Función de Green

En matemáticas , una función de Green (o función de Green ) es la respuesta al impulso de un operador diferencial lineal no homogéneo definido en un dominio con condiciones iniciales o condiciones de contorno especificadas.

Esto significa que si es un operador diferencial lineal, entonces${\estilo de visualización L}$

• La función de Green es la solución de la ecuación , donde es la función delta de Dirac ;${\estilo de visualización G}$${\displaystyle LG=\delta}$${\estilo de visualización \delta}$
• La solución del problema de valor inicial es la convolución ( ).${\displaystyle Ly=f}$ ${\displaystyle G\ast f}$

A través del principio de superposición , dada una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal , primero se puede resolver , para cada s , y darse cuenta de que, dado que la fuente es una suma de funciones delta , la solución es también una suma de funciones de Green, por linealidad de L .${\displaystyle Ly=f}$${\displaystyle LG=\delta _{s}}$

Las funciones de Green reciben su nombre del matemático británico George Green , quien desarrolló el concepto por primera vez en la década de 1820. En el estudio moderno de ecuaciones diferenciales parciales lineales , las funciones de Green se estudian en gran medida desde el punto de vista de las soluciones fundamentales .

En la teoría de muchos cuerpos , el término también se utiliza en física , específicamente en la teoría cuántica de campos , aerodinámica , aeroacústica , electrodinámica , sismología y teoría estadística de campos , para referirse a varios tipos de funciones de correlación , incluso aquellas que no encajan en la definición matemática. En la teoría cuántica de campos, las funciones de Green toman el papel de propagadores .

Una función de Green, G ( x , s ) , de un operador diferencial lineal L = L ( x ) que actúa sobre distribuciones sobre un subconjunto del espacio euclidiano , en un punto s , es cualquier solución de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle L\,G(x,s)=\delta (sx)\,,}$$

( 1 )

donde δ es la función delta de Dirac . Esta propiedad de una función de Green se puede aprovechar para resolver ecuaciones diferenciales de la forma

$${\displaystyle L\,u(x)=f(x)\,.}$$

( 2 )

Si el núcleo de L no es trivial, entonces la función de Green no es única. Sin embargo, en la práctica, alguna combinación de simetría , condiciones de contorno y/u otros criterios impuestos externamente darán como resultado una función de Green única. Las funciones de Green pueden categorizarse, por el tipo de condiciones de contorno satisfechas, por un número de función de Green . Además, las funciones de Green en general son distribuciones , no necesariamente funciones de una variable real.

Las funciones de Green también son herramientas útiles para resolver ecuaciones de onda y ecuaciones de difusión . En mecánica cuántica , la función de Green del hamiltoniano es un concepto clave con vínculos importantes con el concepto de densidad de estados .

La función de Green, tal como se utiliza en física, suele definirse con el signo opuesto. Es decir, esta definición no cambia significativamente ninguna de las propiedades de la función de Green debido a la uniformidad de la función delta de Dirac.$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs)\,.}$$

Si el operador es invariante en la traducción , es decir, cuando tiene coeficientes constantes con respecto a x , entonces la función de Green puede tomarse como un núcleo de convolución , es decir, En este caso, la función de Green es la misma que la respuesta al impulso de la teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo .${\estilo de visualización L}$$${\displaystyle G(x,s)=G(xs)\,.}$$

En términos generales, si se puede encontrar una función G para el operador L , entonces, si multiplicamos la ecuación 1 para la función de Green por f ( s ) y luego integramos con respecto a s , obtenemos, Debido a que el operador es lineal y actúa solo sobre la variable x (y no sobre la variable de integración s ), se puede sacar al operador de la integración, obteniendo Esto significa que$${\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (xs)\,f(s)\,ds=f(x)\,.}$$${\displaystyle L=L(x)}$${\estilo de visualización L}$$${\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}$$

$${\displaystyle u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds}$$

( 3 )

es una solución a la ecuación${\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}$

De esta manera, se puede obtener la función u ( x ) a través del conocimiento de la función de Green en la ecuación 1 y el término fuente en el lado derecho de la ecuación 2. Este proceso se basa en la linealidad del operador L .

