Grupo kleiniano

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Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
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En matemáticas , un grupo kleiniano es un subgrupo discreto del grupo de isometrías que preservan la orientación del 3-espacio hiperbólico H ³ . Este último, identificable con PSL(2,  C ) , es el grupo cociente de las matrices complejas 2 por 2 de determinante 1 por su centro , que consiste en la matriz identidad y su producto por −1 . PSL(2,  C ) tiene una representación natural como transformaciones conformes que preservan la orientación de la esfera de Riemann , y como transformaciones conformes que preservan la orientación de la bola unitaria abierta B ³ en R ³ . El grupo de transformaciones de Möbius también está relacionado como el grupo de isometrías que no preservan la orientación de H ³ , PGL(2,  C ) . Por lo tanto, un grupo kleiniano puede considerarse como un subgrupo discreto que actúa sobre uno de estos espacios.

La teoría de los grupos kleinianos generales fue fundada por Felix Klein  (1883) y Henri Poincaré  (1883), quienes los bautizaron en honor a Felix Klein . El caso especial de los grupos de Schottky había sido estudiado unos años antes, en 1877, por Schottky.

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Una definición moderna del grupo kleiniano es la de un grupo que actúa sobre la esfera 3 como un grupo discreto de isometrías hiperbólicas. El espacio hiperbólico 3-espacial tiene un límite natural; en el modelo de esfera, este puede identificarse con la esfera 2-sférica. La llamamos esfera en el infinito y la denotamos por . Una isometría hiperbólica se extiende a un homeomorfismo conforme de la esfera en el infinito (y a la inversa, cada homeomorfismo conforme en la esfera en el infinito se extiende únicamente a una isometría hiperbólica en la bola por extensión de Poincaré. Es un resultado estándar del análisis complejo que los homeomorfismos conformes en la esfera de Riemann son exactamente las transformaciones de Möbius , que además pueden identificarse como elementos del grupo lineal proyectivo PGL(2, C ). Por lo tanto, un grupo kleiniano también puede definirse como un subgrupo Γ de PGL(2, C ). Clásicamente, se requería que un grupo kleiniano actuara de manera discontinua correctamente en un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann, pero el uso moderno permite cualquier subgrupo discreto.${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

Cuando Γ es isomorfo al grupo fundamental de una 3-variedad hiperbólica , entonces el espacio cociente H ³ /Γ se convierte en un modelo kleiniano de la variedad. Muchos autores utilizan los términos modelo kleiniano y grupo kleiniano indistintamente, dejando que uno represente al otro.${\displaystyle \pi _{1}}$

La discreción implica que los puntos en el interior del 3-espacio hiperbólico tienen estabilizadores finitos y órbitas discretas bajo el grupo Γ. Por otro lado, la órbita Γ p de un punto p normalmente se acumulará en el límite de la bola cerrada .${\displaystyle {\bar {B}}^{3}}$

El conjunto de puntos de acumulación de Γ p en se denomina conjunto límite de Γ y, por lo general, se denota como . El complemento se denomina dominio de discontinuidad o conjunto ordinario o conjunto regular . El teorema de finitud de Ahlfors implica que si el grupo se genera finitamente, entonces es un orbifold de superficie de Riemann de tipo finito.${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$${\displaystyle \Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )}$${\displaystyle \Omega (\Gamma )/\Gamma }$

La bola unitaria B ³ con su estructura conforme es el modelo de Poincaré del espacio tridimensional hiperbólico . Cuando lo pensamos métricamente, con unidades métricas

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}}}$

es un modelo del espacio hiperbólico tridimensional H ³ . El conjunto de autoaplicaciones conformes de B ³ se convierte en el conjunto de isometrías (es decir, aplicaciones que preservan la distancia) de H ³ bajo esta identificación. Dichas aplicaciones se limitan a las autoaplicaciones conformes de , que son transformaciones de Möbius . Existen isomorfismos${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3}).}$

Los subgrupos de estos grupos que consisten en transformaciones que preservan la orientación son todos isomorfos al grupo de matrices proyectivas: PSL(2, C ) a través de la identificación habitual de la esfera unitaria con la línea proyectiva compleja P ¹ ( C ).

Hay algunas variaciones de la definición de un grupo kleiniano: a veces se permite que los grupos kleinianos sean subgrupos de PSL(2, C ).2 (es decir, de PSL(2, C ) extendido por conjugaciones complejas), en otras palabras, que tengan elementos que inviertan la orientación, y a veces se supone que son finitamente generados , y a veces se requiere que actúen de manera discontinua de manera adecuada en un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann.

