Polilogaritmo

En matemáticas , el polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière , por Alfred Jonquière) es una función especial Li _s ( z ) de orden s y argumento z . Solo para valores especiales de s el polilogaritmo se reduce a una función elemental como el logaritmo natural o una función racional . En estadística cuántica , la función polilogaritmo aparece como la forma cerrada de las integrales de la distribución de Fermi-Dirac y la distribución de Bose-Einstein , y también se conoce como integral de Fermi-Dirac o integral de Bose-Einstein . En electrodinámica cuántica , los polilogaritmos de orden entero positivo surgen en el cálculo de procesos representados por diagramas de Feynman de orden superior .

La función polilogarítmica es equivalente a la función zeta de Hurwitz (cualquier función puede expresarse en términos de la otra) y ambas funciones son casos especiales de la función trascendente de Lerch . Los polilogaritmos no deben confundirse con las funciones polilogarítmicas ni con la integral logarítmica desplazada Li( z ) , que tiene la misma notación sin el subíndice.

• Diferentes funciones polilogarítmicas en el plano complejo
• 
  Li  _-3 ( z )
• 
  Li  _–2 ( z )
• 
  Li  _–1 ( z )
• 
  Li ₀ ( z )
• 
  Li ₁ ( z )
• 
  Li ₂ ( z )
• 
  Li ₃ ( z )

La función polilogaritmo está definida por una serie de potencias en z , que también es una serie de Dirichlet en s :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2 } \sobre 2^{s}}+{z^{3} \sobre 3^{s}}+\cdots }$$

Esta definición es válida para cualquier orden complejo s y para todos los argumentos complejos z con | z | < 1 ; puede extenderse a | z | ≥ 1 mediante el proceso de continuación analítica . (Aquí el denominador k ^s se entiende como exp( s ln k ) ). El caso especial s = 1 implica el logaritmo natural ordinario , Li ₁ ( z ) = −ln(1− z ) , mientras que los casos especiales s = 2 y s = 3 se denominan dilogaritmo (también conocido como función de Spence) y trilogaritmo respectivamente. El nombre de la función proviene del hecho de que también puede definirse como la integral repetida de sí misma: así, el dilogaritmo es una integral de una función que implica al logaritmo, y así sucesivamente. Para órdenes enteros no positivos s , el polilogaritmo es una función racional .$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt}$$

En el caso en que el orden sea un entero, se representará por (o cuando sea negativo). A menudo es conveniente definir dónde es la rama principal del logaritmo complejo de modo que Además, se supondrá que toda exponenciación es univaluada:${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización s=n}$${\displaystyle s=-n}$${\displaystyle \mu =\ln(z)}$${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$${\displaystyle -\pi <\operatorname {Estoy} (\mu )\leq \pi .}$${\displaystyle z^{s}=\exp(s\ln(z)).}$

Dependiendo del orden , el polilogaritmo puede tener múltiples valores. La rama principal de se toma como dada por la definición de serie anterior y se toma como continua excepto en el eje real positivo, donde se hace un corte desde a tal que el eje se coloca en el semiplano inferior de . En términos de , esto equivale a . La discontinuidad del polilogaritmo en función de a veces puede ser confusa.${\estilo de visualización s}$${\displaystyle \operatorname {Li} _ {s}(z)}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle z=1}$${\estilo de visualización\infty}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle -\pi <\arg(-\mu )\leq \pi }$${\estilo de visualización \mu}$

Para un argumento real , el polilogaritmo de orden real es real si , y su parte imaginaria para es (Wood 1992, §3):${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización z<1}$${\displaystyle z\geq 1}$

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z)\right)=-{{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

Cruzando el corte, si ε es un número real positivo infinitesimalmente pequeño, entonces:

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z+i\epsilon )\right)={{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

Ambas pueden concluirse a partir de la expansión en serie (ver más abajo) de Li _s ( e ^μ ) alrededor de μ = 0.

