Gasolina Bose

Física de la materia condensada
Fases Transición de fase PCC
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Un gas ideal de Bose es una fase cuántico-mecánica de la materia , análoga a un gas ideal clásico . Está compuesto de bosones , que tienen un valor entero de espín y se rigen por la estadística de Bose-Einstein . La mecánica estadística de los bosones fue desarrollada por Satyendra Nath Bose para un gas de fotones y extendida a partículas masivas por Albert Einstein , quien se dio cuenta de que un gas ideal de bosones formaría un condensado a una temperatura suficientemente baja, a diferencia de un gas ideal clásico. Este condensado se conoce como condensado de Bose-Einstein .

Los bosones son partículas mecánicas cuánticas que siguen la estadística de Bose-Einstein o, equivalentemente, que poseen espín entero . Estas partículas pueden clasificarse como elementales: son el bosón de Higgs , el fotón , el gluón , el W/Z y el hipotético gravitón ; o compuestas como el átomo de hidrógeno , el átomo de ¹⁶ O , el núcleo de deuterio , los mesones , etc. Además, algunas cuasipartículas en sistemas más complejos también pueden considerarse bosones como los plasmones (cuantos de ondas de densidad de carga ).

El primer modelo que trató un gas con varios bosones fue el gas de fotones , un gas de fotones, desarrollado por Bose . Este modelo conduce a una mejor comprensión de la ley de Planck y la radiación del cuerpo negro . El gas de fotones se puede expandir fácilmente a cualquier tipo de conjunto de bosones sin masa que no interactúan. El gas de fonones , también conocido como modelo de Debye , es un ejemplo en el que los modos normales de vibración de la red cristalina de un metal pueden tratarse como bosones sin masa efectivos. Peter Debye utilizó el modelo del gas de fonones para explicar el comportamiento de la capacidad calorífica de los metales a baja temperatura.

Un ejemplo interesante de un gas de Bose es un conjunto de átomos de helio-4 . Cuando un sistema de ⁴ átomos de He se enfría a una temperatura cercana al cero absoluto , se presentan muchos efectos mecánicos cuánticos. Por debajo de 2,17  K , el conjunto comienza a comportarse como un superfluido , un fluido con una viscosidad casi nula . El gas de Bose es el modelo cuantitativo más simple que explica esta transición de fase . Principalmente cuando un gas de bosones se enfría, forma un condensado de Bose-Einstein , un estado donde una gran cantidad de bosones ocupan la energía más baja, el estado fundamental , y los efectos cuánticos son visibles macroscópicamente como la interferencia de ondas .

La teoría de los condensados ​​de Bose-Einstein y de los gases de Bose también puede explicar algunas características de la superconductividad , en las que los portadores de carga se acoplan en pares ( pares de Cooper ) y se comportan como bosones. Como resultado, los superconductores se comportan como si no tuvieran resistividad eléctrica a bajas temperaturas.

El modelo equivalente para partículas semienteras (como electrones o átomos de helio-3 ), que siguen la estadística de Fermi-Dirac , se llama gas de Fermi (un conjunto de fermiones que no interactúan ). A una densidad numérica de partículas suficientemente baja y una temperatura alta, tanto el gas de Fermi como el gas de Bose se comportan como un gas ideal clásico . ^[1]

La termodinámica de un gas ideal de Bose se calcula mejor utilizando el conjunto gran canónico . El gran potencial de un gas de Bose viene dado por:

${\displaystyle \Omega =-\ln({\mathcal {Z}})=\sum _{i}g_{i}\ln \left(1-ze^{-\beta \epsilon _{i}}\right).}$

donde cada término de la suma corresponde a un nivel de energía particular de una sola partícula ε _i ; g _i es el número de estados con energía ε _i ; z es la actividad absoluta (o "fugacidad"), que también puede expresarse en términos del potencial químico μ definiendo:

${\displaystyle z(\beta ,\mu )=e^{\beta \mu }}$

y β se define como:

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$

donde k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura . Todas las magnitudes termodinámicas pueden derivarse del gran potencial y consideraremos que todas las magnitudes termodinámicas son funciones de solo las tres variables z , β (o T ) y V . Todas las derivadas parciales se toman con respecto a una de estas tres variables mientras que las otras dos se mantienen constantes.

El rango permisible de z es desde menos infinito a +1, ya que cualquier valor más allá de esto daría un número infinito de partículas a estados con un nivel de energía de 0 (se supone que los niveles de energía se han compensado para que el nivel de energía más bajo sea 0).

Siguiendo el procedimiento descrito en el artículo sobre el gas en una caja , podemos aplicar la aproximación de Thomas-Fermi , que supone que la energía media es grande en comparación con la diferencia de energía entre niveles, de modo que la suma anterior puede sustituirse por una integral. Este reemplazo da como resultado la función de gran potencial macroscópica , que es cercana a :${\displaystyle \Omega _{m}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{\rm {m}}=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg\approx \Omega .}$

La degeneración dg puede expresarse para muchas situaciones diferentes mediante la fórmula general:

${\displaystyle dg={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\,{\frac {E^{\,\alpha -1}}{E_{\rm {c}}^{\alpha }}}~dE}$

donde α es una constante, E _c es una energía crítica y Γ es la función gamma . Por ejemplo, para un gas Bose masivo en una caja, α = 3/2 y la energía crítica viene dada por:

${\displaystyle {\frac {1}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}}={\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}}$

donde Λ es la longitud de onda térmica , ^{[ aclaración necesaria ]} y f es un factor de degeneración ( f = 1 para bosones sin espín simples). Para un gas Bose masivo en una trampa armónica tendremos α = 3 y la energía crítica viene dada por:

${\displaystyle {\frac {1}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}}$

donde V ( r ) = mω ² r ² /2 es el potencial armónico. Se observa que E _c es una función únicamente del volumen.

Esta expresión integral para el gran potencial se evalúa como:

${\displaystyle \Omega _{\rm {m}}=-{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\left(\beta E_{\text{c}}\right)^{\alpha }}},}$

donde Li _s ( x ) es la función polilogarítmica .

El problema con esta aproximación continua para un gas de Bose es que se ha ignorado el estado fundamental, lo que da una degeneración de cero para energía cero. Esta inexactitud se torna grave cuando se trabaja con el condensado de Bose-Einstein y se abordará en las próximas secciones. Como se verá, incluso a bajas temperaturas el resultado anterior sigue siendo útil para describir con precisión la termodinámica de solo la porción no condensada del gas.

El número total de partículas se obtiene a partir del gran potencial mediante

${\displaystyle N_{\rm {m}}=-z{\frac {\partial \Omega _{m}}{\partial z}}={\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}.}$

Esta aumenta de forma monótona con z (hasta el máximo z = +1). Sin embargo, el comportamiento al acercarse a z = 1 depende fundamentalmente del valor de α (es decir, depende de si el gas es unidimensional, bidimensional o tridimensional, o si se encuentra en un pozo de potencial plano o armónico).

Para α > 1 , el número de partículas solo aumenta hasta un valor máximo finito, es decir, N _m es finito en z = 1 :

${\displaystyle N_{\rm {m,max}}={\frac {\zeta (\alpha )}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}},}$

donde ζ ( α ) es la función zeta de Riemann (usando Li _α ( 1 ) = ζ ( α ) ). Por lo tanto, para un número fijo de partículas N _m , el mayor valor posible que β puede tener es un valor crítico β _c . Esto corresponde a una temperatura crítica T _c = 1/ k _B β _c , por debajo de la cual la aproximación de Thomas-Fermi se rompe (el continuo de estados simplemente ya no puede soportar esta cantidad de partículas, a temperaturas más bajas). La ecuación anterior se puede resolver para la temperatura crítica:

${\displaystyle T_{\rm {c}}=\left({\frac {N}{\zeta (\alpha )}}\right)^{1/\alpha }{\frac {E_{\rm {c}}}{k_{\rm {B}}}}}$

Por ejemplo, para el gas Bose tridimensional en una caja ( y utilizando el valor de E _c indicado anteriormente ) obtenemos:${\displaystyle \alpha =3/2}$

${\displaystyle T_{\rm {c}}=\left({\frac {N}{Vf\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{\rm {B}}}}}$

Para α ≤ 1 , no hay límite superior en el número de partículas ( N _m diverge cuando z se acerca a 1) y, por lo tanto, por ejemplo, para un gas en una caja unidimensional o bidimensional ( α = 1/2 y α = 1 respectivamente) no hay temperatura crítica.

El problema anterior plantea la pregunta para α > 1 : si un gas de Bose con un número fijo de partículas se reduce por debajo de la temperatura crítica, ¿qué sucede? El problema aquí es que la aproximación de Thomas-Fermi ha fijado la degeneración del estado fundamental en cero, lo cual es incorrecto. No hay un estado fundamental que acepte el condensado y, por lo tanto, las partículas simplemente "desaparecen" del continuo de estados. Sin embargo, resulta que la ecuación macroscópica proporciona una estimación precisa del número de partículas en los estados excitados, y no es una mala aproximación simplemente "agregar" un término de estado fundamental para aceptar las partículas que se salen del continuo:

${\displaystyle N=N_{0}+N_{\rm {m}}=N_{0}+{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}}}$

donde N ₀ es el número de partículas en el condensado del estado fundamental.

Así, en el límite macroscópico, cuando T < T _c , el valor de z se mantiene en 1 y N ₀ ocupa el resto de partículas. Para T > T _c existe el comportamiento normal, con N ₀ = 0 . Este enfoque da la fracción de partículas condensadas en el límite macroscópico:

${\displaystyle {\frac {N_{0}}{N}}={\begin{cases}1-\left({\frac {T}{T_{\rm {c}}}}\right)^{\alpha }&{\mbox{if }}\alpha >1{\mbox{ and }}T<T_{\rm {c}},\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

El tratamiento estándar anterior de un gas de Bose macroscópico es sencillo, pero la inclusión del estado fundamental es algo poco elegante. Otro enfoque es incluir el estado fundamental explícitamente (contribuyendo con un término en el gran potencial, como en la sección siguiente), esto da lugar a una catástrofe de fluctuación poco realista: el número de partículas en cualquier estado dado sigue una distribución geométrica , lo que significa que cuando la condensación ocurre en T < T _c y la mayoría de las partículas están en un estado, hay una gran incertidumbre en el número total de partículas. Esto está relacionado con el hecho de que la compresibilidad se vuelve ilimitada para T < T _c . En cambio, los cálculos se pueden realizar en el conjunto canónico , que fija el número total de partículas, sin embargo, los cálculos no son tan fáciles. ^[2]

En la práctica, sin embargo, el fallo teórico mencionado anteriormente es un problema menor, ya que el supuesto más irreal es el de la no interacción entre bosones. Las realizaciones experimentales de gases de bosones siempre tienen interacciones significativas, es decir, son gases no ideales. Las interacciones cambian significativamente la física de cómo se comporta un condensado de bosones: el estado fundamental se expande, el potencial químico se satura a un valor positivo incluso a temperatura cero y el problema de fluctuación desaparece (la compresibilidad se vuelve finita). ^[3] Véase el artículo Condensado de Bose-Einstein.

Para sistemas mesoscópicos más pequeños (por ejemplo, con sólo miles de partículas), el término del estado fundamental se puede aproximar de forma más explícita agregando un nivel discreto real en la energía ε = 0 en el gran potencial:

${\displaystyle \Omega =g_{0}\ln(1-z)+\Omega _{\rm {m}}}$

lo que da en cambio N ₀ = ⁠g ₀ z/1 − z⁠ . Ahora bien, el comportamiento es suave al cruzar la temperatura crítica, y z se aproxima mucho a 1 pero no lo alcanza.

Ahora se puede resolver esto hasta el cero absoluto de temperatura. La figura 1 muestra los resultados de la solución de esta ecuación para α = 3/2 , con k = ε _c = 1 , que corresponde a un gas de bosones en una caja . La línea negra continua es la fracción de estados excitados 1 − N ₀ / N para N =10 000 y la línea negra punteada es la solución para N = 1000. Las líneas azules son la fracción de partículas condensadas N ₀ / N. Las líneas rojas representan los valores del negativo del potencial químico μ y las líneas verdes representan los valores correspondientes de z . El eje horizontal es la temperatura normalizada τ definida por

${\displaystyle \tau ={\frac {T}{T_{\rm {c}}}}}$

Se puede observar que cada uno de estos parámetros se vuelve lineal en τ ^α en el límite de baja temperatura y, a excepción del potencial químico, lineal en 1/ τ ^α en el límite de alta temperatura. A medida que aumenta el número de partículas, las fracciones condensadas y excitadas tienden hacia una discontinuidad en la temperatura crítica.

La ecuación para el número de partículas se puede escribir en términos de la temperatura normalizada como:

${\displaystyle N={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}+N~{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{\zeta (\alpha )}}~\tau ^{\alpha }}$

Para una N dada y τ , esta ecuación se puede resolver para τ ^α y luego se puede encontrar una solución en serie para z mediante el método de inversión de series, ya sea en potencias de τ ^α o como una expansión asintótica en potencias inversas de τ ^α . A partir de estas expansiones, podemos encontrar el comportamiento del gas cerca de T = 0 y en la ecuación de Maxwell-Boltzmann cuando T tiende al infinito. En particular, nos interesa el límite cuando N tiende al infinito, que se puede determinar fácilmente a partir de estas expansiones.

Sin embargo, este enfoque para modelar sistemas pequeños puede ser poco realista, ya que la varianza en el número de partículas en el estado fundamental es muy grande, igual al número de partículas. En cambio, la varianza del número de partículas en un gas normal es solo la raíz cuadrada del número de partículas, por lo que normalmente se puede ignorar. Esta alta varianza se debe a la elección de utilizar el conjunto gran canónico para todo el sistema, incluido el estado condensado. ^[4]

Ampliado, el gran potencial es:

${\displaystyle \Omega =g_{0}\ln(1-z)-{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\left(\beta E_{\rm {c}}\right)^{\alpha }}}}$

Todas las propiedades termodinámicas pueden calcularse a partir de este potencial. La siguiente tabla enumera varias magnitudes termodinámicas calculadas en el límite de baja temperatura y alta temperatura, y en el límite de un número infinito de partículas. Un signo igual (=) indica un resultado exacto, mientras que un símbolo de aproximación indica que solo se muestran los primeros términos de una serie.${\displaystyle \tau ^{\alpha }}$

Cantidad	General	${\displaystyle T\ll T_{c}\,}$	${\displaystyle T\gg T_{c}\,}$
${\displaystyle z}$		${\displaystyle \approx {\frac {\zeta (\alpha )}{\tau ^{\alpha }}}-{\frac {\zeta ^{2}(\alpha )}{2^{\alpha }\tau ^{2\alpha }}}}$	${\displaystyle =1\,}$
Fracción de vapor ${\displaystyle 1-{\frac {N_{0}}{N}}\,}$	${\displaystyle ={\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{\zeta (\alpha )}}\,\tau ^{\alpha }}$	${\displaystyle =\tau ^{\alpha }\,}$	${\displaystyle =1\,}$
Ecuación de estado ${\displaystyle {\frac {PV\beta }{N}}=-{\frac {\Omega }{N}}\,}$	${\displaystyle ={\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha \!+\!1}(z)}{\zeta (\alpha )}}\,\tau ^{\alpha }}$	${\displaystyle ={\frac {\zeta (\alpha \!+\!1)}{\zeta (\alpha )}}\,\tau ^{\alpha }}$	${\displaystyle \approx 1-{\frac {\zeta (\alpha )}{2^{\alpha \!+\!1}\tau ^{\alpha }}}}$
Energía libre de Gibbs ${\displaystyle G=\ln(z)\,}$	${\displaystyle =\ln(z)\,}$	${\displaystyle =0\,}$	${\displaystyle \approx \ln \left({\frac {\zeta (\alpha )}{\tau ^{\alpha }}}\right)-{\frac {\zeta (\alpha )}{2^{\alpha }\tau ^{\alpha }}}}$

Se observa que todas las magnitudes se aproximan a los valores de un gas ideal clásico en el límite de temperatura elevada. Los valores anteriores se pueden utilizar para calcular otras magnitudes termodinámicas. Por ejemplo, la relación entre la energía interna y el producto de la presión y el volumen es la misma que para un gas ideal clásico a todas las temperaturas:

${\displaystyle U={\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}=\alpha PV}$

Una situación similar se aplica al calor específico a volumen constante.

${\displaystyle C_{V}={\frac {\partial U}{\partial T}}=k_{\rm {B}}(\alpha +1)\,U\beta }$

La entropía viene dada por:

${\displaystyle TS=U+PV-G\,}$

Nótese que en el límite de alta temperatura, tenemos

${\displaystyle TS=(\alpha +1)+\ln \left({\frac {\tau ^{\alpha }}{\zeta (\alpha )}}\right)}$

que, para α = 3/2 es simplemente una reformulación de la ecuación de Sackur-Tetrode . En una dimensión, los bosones con interacción delta se comportan como fermiones, obedecen el principio de exclusión de Pauli . En una dimensión, el gas de Bose con interacción delta se puede resolver exactamente mediante el ansatz de Bethe . La energía libre en masa y los potenciales termodinámicos fueron calculados por Chen-Ning Yang . En el caso unidimensional, también se evaluaron las funciones de correlación. ^[5] En una dimensión, el gas de Bose es equivalente a la ecuación cuántica no lineal de Schrödinger .

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