En otras palabras, la solución de la ecuación 2 , u ( x ) , se puede determinar mediante la integración dada en la ecuación 3. Aunque se conoce f ( x ) , esta integración no se puede realizar a menos que también se conozca G. El problema ahora radica en encontrar la función de Green G que satisface la ecuación 1. Por esta razón, la función de Green también se denomina a veces solución fundamental asociada al operador L.

No todos los operadores admiten una función de Green. Una función de Green también puede considerarse como una inversa derecha de L . Además de las dificultades para encontrar una función de Green para un operador en particular, la integral en la ecuación 3 puede ser bastante difícil de evaluar. Sin embargo, el método proporciona un resultado teóricamente exacto.${\estilo de visualización L}$

Esto puede considerarse como una expansión de f según una base de función delta de Dirac (proyectando f sobre ; y una superposición de la solución en cada proyección . Una ecuación integral de este tipo se conoce como ecuación integral de Fredholm , cuyo estudio constituye la teoría de Fredholm .${\displaystyle \delta(xs)}$

El uso principal de las funciones de Green en matemáticas es resolver problemas de valores en la frontera no homogéneos . En la física teórica moderna , las funciones de Green también se suelen utilizar como propagadores en los diagramas de Feynman ; el término función de Green se suele utilizar también para cualquier función de correlación .

Sea el operador de Sturm-Liouville , un operador diferencial lineal de la forma y sea el operador de condiciones de contorno con valores vectoriales${\estilo de visualización L}$$${\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$$${\displaystyle \mathbf {D}}$$${\displaystyle \mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.}$$

Sea una función continua en . Supongamos además que el problema es "regular", es decir, la única solución para para todo x es . ^[a]${\estilo de visualización f(x)}$${\displaystyle [0,\ell ]\,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle u(x)=0}$

Hay una y sólo una solución que satisface y está dada por donde es una función de Green que satisface las siguientes condiciones:${\displaystyle u(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$$${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,}$$${\displaystyle G(x,s)}$

1. ${\displaystyle G(x,s)}$es continua en y .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización s}$
2. Para , .${\displaystyle x\neq s\,}$   ${\displaystyle LG(x,s)=0}$
3. Para , .${\displaystyle s\neq 0\,}$   ${\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} }$
4. Derivada "saltar": .  ${\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,}$
5. Simetría: .  ${\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}$

La función de Green no es necesariamente única, ya que la adición de cualquier solución de la ecuación homogénea a una función de Green da como resultado otra función de Green. Por lo tanto, si la ecuación homogénea tiene soluciones no triviales, existen múltiples funciones de Green. En algunos casos, es posible encontrar una función de Green que no se anule solo para , que se denomina función de Green retardada, y otra función de Green que no se anule solo para , que se denomina función de Green avanzada. En tales casos, cualquier combinación lineal de las dos funciones de Green también es una función de Green válida. La terminología avanzada y retardada es especialmente útil cuando la variable x corresponde al tiempo. En tales casos, la solución proporcionada por el uso de la función de Green retardada depende solo de las fuentes pasadas y es causal , mientras que la solución proporcionada por el uso de la función de Green avanzada depende solo de las fuentes futuras y es acausal. En estos problemas, a menudo ocurre que la solución causal es la físicamente importante. El uso de la función de Green avanzada y retardada es especialmente común para el análisis de soluciones de la ecuación de onda electromagnética no homogénea .${\displaystyle s\leq x}$${\displaystyle s\geq x}$

Si bien no fija de manera única la forma que adoptará la función de Green, realizar un análisis dimensional para encontrar las unidades que debe tener una función de Green es una comprobación de cordura importante para cualquier función de Green encontrada por otros medios. Un examen rápido de la ecuación definitoria muestra que las unidades de dependen no solo de las unidades de sino también del número y las unidades del espacio del que son elementos los vectores de posición y . Esto conduce a la relación: donde se define como "las unidades físicas de " ^{[ se necesita más explicación ]} , y es el elemento de volumen del espacio (o espacio-tiempo ).$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs),}$$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización s}$$${\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},}$$${\estilo de visualización [[G]]}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización dx}$

Por ejemplo, si y el tiempo es la única variable entonces: Si , el operador d'Alembert , y el espacio tiene 3 dimensiones entonces:${\displaystyle L=\partial _{t}^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{time}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]],\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]].\end{aligned}}}$$${\displaystyle L=\square ={\tfrac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{length}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3},\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.\end{aligned}}}$$

Si un operador diferencial L admite un conjunto de vectores propios Ψ _n ( x ) (es decir, un conjunto de funciones Ψ _n y escalares λ _n tales que L Ψ _n = λ _n Ψ _n  ) que es completo, entonces es posible construir una función de Green a partir de estos vectores propios y valores propios .