Las derivadas del polilogaritmo se derivan de la serie de potencias que la define:

$${\displaystyle z{\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(z)}{\partial z}}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })}{\partial \mu }}=\operatorname {Li} _{s-1}(e^{ \mu }).}$$

La relación cuadrática se ve en la definición de la serie y está relacionada con la fórmula de duplicación (véase también Clunie (1954), Schrödinger (1952)):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-z)+\operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{ 2}).}$$

La función de Kummer obedece a una fórmula de duplicación muy similar. Se trata de un caso especial de la fórmula de multiplicación para cualquier entero positivo p :

$${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{2\pi im/p})=p^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{p}),}$$

lo cual puede demostrarse utilizando la definición de serie del polilogaritmo y la ortogonalidad de los términos exponenciales (véase, por ejemplo, la transformada de Fourier discreta ).

Otra propiedad importante, la fórmula de inversión, involucra la función zeta de Hurwitz o los polinomios de Bernoulli y se encuentra en relación con otras funciones a continuación.

En casos particulares, el polilogaritmo puede expresarse en términos de otras funciones (véase más adelante). Por lo tanto, los valores particulares del polilogaritmo también pueden encontrarse como valores particulares de estas otras funciones.

1. Para valores enteros del orden polilogarítmico, las siguientes expresiones explícitas se obtienen mediante la aplicación repetida de z ·∂/∂ z a Li ₁ ( z ): En consecuencia, el polilogaritmo se reduce a una relación de polinomios en z , y por lo tanto es una función racional de z , para todos los órdenes enteros no positivos. El caso general puede expresarse como una suma finita: donde S ( n , k ) son los números de Stirling de segunda especie . Las fórmulas equivalentes aplicables a los órdenes enteros negativos son (Wood 1992, § 6): y: donde son los números eulerianos . Todas las raíces de Li _{− n} ( z ) son distintas y reales; incluyen z = 0, mientras que el resto es negativo y está centrado en z = −1 en una escala logarítmica. A medida que n se hace grande, la evaluación numérica de estas expresiones racionales sufre cada vez más de cancelación (Wood 1992, § 6); Sin embargo, se puede obtener una precisión total calculando Li _{− n} ( z ) a través de la relación general con la función zeta de Hurwitz (ver a continuación).$${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over (1-z)^{3}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\parcial \sobre \parcial z}\right)^{n}{z \sobre {1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({z \sobre {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots ),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \sobre (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \encima de k}\right\rangle z^{nk}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$${\displaystyle \scriptstyle \left\langle {n \encima de k}\right\rangle }$
2. Algunas expresiones particulares para valores semienteros del argumento z son: donde ζ es la función zeta de Riemann . No se conocen fórmulas de este tipo para órdenes enteros superiores (Lewin 1991, p. 2), pero se tiene, por ejemplo (Borwein, Borwein y Girgensohn 1995): que implica la doble suma alternada En general, se tiene para órdenes enteros n ≥ 2 (Broadhurst 1996, p. 9): donde ζ ( s ₁ , …, s _k ) es la función zeta múltiple ; por ejemplo:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2 }}(\ln 2)^{2}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1 }{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\zeta (3),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24 }}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),}$$$${\displaystyle \zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})=\sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2}),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1).}$$
3. Como consecuencia directa de la definición de la serie, los valores del polilogaritmo en las raíces complejas p ésimas de la unidad están dados por la suma de Fourier : donde ζ es la función zeta de Hurwitz . Para Re( s ) > 1, donde Li _s (1) es finito, la relación también se cumple con m = 0 o m = p . Si bien esta fórmula no es tan simple como la implicada por la relación más general con la función zeta de Hurwitz enumerada en la relación con otras funciones a continuación, tiene la ventaja de aplicarse también a valores enteros no negativos de s . Como es habitual, la relación puede invertirse para expresar ζ( s , ^m ⁄ _p ) para cualquier m = 1, …, p como una suma de Fourier de Li _s (exp(2 πi ^k ⁄ _p )) sobre k = 1, …, p .$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1),}$$