• Se dice que un grupo kleiniano es de tipo finito si su región de discontinuidad tiene un número finito de órbitas de componentes bajo la acción del grupo, y el cociente de cada componente por su estabilizador es una superficie de Riemann compacta con un número finito de puntos eliminados, y la cobertura está ramificada en un número finito de puntos.
• Un grupo kleiniano se denomina finitamente generado si tiene un número finito de generadores. El teorema de finitud de Ahlfors dice que un grupo de este tipo es de tipo finito.
• Un grupo kleiniano Γ tiene covolumen finito si H ³ /Γ tiene volumen finito. Cualquier grupo kleiniano de covolumen finito es finitamente generado.
• Un grupo kleiniano se denomina geométricamente finito si tiene un poliedro fundamental (en el hiperbólico 3-espacio) con un número finito de lados. Ahlfors demostró que si el conjunto límite no es toda la esfera de Riemann, entonces tiene medida 0.
• Un grupo kleiniano Γ se denomina aritmético si es conmensurable con la norma de grupo 1 de elementos de un orden del álgebra de cuaterniones A ramificado en todos los lugares reales sobre un cuerpo de números k con exactamente un lugar complejo. Los grupos kleinianos aritméticos tienen covolumen finito.
• Un grupo kleiniano Γ se denomina cocompacto si H ³ /Γ es compacto o, equivalentemente, SL(2, C )/Γ es compacto. Los grupos kleinianos cocompactos tienen un covolumen finito.
• Un grupo kleiniano se denomina topológicamente dócil si está finitamente generado y su variedad hiperbólica es homeomorfa al interior de una variedad compacta con borde.
• Un grupo kleiniano se denomina geométricamente dócil si sus extremos son geométricamente finitos o simplemente degenerados (Thurston 1980).
• Se dice que un grupo kleiniano es de tipo 1 si el conjunto límite es toda la esfera de Riemann, y de tipo 2 en caso contrario.

• El corte de Maskit a través del espacio de módulos de los grupos kleinianos

Un grupo de Bianchi es un grupo kleiniano de la forma PSL(2, O _d ), donde es el anillo de números enteros del campo cuadrático imaginario para un entero positivo libre de cuadrados .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

Un grupo kleiniano se denomina elemental si su conjunto límite es finito, en cuyo caso el conjunto límite tiene 0, 1 o 2 puntos. Entre los ejemplos de grupos kleinianos elementales se incluyen los grupos kleinianos finitos (con un conjunto límite vacío) y los grupos kleinianos cíclicos infinitos.

Un grupo kleiniano se denomina reducible si todos sus elementos tienen un punto fijo común en la esfera de Riemann. Los grupos kleinianos reducibles son elementales, pero algunos grupos kleinianos finitos elementales no son reducibles.

Cualquier grupo fuchsiano (un subgrupo discreto de PSL(2, R )) es un grupo kleiniano y, a la inversa, cualquier grupo kleiniano que preserve la línea real (en su acción sobre la esfera de Riemann) es un grupo fuchsiano. De manera más general, todo grupo kleiniano que preserve un círculo o una línea recta en la esfera de Riemann es conjugado a un grupo fuchsiano.

• Un factor de un grupo kleiniano G es un subgrupo H maximal sujeto a las siguientes propiedades:
  • H tiene un componente invariante simplemente conexo D
  • Un conjugado de un elemento h de H por una biyección conforme es parabólico o elíptico si y sólo si h es.
  • Cualquier elemento parabólico de G que fija un punto límite de D está en H.
• Un grupo kleiniano se denomina grupo Koebe si todos sus factores son elementales o fuchsianos.

Un grupo kleiniano que conserva una curva de Jordan se denomina grupo cuasi-fucsiano . Cuando la curva de Jordan es un círculo o una línea recta, estos son simplemente conjugados a grupos fucsianos bajo transformaciones conformes. Los grupos cuasi-fucsianos finitamente generados son conjugados a grupos fucsianos bajo transformaciones cuasi-conformes. El conjunto límite está contenido en la curva de Jordan invariante, y si es igual a la curva de Jordan, se dice que el grupo es de la primera clase , y en caso contrario se dice que es de la segunda clase .

Sean C _i los círculos límite de una colección finita de discos cerrados disjuntos. El grupo generado por inversión en cada círculo tiene como conjunto límite un conjunto de Cantor y el cociente H ³ / G es un orbifold especular con un espacio subyacente que es una bola. Está doblemente cubierto por un cuerpo de asa ; el subgrupo de índice 2 correspondiente es un grupo kleiniano llamado grupo de Schottky .

Sea T una teselación periódica del espacio tridimensional hiperbólico. El grupo de simetrías de la teselación es un grupo kleiniano.