"Completo" significa que el conjunto de funciones {Ψ _n } satisface la siguiente relación de completitud ,$${\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}$$

Entonces se cumple lo siguiente:

donde representa la conjugación compleja.${\displaystyle \dagger }$

La aplicación del operador L a cada lado de esta ecuación da como resultado la relación de completitud que se supuso.

El estudio general de la función de Green escrita en la forma anterior, y su relación con los espacios de funciones formados por los vectores propios, se conoce como teoría de Fredholm .

Existen otros métodos para encontrar funciones de Green, incluido el método de imágenes , el de separación de variables y las transformadas de Laplace . ^[1]

Si el operador diferencial se puede factorizar como entonces la función de Green de se puede construir a partir de las funciones de Green para y : La identidad anterior se sigue inmediatamente de tomar como la representación del operador derecho inverso de , análogo a cómo para el operador lineal invertible , definido por , se representa por sus elementos de matriz .${\displaystyle L}$${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$$${\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.}$$${\displaystyle G(x,s)}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$${\displaystyle C_{i,j}}$

Otra identidad sigue para los operadores diferenciales que son polinomios escalares de la derivada, . El teorema fundamental del álgebra , combinado con el hecho de que conmuta consigo mismo , garantiza que el polinomio se puede factorizar, poniendo en la forma: donde son los ceros de . Tomando la transformada de Fourier de con respecto a ambos y da: La fracción se puede dividir en una suma utilizando una descomposición en fracciones parciales antes de volver a la transformada de Fourier en el espacio y . Este proceso produce identidades que relacionan integrales de funciones de Green y sumas de las mismas. Por ejemplo, si entonces una forma para su función de Green es: Si bien el ejemplo presentado es manejable analíticamente, ilustra un proceso que funciona cuando la integral no es trivial (por ejemplo, cuando es el operador en el polinomio).${\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}$${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),}$$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle P_{N}(z)}$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \nabla ^{2}}$

La siguiente tabla ofrece una descripción general de las funciones de Green de los operadores diferenciales que aparecen con frecuencia, donde , , es la función escalonada de Heaviside , es una función de Bessel , es una función de Bessel modificada del primer tipo , y es una función de Bessel modificada del segundo tipo . ^[2] Cuando el tiempo ( t ) aparece en la primera columna, se incluye la función de Green retardada (causal).${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle \Theta (t)}$${\textstyle J_{\nu }(z)}$${\textstyle I_{\nu }(z)}$${\textstyle K_{\nu }(z)}$