• Para z = 1 , el polilogaritmo se reduce a la función zeta de Riemann $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$
• El polilogaritmo está relacionado con la función eta de Dirichlet y la función beta de Dirichlet : donde η ( s ) es la función eta de Dirichlet. Para argumentos imaginarios puros, tenemos: donde β ( s ) es la función beta de Dirichlet.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s),}$$
• El polilogaritmo está relacionado con la integral completa de Fermi-Dirac como:$${\displaystyle F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).}$$
• El polilogaritmo está relacionado con la integral completa de Bose - Einstein como:$${\displaystyle G_{s}(\mu )=\operatorname {Li} _{s+1}(e^{\mu }).}$$
• El polilogaritmo es un caso especial de la función polilogaritmo incompleto.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).}$$
• El polilogaritmo es un caso especial de la trascendente de Lerch (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-14)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$$
• El polilogaritmo está relacionado con la función zeta de Hurwitz por: relación que, sin embargo, se invalida en el entero positivo s por los polos de la función gamma Γ(1 − s ) , y en s = 0 por un polo de ambas funciones zeta; una derivación de esta fórmula se da bajo representaciones en serie a continuación. Con un poco de ayuda de una ecuación funcional para la función zeta de Hurwitz, el polilogaritmo también está relacionado con esa función por medio de (Jonquière 1889): relación que se cumple para 0 ≤ Re( x ) < 1 si Im( x ) ≥ 0 , y para 0 < Re( x ) ≤ 1 si Im( x ) < 0 . Equivalentemente, para todo complejo s y para el complejo z ∉ (0, 1] , la fórmula de inversión se lee y para todo complejo s y para el complejo z ∉ (1, ∞) Para z ∉ (0, ∞) , uno tiene ln(− z ) = −ln(− ¹ ⁄ _z ) , y ambas expresiones concuerdan. Estas relaciones proporcionan la continuación analítica del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia | z | = 1 de la serie de potencias definitoria. (La ecuación correspondiente de Jonquière (1889, eq. 5) y Erdélyi et al. (1981, § 1.11-16) no es correcta si uno supone que las ramas principales del polilogaritmo y el logaritmo se utilizan simultáneamente.) Véase el siguiente elemento para una fórmula simplificada cuando s es un entero.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$$ $${\displaystyle i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix})+i^{s}\operatorname {Li} _{s}(e^{-2\pi ix})={\frac {(2\pi )^{s}}{\Gamma (s)}}\zeta (1-s,x),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={\frac {(2\pi i)^{s}}{\Gamma (s)}}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).}$$
• Para polilogaritmos enteros positivos de órdenes s , la función zeta de Hurwitz ζ(1− s , x ) se reduce a polinomios de Bernoulli , ζ(1− n , x ) = −B _n ( x ) / n , y la fórmula de inversión de Jonquière para n = 1, 2, 3, … se convierte en: donde nuevamente 0 ≤ Re( x ) < 1 si Im( x ) ≥ 0, y 0 < Re( x ) ≤ 1 si Im( x ) < 0. Al restringir el argumento del polilogaritmo al círculo unitario, Im( x ) = 0, el lado izquierdo de esta fórmula se simplifica a 2 Re(Li _n ( e ^{2 πix} )) si n es par, y a 2 i Im(Li _n ( e ^{2 πix} )) si n es impar. Por otra parte, para órdenes enteros negativos, la divergencia de Γ( s ) implica para todo z que (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-17): De manera más general, se tiene para n = 0, ±1, ±2, ±3, … : donde ambas expresiones concuerdan para z ∉ (0, ∞) . (La ecuación correspondiente de Jonquière (1889, eq. 1) y Erdélyi et al. (1981, § 1.11-18) tampoco es correcta.)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}B_{n}(x),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ]0;1]),\\\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ~]1;\infty [),\end{aligned}}}$$
• El polilogaritmo con μ imaginario puro puede expresarse en términos de las funciones de Clausen Ci _s (θ) y Si _s (θ), y viceversa (Lewin 1958, Cap. VII § 1.4; Abramowitz & Stegun 1972, § 27.8):$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta ).}$$
• La integral tangente inversa Ti _s ( z ) (Lewin 1958, Cap. VII § 1.2) se puede expresar en términos de polilogaritmos: La relación en particular implica: lo que explica el nombre de la función.$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$$$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,}$$
• La función chi de Legendre χ _s ( z ) (Lewin 1958, Ch. VII § 1.1; Boersma & Dempsey 1992) se puede expresar en términos de polilogaritmos:$${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$$
• El polilogaritmo de orden entero se puede expresar como una función hipergeométrica generalizada :$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)&=z_{n+1}F_{n}(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)&(n=0,1,2,\ldots ),\\\operatorname {Li} _{-n}(z)&=z_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)&(n=1,2,3,\ldots )~.\end{aligned}}}$$
• En términos de las funciones zeta incompletas o " funciones de Debye " (Abramowitz y Stegun 1972, § 27.1): el polilogaritmo Li _n ( z ) para el entero positivo n puede expresarse como la suma finita (Wood 1992, §16): Una expresión notablemente similar relaciona las "funciones de Debye" Z _n ( z ) con el polilogaritmo:$${\displaystyle Z_{n}(z)={1 \over (n-1)!}\int _{z}^{\infty }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$$${\displaystyle Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$
• Usando la serie de Lambert , si es la función totiente de Jordan , entonces${\displaystyle J_{s}(n)}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}J_{-s}(n)}{1-z^{n}}}=\operatorname {Li} _{s}(z).}$$

Cualquiera de las siguientes representaciones integrales proporciona la continuación analítica del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia | z | = 1 de la serie de potencias definitoria.

1. El polilogaritmo puede expresarse en términos de la integral de la distribución de Bose-Einstein : Esta converge para Re( s ) > 0 y todos los z excepto z real y ≥ 1. El polilogaritmo en este contexto a veces se denomina integral de Bose, pero más comúnmente como integral de Bose-Einstein (Dingle 1957a, Dingle, Arndt y Roy 1957). ^{[nota 1]} De manera similar, el polilogaritmo puede expresarse en términos de la integral de la distribución de Fermi-Dirac : Esta converge para Re( s ) > 0 y todos los z excepto z real y ≤ −1. El polilogaritmo en este contexto a veces se denomina integral de Fermi o integral de Fermi-Dirac (GSL 2010, Dingle 1957b). Estas representaciones se verifican fácilmente mediante la expansión de Taylor del integrando con respecto a z y la integración término por término. Los artículos de Dingle contienen investigaciones detalladas de ambos tipos de integrales. El polilogaritmo también está relacionado con la integral de la distribución de Maxwell-Boltzmann : Esto también proporciona el comportamiento asintótico del polilogaritmo en la proximidad del origen.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.}$$$${\displaystyle -\operatorname {Li} _{s}(-z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.}$$$${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.}$$
2. Una representación integral complementaria se aplica a Re( s ) < 0 y a todos los z excepto a z real y ≥ 0: Esta integral se desprende de la relación general del polilogaritmo con la función zeta de Hurwitz (ver arriba) y una representación integral familiar de esta última.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\int _{0}^{\infty }{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.}$$
3. El polilogaritmo puede representarse de forma bastante general mediante una integral de contorno de Hankel (Whittaker y Watson 1927, § 12.22, § 13.13), que extiende la representación de Bose-Einstein a órdenes negativos s . Siempre que el polo t = μ del integrando no se encuentre en el eje real no negativo, y s ≠ 1, 2, 3, …, tenemos: donde H representa el contorno de Hankel. El integrando tiene un corte a lo largo del eje real desde cero hasta el infinito, y el eje pertenece al semiplano inferior de t . La integración comienza en +∞ en el semiplano superior (Im( t ) > 0), rodea el origen sin encerrar ninguno de los polos t = μ + 2 kπi , y termina en +∞ en el semiplano inferior (Im( t ) < 0). Para el caso donde μ es real y no negativo, podemos simplemente restar la contribución del polo t = μ encerrado : donde R es el residuo del polo:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }-1}}dt}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }}-1}dt-2\pi iR}$$$${\displaystyle R={i \over 2\pi }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}.}$$
4. Cuando se aplica la fórmula de Abel–Plana a la serie definitoria del polilogaritmo, resulta una representación integral de tipo Hermite que es válida para todos los complejos z y para todos los complejos s : donde Γ es la función gamma incompleta superior . Todo (pero no parte) de los ln( z ) en esta expresión se puede reemplazar por −ln( ¹ ⁄ _z ). Una representación relacionada que también es válida para todos los complejos s , evita el uso de la función gamma incompleta, pero esta integral falla para z en el eje real positivo si Re( s ) ≤ 0. Esta expresión se encuentra escribiendo 2 ^s Li _s (− z ) / (− z ) = Φ( z ² , s , ¹ ⁄ ₂ ) − z Φ( z ² , s , 1), donde Φ es el trascendente de Lerch , y aplicando la fórmula de Abel–Plana a la primera serie Φ y una fórmula complementaria que involucra 1 / ( e ^{2 πt} + 1) en lugar de 1 / ( e ^{2 πt} − 1) a la segunda serie Φ.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan t-t\ln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}\sinh(\pi t)}}dt,}$$
5. Podemos expresar una integral para el polilogaritmo integrando la serie geométrica ordinaria término por término para (Borwein, Borwein y Girgensohn 1994, §2, ecuación 4)${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$ harv error: no target: CITEREFBorweinBorweinGirgensohn1994 (help)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot (-1)^{s}}{s!}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.}$$

1. Como se señaló en las representaciones integrales anteriores, la representación integral de Bose-Einstein del polilogaritmo se puede extender a órdenes negativos s mediante la integración del contorno de Hankel : donde H es el contorno de Hankel, s ≠ 1, 2, 3, …, y el polo t = μ del integrando no se encuentra en el eje real no negativo. El contorno puede modificarse para que encierre los polos del integrando en t − μ = 2 kπi , y la integral puede evaluarse como la suma de los residuos (Wood 1992, § 12, 13; Gradshteyn y Ryzhik 1980, § 9.553 ): Esto se cumplirá para Re( s ) < 0 y todos los μ excepto donde e ^μ = 1. Para 0 < Im( μ ) ≤ 2 π la suma puede descomponerse como: donde las dos series ahora pueden identificarse con la función zeta de Hurwitz : Esta relación, que ya se ha dado en relación con otras funciones anteriormente, se cumple para todos los complejos s ≠ 0, 1, 2, 3, … y se derivó por primera vez en (Jonquière 1889, ecuación 6).$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\Gamma (1-s) \over 2\pi i}\oint _{H}{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }-1}dt,}$$ harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }(2k\pi i-\mu )^{s-1}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).}$$
2. Para representar el polilogaritmo como una serie de potencias alrededor de μ = 0, escribimos la serie derivada de la integral de contorno de Hankel como: Cuando las potencias binomiales en la suma se desarrollan alrededor de μ = 0 y el orden de la suma se invierte, la suma sobre h se puede expresar en forma cerrada: Este resultado es válido para | μ | < 2 π y, gracias a la continuación analítica proporcionada por las funciones zeta , para todo s ≠ 1, 2, 3, … . Si el orden es un entero positivo, s = n , tanto el término con k = n − 1 como la función gamma se vuelven infinitos, aunque su suma no. Se obtiene (Wood 1992, § 9; Gradshteyn & Ryzhik 1980, § 9.554 ): donde la suma sobre h se anula si k = 0. Así, para órdenes enteros positivos y para | μ | < 2 π tenemos la serie: donde H _n denota el n ésimo número armónico : Los términos del problema ahora contienen −ln(− μ ) que, cuando se multiplica por μ ^{n −1} , tenderá a cero cuando μ → 0, excepto para n = 1. Esto refleja el hecho de que Li _s ( z ) exhibe una verdadera singularidad logarítmica en s = 1 y z = 1 ya que: Para s cercano, pero no igual, a un entero positivo, se puede esperar que los términos divergentes en la expansión sobre μ = 0 causen dificultades computacionales (Wood 1992, § 9). La expansión correspondiente de Erdélyi (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-15) en potencias de ln( z ) no es correcta si se supone que las ramas principales del polilogaritmo y del logaritmo se utilizan simultáneamente, ya que ln( ¹ ⁄ _z ) no es uniformemente igual a −ln( z ). Para valores enteros no positivos de s , la función zeta ζ( s − k ) en la expansión sobre μ = 0 se reduce a números de Bernoulli : ζ(− n − k ) = −B _{1+ n + k} / (1 + n + k ). Evaluación numérica de Li _{− n} ( z$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}.}$$ harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)$${\displaystyle \lim _{s\to k+1}\left[{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}+\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}\left[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\right],}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}\left[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\infty }{\zeta (n-k) \over k!}\mu ^{k},}$$$${\displaystyle H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.}$$$${\displaystyle \lim _{\mu \to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}=0\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$) de esta serie no sufre los efectos de cancelación que las expresiones racionales finitas dadas bajo los valores particulares anteriores exhiben para n grande .
3. Mediante el uso de la identidad, la representación integral de Bose-Einstein del polilogaritmo (ver arriba) puede expresarse en la forma: Reemplazando la cotangente hiperbólica con una serie bilateral, luego invirtiendo el orden de la integral y la suma, y ​​finalmente identificando los sumandos con una representación integral de la función gamma incompleta superior , se obtiene: Tanto para la serie bilateral de este resultado como para la de la cotangente hiperbólica, las sumas parciales simétricas de − k _max a k _max convergen incondicionalmente cuando k _max → ∞. Siempre que la suma se realice simétricamente, esta serie para Li _s ( z ) se cumple para todos los complejos s así como para todos los complejos z .$${\displaystyle 1={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).}$$$${\displaystyle \coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\infty }^{\infty }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z},}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Gamma (1-s,2k\pi i-\ln z) \over (2k\pi i-\ln z)^{1-s}}.}$$
4. Introduciendo una expresión explícita para los números de Stirling de segundo tipo en la suma finita para el polilogaritmo de orden entero no positivo (ver arriba) uno puede escribir: La serie infinita obtenida simplemente extendiendo la suma externa a ∞ (Guillera & Sondow 2008, Teorema 2.1): resulta converger al polilogaritmo para todos los complejos s y para los complejos z con Re( z ) < ¹ ⁄ ₂ , como puede verificarse para | ^{− z} ⁄ _{(1− z )} | < ¹ ⁄ ₂ invirtiendo el orden de la suma y usando: Los coeficientes internos de estas series pueden expresarse mediante fórmulas relacionadas con los números de Stirling que involucran los números armónicos generalizados . Por ejemplo, véase transformaciones de funciones generadoras para encontrar pruebas (referencias a pruebas) de las siguientes identidades: Para los demás argumentos con Re( z ) < ¹ ⁄ ₂ el resultado se deduce por continuación analítica . Este procedimiento es equivalente a aplicar la transformación de Euler a la serie en z que define el polilogaritmo.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{n}\qquad (n=0,1,2,\ldots ).}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{-s},}$$$${\displaystyle \sum _{k=j}^{\infty }{k \choose j}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}=\left[\left({-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\operatorname {Li} _{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.\end{aligned}}}$$

Para | z | ≫ 1, el polilogaritmo se puede expandir en series asintóticas en términos de ln(− z ):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\pm i\pi \over \Gamma (s)}[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-1}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(1-2^{1-2k})(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$

donde B _{2 k} son los números de Bernoulli . Ambas versiones son válidas para todos los s y para cualquier arg( z ). Como es habitual, la suma debe terminar cuando los términos comienzan a crecer en magnitud. Para un entero negativo s , las expansiones se desvanecen por completo; para un entero no negativo s , se interrumpen después de un número finito de términos. Wood (1992, § 11) describe un método para obtener estas series a partir de la representación integral de Bose-Einstein (su ecuación 11.2 para Li _s ( e ^μ ) requiere −2 π < Im( μ ) ≤ 0).

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Los siguientes límites resultan de las diversas representaciones del polilogaritmo (Wood 1992, § 22):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{|z|\to 0}z}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{|\mu |\to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (\operatorname {Re} (s)<1)}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-{\mu ^{s} \over \Gamma (s+1)}\qquad (s\neq -1,-2,-3,\ldots )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-(-1)^{n}e^{-\mu }\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{\operatorname {Re} (s)\to \infty }z}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (-\pi <\operatorname {Im} (\mu )<\pi )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)\left[(-\mu -i\pi )^{s-1}+(-\mu +i\pi )^{s-1}\right]\qquad (\operatorname {Im} (\mu )=0)}$$

El primer límite de Wood para Re( μ ) → ∞ se ha corregido de acuerdo con su ecuación 11.3. El límite para Re( s ) → −∞ se deduce de la relación general del polilogaritmo con la función zeta de Hurwitz (véase más arriba).

El dilogaritmo es el polilogaritmo de orden s = 2. Una expresión integral alternativa del dilogaritmo para un argumento complejo arbitrario z es (Abramowitz y Stegun 1972, § 27.7):$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-t) \over t}dt=-\int _{0}^{1}{\ln(1-zt) \over t}dt.}$$

Una fuente de confusión es que algunos sistemas de álgebra computacional definen el dilogaritmo como dilog( z ) = Li ₂ (1− z ).

En el caso de z real ≥ 1 la primera expresión integral para el dilogaritmo se puede escribir como$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\int _{1}^{z}{\ln(t-1) \over t}dt-i\pi \ln z}$$

de donde desarrollando ln( t −1) e integrando término por término obtenemos

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}-\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k^{2}z^{k}}-i\pi \ln z\qquad (z\geq 1).}$$

La identidad de Abel para el dilogaritmo está dada por (Abel 1881)

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{1-y}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y}{1-x}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {xy}{(1-x)(1-y)}}\right)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)+\ln(1-x)\ln(1-y)}$$

$${\displaystyle (\operatorname {Re} (x)\leq {\tfrac {1}{2}}\wedge \operatorname {Re} (y)\leq {\tfrac {1}{2}}\vee \operatorname {Im} (x)>0\wedge \operatorname {Im} (y)>0\vee \operatorname {Im} (x)<0\wedge \operatorname {Im} (y)<0\vee \ldots ).}$$

Esto se cumple inmediatamente tanto para x = 0 como para y = 0, y para argumentos generales se verifica fácilmente mediante la diferenciación ∂/∂ x ∂/∂ y . Para y = 1− x la identidad se reduce a la fórmula de reflexión de Euler donde se ha utilizado Li ₂ (1) = ζ(2) = ¹ ⁄ ₆ π ^{2 y} x puede tomar cualquier valor complejo.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(x\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-x\right)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln(x)\ln(1-x),}$$