El grupo fundamental de cualquier 3-variedad hiperbólica orientada es un grupo kleiniano. Hay muchos ejemplos de estos, como el complemento de un nudo en forma de 8 o el espacio de Seifert-Weber . Por el contrario, si un grupo kleiniano no tiene elementos de torsión no triviales, entonces es el grupo fundamental de una 3-variedad hiperbólica.

Un grupo kleiniano se denomina degenerado si no es elemental y su conjunto límite es simplemente conexo. Dichos grupos se pueden construir tomando un límite adecuado de grupos cuasi-fucsianos tales que uno de los dos componentes de los puntos regulares se contraiga hasta el conjunto vacío; estos grupos se denominan simplemente degenerados . Si ambos componentes del conjunto regular se contraen hasta el conjunto vacío, entonces el conjunto límite se convierte en una curva que llena el espacio y el grupo se denomina doblemente degenerado . La existencia de grupos kleinianos degenerados fue demostrada por primera vez indirectamente por Bers (1970), y el primer ejemplo explícito fue encontrado por Jørgensen. Cannon y Thurston (2007) dieron ejemplos de grupos doblemente degenerados y curvas que llenan el espacio asociadas a mapas pseudo-Anosov .

• Conjetura de la medida de Ahlfors
• Teorema de densidad para grupos kleinianos
• Teorema de laminación final
• Teorema de mansedumbre (conjetura de Marden)

• Bers, Lipman (1970), "Sobre los límites de los espacios de Teichmüller y sobre los grupos kleinianos. I", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 91 (3): 570–600, doi :10.2307/1970638, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970638, MR  0297992
• Bers, Lipman ; Kra, Irwin , eds. (1974), Un curso intensivo sobre grupos kleinianos (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 400, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0065671, hdl : 10077/4140 , ISBN 978-3-540-06840-2, Sr.  0346152
• Cannon, James W.; Thurston, William P. (2007) [1982], "Curvas de Peano invariantes de grupo", Geometry & Topology , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060, MR  2326947
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Banda Erster; Die gruppentheoretischen Grundlagen (en alemán), Leipzig: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM28.0334.01 ​
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (en alemán), Leipzig: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM32.0430.01 ​
• Harvey, William James (1978), "Grupos kleinianos (una encuesta)", Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77), Exp. No. 491 , Apuntes de conferencias sobre matemáticas, vol. 677, Springer, Berlín, págs. 30–45, doi :10.1007/BFb0070752, ISBN 978-3-540-08937-7, Sr.  0521758
• Kapovich, Michael (2009) [2001], Variedades hiperbólicas y grupos discretos , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi :10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, Sr.  1792613
• Klein, Felix (1883), "Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie", Mathematische Annalen , 21 (2): 141–218, doi :10.1007/BF01442920, ISSN  0025-5831, JFM  15.0351.01, S2CID  120465625
• Kra, Irwin (1972), Formas automórficas y grupos kleinianos, Mathematics Lecture Note Series, WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., ISBN 9780805323429, Sr.  0357775
• Krushkal, SL (2001) [1994], "Grupo kleiniano", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), La aritmética de las 3-variedades hiperbólicas, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 219, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , CiteSeerX  10.1.1.169.1318 , doi :10.1007/978-1-4757-6720-9, ISBN 978-0-387-98386-8, Sr.  1937957
• Maskit, Bernard (1988), Grupos kleinianos, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 287, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17746-3, Sr.  0959135
• Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko (1998), Variedades hiperbólicas y grupos kleinianos, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850062-9, Sr.  1638795
• Mumford, David ; Series, Caroline ; Wright, David (2002), Las perlas de Indra, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781107050051.024, ISBN 978-0-521-35253-6, Sr.  1913879
• Poincaré, Henri (1883), "Mémoire sur Les groupes kleinéens", Acta Mathematica , 3 : 49–92, doi : 10.1007/BF02422441 , ISSN  0001-5962, JFM  15.0348.02
• Serie, Caroline (2005), "Un curso intensivo sobre grupos kleinianos", Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste , 37 (1): 1–38, ISSN  0049-4704, MR  2227047, archivado desde el original en 2011-07-22
  • Thurston, William (1980), La geometría y topología de tres variedades, notas de clase de Princeton
• Thurston, William P. (1982), "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 6 (3): 357–381, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 , ISSN  0002-9904, MR  0648524

• Una imagen del conjunto límite de un grupo cuasi-fucsiano de (Fricke y Klein 1897, pág. 418).
• Imagen del conjunto límite de un grupo kleiniano de (Fricke & Klein 1897, p. 440). Esta fue una de las primeras imágenes de un conjunto límite. Dibujo por computadora del mismo conjunto límite
• Animaciones de conjuntos límite del grupo kleiniano
• Imágenes relacionadas con los grupos kleinianos de McMullen
• Weisstein, Eric W. "Grupo Kleiniano". MathWorld .