Operador diferencial L	Función de Green G	Ejemplo de aplicación
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}$
${\displaystyle \partial _{t}+\gamma }$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)te^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$dónde${\displaystyle \gamma <\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}$   con   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$	Oscilador armónico subamortiguado 1D
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$dónde${\displaystyle \gamma >\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}}$   con   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$	Oscilador armónico sobreamortiguado 1D
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$dónde${\displaystyle \gamma =\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}t}$	Oscilador armónico críticamente amortiguado 1D
Operador de Laplace 1D${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle \left(x-s\right)\Theta (x-s)+x\alpha (s)+\beta (s)}$	Ecuación de Poisson 1D
Operador de Laplace 2D ${\displaystyle \nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho }$   con   ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	Ecuación de Poisson en 2D
Operador de Laplace 3D ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi r}}}$   con   ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$	Ecuación de Poisson
Operador de Helmholtz ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}H_{1/2}^{(2)}(kr)=i{\frac {k}{4\pi }}\,h_{0}^{(2)}(kr)}$   donde   es la función de Hankel de segundo tipo , y   es la función de Hankel esférica de segundo tipo${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}}$${\displaystyle h_{0}^{(2)}}$	Ecuación de Schrödinger estacionaria en 3D para partículas libres
Operador de divergencia${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right\|^{3}}}}$
${\displaystyle \nabla ^{2}-k^{2}}$En dimensiones${\displaystyle n}$	${\displaystyle -\left(2\pi \right)^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}$	Potencial de Yukawa , propagador de Feynman , ecuación de Poisson filtrada
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)}$	ecuación de onda 1D
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)}$	Ecuación de onda 2D
Operador D'Alembert ${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\delta (t-{r}/{c})}{4\pi r}}}$	Ecuación de onda 3D
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\Theta (t)e^{-x^{2}/4kt}}$	Difusión 1D
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\Theta (t)e^{-\rho ^{2}/4kt}}$	Difusión 2D
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\Theta (t)e^{-r^{2}/4kt}}$	Difusión 3D
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)\left(\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right)+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\right]}$   con   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	Ecuación de Klein-Gordon en 1D
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[\left(1+\cos(\mu ct)\right){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} (\mu u)\right]}$   con   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	Ecuación de Klein-Gordon en 2D
${\displaystyle \square +\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta {\left(t-{\frac {r}{c}}\right)}}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}{\left(\mu u\right)}}{u}}\right]}$   con   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	Ecuación de Klein-Gordon en 3D
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}\right)\right]}$   con   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	ecuación del telegrafista
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[\left(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t\right){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma u^{2}-3c^{2}t}{cu^{3}}}\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {3\gamma t}{u^{2}}}\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right]}$   con   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	Conducción de calor relativista 2D
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}\right)\right]}$   con   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	Conducción de calor relativista 3D

Las funciones de Green para operadores diferenciales lineales que involucran al laplaciano se pueden utilizar fácilmente utilizando la segunda de las identidades de Green .

Para derivar el teorema de Green, comencemos con el teorema de divergencia (también conocido como teorema de Gauss ),$${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}$$

Sea y sustituya en la ley de Gauss.${\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }$

Calcular y aplicar la regla del producto para el operador ∇,${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}$$

Conectando esto al teorema de divergencia se obtiene el teorema de Green ,$${\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}$$

Supongamos que el operador diferencial lineal L es el laplaciano , ∇ ² , y que existe una función de Green G para el laplaciano. La propiedad definitoria de la función de Green sigue siendo válida,$${\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}$$

Dejemos que entre la segunda identidad de Green, veamos las identidades de Green . Entonces,${\displaystyle \psi =G}$$${\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

Usando esta expresión, es posible resolver la ecuación de Laplace ∇ ² φ ( x ) = 0 o la ecuación de Poisson ∇ ² φ ( x ) = − ρ ( x ) , sujetas a condiciones de contorno de Neumann o de Dirichlet . En otras palabras, podemos resolver φ ( x ) en todas partes dentro de un volumen donde (1) el valor de φ ( x ) está especificado en la superficie límite del volumen (condiciones de contorno de Dirichlet), o (2) la derivada normal de φ ( x ) está especificada en la superficie límite (condiciones de contorno de Neumann).

Supongamos que el problema consiste en resolver φ ( x ) dentro de la región. Entonces la integral se reduce simplemente a φ ( x ) debido a la propiedad definitoria de la función delta de Dirac y tenemos$${\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '}$$$${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

Esta forma expresa la conocida propiedad de las funciones armónicas , que si se conoce el valor de la derivada normal en una superficie límite, entonces el valor de la función dentro del volumen se conoce en todas partes .

En electrostática , φ ( x ) se interpreta como el potencial eléctrico , ρ ( x ) como la densidad de carga eléctrica y la derivada normal como el componente normal del campo eléctrico.${\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}$

Si el problema consiste en resolver un problema de valor límite de Dirichlet, la función de Green debe elegirse de modo que G ( x , x ′) se anule cuando x o x′ se encuentren en la superficie límite. Por lo tanto, solo permanece uno de los dos términos en la integral de superficie . Si el problema consiste en resolver un problema de valor límite de Neumann, podría parecer lógico elegir la función de Green de modo que su derivada normal se anule en la superficie límite. Sin embargo, la aplicación del teorema de Gauss a la ecuación diferencial que define la función de Green da como resultado que la derivada normal de G ( x , x ′) no puede anularse en la superficie, porque debe integrarse a 1 en la superficie. ^[3]$${\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,}$$

