradiente disminuye a tensiones muy altas, lo que significa que se vuelven progresivamente más fáciles de estirar. ^[4] La elasticidad no solo la exhiben los sólidos; los fluidos no newtonianos , como los fluidos viscoelásticos , también exhibirán elasticidad en ciertas condiciones cuantificadas por el número de Deborah . En respuesta a una pequeña tensión aplicada y eliminada rápidamente, estos fluidos pueden deformarse y luego volver a su forma original. Bajo tensiones mayores, o tensiones aplicadas durante períodos de tiempo más largos, estos fluidos pueden comenzar a fluir como un líquido viscoso .

Dado que la elasticidad de un material se describe en términos de una relación tensión-deformación, es esencial que los términos tensión y deformación se definan sin ambigüedad. Normalmente, se consideran dos tipos de relación. El primer tipo se ocupa de los materiales que son elásticos solo para pequeñas deformaciones. El segundo se ocupa de los materiales que no están limitados a pequeñas deformaciones. Claramente, el segundo tipo de relación es más general en el sentido de que debe incluir el primer tipo como un caso especial.

Para pequeñas deformaciones, la medida de tensión que se utiliza es la tensión de Cauchy , mientras que la medida de deformación que se utiliza es el tensor de deformación infinitesimal ; el comportamiento del material resultante (previsto) se denomina elasticidad lineal , que (para medios isotrópicos ) se denomina ley de Hooke generalizada . Los materiales elásticos de Cauchy y los materiales hipoelásticos son modelos que extienden la ley de Hooke para permitir la posibilidad de grandes rotaciones, grandes distorsiones y anisotropía intrínseca o inducida .

Para situaciones más generales, se puede utilizar cualquiera de varias medidas de tensión y generalmente se desea (pero no se requiere) que la relación tensión-deformación elástica se exprese en términos de una medida de deformación finita que sea un trabajo conjugado con la medida de tensión seleccionada, es decir, la integral de tiempo del producto interno de la medida de tensión con la tasa de la medida de deformación debe ser igual al cambio en la energía interna para cualquier proceso adiabático que permanezca por debajo del límite elástico.

La unidad SI para la elasticidad y el módulo elástico es el pascal (Pa). Esta unidad se define como fuerza por unidad de área, generalmente una medida de presión , que en mecánica corresponde a la tensión . El pascal y, por lo tanto, la elasticidad tienen la dimensión L ⁻¹ ⋅M⋅T ⁻² .

Para los materiales de ingeniería más utilizados, el módulo elástico está en la escala de gigapascales (GPa, 10 ⁹ Pa).

Como se señaló anteriormente, para pequeñas deformaciones, la mayoría de los materiales elásticos, como los resortes , exhiben elasticidad lineal y pueden describirse mediante una relación lineal entre la tensión y la deformación. Esta relación se conoce como ley de Hooke . Una versión dependiente de la geometría de la idea ^[a] fue formulada por primera vez por Robert Hooke en 1675 como un anagrama latino , "ceiiinosssttuv". Publicó la respuesta en 1678: " Ut tensio, sic vis ", que significa " Como la extensión, así la fuerza ", ^{[5] [6]} una relación lineal comúnmente conocida como ley de Hooke . Esta ley puede enunciarse como una relación entre la fuerza de tracción F y el desplazamiento de extensión correspondiente ,${\displaystyle x}$

${\displaystyle F=kx,}$

donde k es una constante conocida como constante de velocidad o constante de resorte . También se puede expresar como una relación entre la tensión y la deformación :${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon ,}$

donde E se conoce como el módulo de Young . ^[7]

Aunque la constante de proporcionalidad general entre la tensión y la deformación en tres dimensiones es un tensor de cuarto orden llamado rigidez , los sistemas que exhiben simetría , como una varilla unidimensional, a menudo pueden reducirse a aplicaciones de la ley de Hooke.

El comportamiento elástico de los objetos que sufren deformaciones finitas se ha descrito utilizando varios modelos, como los modelos de materiales elásticos de Cauchy , los modelos de materiales hipoelásticos y los modelos de materiales hiperelásticos . El gradiente de deformación ( F ) es la principal medida de deformación utilizada en la teoría de deformaciones finitas .

Se dice que un material es Cauchy-elástico si el tensor de tensión de Cauchy σ es una función únicamente del gradiente de deformación F :

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}$

En general, es incorrecto afirmar que la tensión de Cauchy es una función de un mero tensor de deformación , ya que dicho modelo carece de información crucial sobre la rotación del material necesaria para producir resultados correctos para un medio anisotrópico sometido a extensión vertical en comparación con la misma extensión aplicada horizontalmente y luego sometida a una rotación de 90 grados; ambas deformaciones tienen los mismos tensores de deformación espaciales pero deben producir valores diferentes del tensor de tensión de Cauchy.

Aunque la tensión en un material elástico de Cauchy depende únicamente del estado de deformación, el trabajo realizado por las tensiones puede depender de la trayectoria de deformación. Por lo tanto, la elasticidad de Cauchy incluye modelos "no hiperelásticos" no conservativos (en los que el trabajo de deformación depende de la trayectoria) así como modelos conservativos de " material hiperelástico " (para los que la tensión puede derivarse de una función escalar de "potencial elástico").

Un material hipoelástico puede definirse rigurosamente como aquel que se modela utilizando una ecuación constitutiva que satisface los dos criterios siguientes: ^[8]

1. La tensión de Cauchy en el momento depende únicamente del orden en el que el cuerpo ha ocupado sus configuraciones pasadas, pero no de la velocidad temporal en la que se recorrieron estas configuraciones pasadas. Como caso especial, este criterio incluye un material elástico de Cauchy , para el cual la tensión actual depende únicamente de la configuración actual en lugar de la historia de las configuraciones pasadas.${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle t}$
2. Existe una función con valor tensorial tal que en la que es la tasa de material del tensor de tensión de Cauchy, y es el tensor de gradiente de velocidad espacial .${\displaystyle G}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$

Si sólo se utilizan estos dos criterios originales para definir la hipoelasticidad, entonces la hiperelasticidad se incluiría como un caso especial, lo que lleva a algunos modeladores constitutivos a añadir un tercer criterio que requiere específicamente que un modelo hipoelástico no sea hiperelástico (es decir, la hipoelasticidad implica que la tensión no se puede derivar de un potencial de energía). Si se adopta este tercer criterio, se deduce que un material hipoelástico podría admitir trayectorias de carga adiabáticas no conservativas que comiencen y terminen con el mismo gradiente de deformación pero que no comiencen y terminen con la misma energía interna.

Tenga en cuenta que el segundo criterio solo requiere que exista la función . Como se detalla en el artículo principal sobre el material hipoelástico , las formulaciones específicas de los modelos hipoelásticos suelen emplear las denominadas tasas objetivas, de modo que la función existe solo de manera implícita y, por lo general, se necesita explícitamente solo para las actualizaciones numéricas de tensión realizadas a través de la integración directa de la tasa de tensión real (no objetiva).${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Los materiales hiperelásticos (también llamados materiales elásticos de Green) son modelos conservativos que se derivan de una función de densidad de energía de deformación ( W ). Un modelo es hiperelástico si y solo si es posible expresar el tensor de tensión de Cauchy como una función del gradiente de deformación a través de una relación de la forma

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}$

Esta formulación toma el potencial energético ( W ) como una función del gradiente de deformación ( ). Al requerir también la satisfacción de la objetividad material , el potencial energético puede considerarse alternativamente como una función del tensor de deformación de Cauchy-Green ( ), en cuyo caso el modelo hiperelástico puede escribirse alternativamente como${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}{\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}$

La elasticidad lineal se utiliza ampliamente en el diseño y análisis de estructuras como vigas , placas y láminas , y materiales compuestos tipo sándwich . Esta teoría también es la base de gran parte de la mecánica de fracturas .

La hiperelasticidad se utiliza principalmente para determinar la respuesta de objetos basados ​​en elastómeros , como juntas , y de materiales biológicos como tejidos blandos y membranas celulares .

En un sólido isótropo dado , con elasticidad teórica conocida para el material en masa en términos del módulo de Young, la elasticidad efectiva estará determinada por la porosidad . Generalmente, un material más poroso exhibirá menor rigidez. Más específicamente, la fracción de poros, su distribución en diferentes tamaños y la naturaleza del fluido con el que están llenos dan lugar a diferentes comportamientos elásticos en los sólidos. ^[9]

Para materiales isótropos que contienen grietas, la presencia de fracturas afecta los módulos de Young y de corte perpendiculares a los planos de las grietas, que disminuyen (el módulo de Young más rápido que el módulo de corte) a medida que aumenta la densidad de fracturas , ^[10] lo que indica que la presencia de grietas hace que los cuerpos sean más frágiles. Microscópicamente , la relación tensión-deformación de los materiales está gobernada en general por la energía libre de Helmholtz , una cantidad termodinámica . Las moléculas se asientan en la configuración que minimiza la energía libre, sujetas a restricciones derivadas de su estructura y, dependiendo de si el término de energía o de entropía domina la energía libre, los materiales pueden clasificarse ampliamente como elásticos a la energía y elásticos a la entropía . Como tal, los factores microscópicos que afectan a la energía libre, como la distancia de equilibrio entre moléculas, pueden afectar la elasticidad de los materiales: por ejemplo, en materiales inorgánicos , a medida que aumenta la distancia de equilibrio entre moléculas a 0 K , el módulo volumétrico disminuye. ^[11] El efecto de la temperatura sobre la elasticidad es difícil de aislar, porque hay numerosos factores que lo afectan. Por ejemplo, el módulo volumétrico de un material depende de la forma de su red , su comportamiento bajo expansión , así como de las vibraciones de las moléculas, todo lo cual depende de la temperatura. ^[12]

• Las conferencias de Feynman sobre física, vol. II, cap. 38: Elasticidad