En términos de las nuevas variables u = x /(1− y ), v = y /(1− x ) la identidad de Abel se lee como corresponde a la identidad del pentágono dada en (Rogers 1907).$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(u)+\operatorname {Li} _{2}(v)-\operatorname {Li} _{2}(uv)=\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {u-uv}{1-uv}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {v-uv}{1-uv}}\right)+\ln \left({\frac {1-u}{1-uv}}\right)\ln \left({\frac {1-v}{1-uv}}\right),}$$

De la identidad de Abel para x = y = 1− z y la relación al cuadrado tenemos la identidad de Landen y aplicando la fórmula de reflexión a cada dilogaritmo encontramos la fórmula de inversión$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}\qquad (z\not \in ~]-\infty ;0]),}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}[\ln(-z)]^{2}\qquad (z\not \in [0;1[),}$$

y para z real ≥ 1 también$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln z)^{2}-i\pi \ln z.}$$

En la siguiente tabla se recogen las evaluaciones conocidas en forma cerrada del dilogaritmo con argumentos especiales. Los argumentos de la primera columna están relacionados mediante la reflexión x ↔ 1− x o la inversión x ↔ ¹ ⁄ _x con x = 0 o x = −1; los argumentos de la tercera columna están todos interrelacionados mediante estas operaciones.

Maximon (2003) analiza las referencias de los siglos XVII al XIX. La fórmula de reflexión ya había sido publicada por Landen en 1760, antes de su aparición en un libro de Euler de 1768 (Maximon 2003, § 10); un equivalente a la identidad de Abel ya había sido publicado por Spence en 1809, antes de que Abel escribiera su manuscrito en 1826 (Zagier 1989, § 2). La designación de función bilogarítmica fue introducida por Carl Johan Danielsson Hill (profesor en Lund, Suecia) en 1828 (Maximon 2003, § 10). Don Zagier  (1989) ha señalado que el dilogaritmo es la única función matemática que posee sentido del humor.

Valores especiales del dilogaritmo

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle -\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}2}$	${\displaystyle 1/\phi ^{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 1/\phi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}-\pi i\ln 2}$	${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle {\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}(-1/\phi )}$
		${\displaystyle \phi ^{2}}$	${\displaystyle -{\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}(-\phi )}$

Aquí se denota la proporción áurea .${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

Leonard Lewin descubrió una generalización notable y amplia de una serie de relaciones clásicas en el polilogaritmo para valores especiales. Estas ahora se denominan escaleras polilogarítmicas . Defina como el recíproco de la proporción áurea . A continuación, se presentan dos ejemplos simples de escaleras dilogarítmicas:${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}$

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho ^{6})=4\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{3})+3\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{2})-6\operatorname {Li} _{2}(\rho )+{\tfrac {7}{30}}\pi ^{2}}$$

dada por Coxeter  (1935) y

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho )={\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\rho }$$

dado por Landen . Las escaleras polilogarítmicas aparecen de forma natural y profunda en la teoría K y la geometría algebraica . Las escaleras polilogarítmicas proporcionan la base para los cálculos rápidos de varias constantes matemáticas mediante el algoritmo BBP (Bailey, Borwein y Plouffe 1997).

El polilogaritmo tiene dos puntos de ramificación ; uno en z = 1 y otro en z = 0. El segundo punto de ramificación, en z = 0, no es visible en la hoja principal del polilogaritmo; se hace visible solo cuando la función se continúa analíticamente en sus otras hojas. El grupo de monodromía para el polilogaritmo consiste en las clases de homotopía de bucles que se enrollan alrededor de los dos puntos de ramificación. Denotando estos dos por m ₀ y m ₁ , el grupo de monodromía tiene la presentación de grupo

$${\displaystyle \langle m_{0},m_{1}\vert w=m_{0}m_{1}m_{0}^{-1}m_{1}^{-1},wm_{1}=m_{1}w\rangle .}$$