La forma más simple que puede adoptar la derivada normal es la de una constante, es decir, 1/ S , donde S es el área de la superficie. El término de superficie en la solución se convierte en donde es el valor promedio del potencial en la superficie. Este número no se conoce en general, pero a menudo no es importante, ya que el objetivo suele ser obtener el campo eléctrico dado por el gradiente del potencial, en lugar del potencial en sí.$${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}}$$${\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}$

Sin condiciones de contorno, la función de Green para el laplaciano ( función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables ) es$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}$$

Suponiendo que la superficie límite se extiende hasta el infinito y conectando esta expresión para la función de Green finalmente se obtiene la expresión estándar para el potencial eléctrico en términos de densidad de carga eléctrica como

Encuentra la función de Green para el siguiente problema, cuyo número de función de Green es X11:$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}}$$

Primer paso: La función de Green para el operador lineal en cuestión se define como la solución de

$${\displaystyle G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta (x-s).}$$

(Ec. * )

Si , entonces la función delta da cero y la solución general es${\displaystyle x\neq s}$$${\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}$$

Para , la condición de contorno en implica si y .${\displaystyle x<s}$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}$$${\displaystyle x<s}$${\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}$

Para , la condición de contorno en implica${\displaystyle x>s}$${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}$$${\displaystyle G\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$$

La ecuación de se omite por razones similares.${\displaystyle G(0,s)=0}$

Para resumir los resultados hasta ahora:$${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}$$

Segundo paso: La siguiente tarea es determinar y .${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$

Garantizar la continuidad de la función de los Verdes implica${\displaystyle x=s}$$${\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}$$

Se puede asegurar la discontinuidad adecuada en la primera derivada integrando la ecuación diferencial definitoria (es decir, Ec. * ) de a y tomando el límite cuando tiende a cero. Nótese que solo integramos la segunda derivada ya que el término restante será continuo por construcción.${\displaystyle x=s-\varepsilon }$${\displaystyle x=s+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}$$

Las dos ecuaciones de (dis)continuidad se pueden resolver para y para obtener${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$$${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}$$

Entonces la función de Green para este problema es:$${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}$$

• Sea n = 1 y el subconjunto sea todo R . Sea L . Entonces, la función escalón de Heaviside Θ( x − x ₀ ) es una función de Green de L en x ₀ .${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$
• Sea n = 2 y sea el subconjunto el cuarto de plano {( x , y ) : x , y ≥ 0} y L el laplaciano . Además, supongamos que se impone una condición de contorno de Dirichlet en x = 0 y una condición de contorno de Neumann en y = 0 . Entonces la función de Green X10Y20 es$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}$$
• Sean , y los tres elementos de los números reales. Entonces, para cualquier función con una derivada -ésima que sea integrable en el intervalo : La función de Green en la ecuación anterior, , no es única. ¿Cómo se modifica la ecuación si se suma a , donde satisface para todos (por ejemplo, con )? Además, compare la ecuación anterior con la forma de una serie de Taylor centrada en .${\displaystyle a<x<b}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}$$${\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}$${\displaystyle g(x-s)}$${\displaystyle G(x,s)}$${\displaystyle g(x)}$${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$${\displaystyle x\in [a,b]}$${\displaystyle g(x)=-x/2}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle x=a}$

• "Función Green", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Función de Green". MathWorld .
• Función de Green para operador diferencial en PlanetMath .
• Función de Green en PlanetMath .
• Funciones verdes y mapeo conforme en PlanetMath .
• Introducción a la técnica de la función de Green en el desequilibrio de Keldysh por AP Jauho
• Biblioteca de funciones de Green
• Tutorial sobre las funciones de Green
• Método de elementos de contorno (para obtener una idea de cómo se pueden utilizar las funciones de Green con el método de elementos de contorno para resolver problemas potenciales numéricamente) Archivado el 7 de febrero de 2012 en Wayback Machine.
• En Citizendium
• Videoconferencia del MIT sobre la función de Green
• Bowley, Roger. "George Green y las funciones de Green". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .