Función de transferencia

En ingeniería , una función de transferencia (también conocida como función del sistema ^[1] o función de red ) de un sistema, subsistema o componente es una función matemática que modela la salida del sistema para cada entrada posible. ^{[2] [3] [4]} Se utiliza ampliamente en herramientas de ingeniería electrónica como simuladores de circuitos y sistemas de control . En casos simples, esta función se puede representar como un gráfico bidimensional de una entrada escalar independiente versus la salida escalar dependiente (conocida como curva de transferencia o curva característica ). Las funciones de transferencia para componentes se utilizan para diseñar y analizar sistemas ensamblados a partir de componentes, particularmente utilizando la técnica del diagrama de bloques , en electrónica y teoría de control .

Las dimensiones y unidades de la función de transferencia modelan la respuesta de salida del dispositivo para un rango de posibles entradas. La función de transferencia de un circuito electrónico de dos puertos , como un amplificador , podría ser un gráfico bidimensional del voltaje escalar en la salida como una función del voltaje escalar aplicado a la entrada; la función de transferencia de un actuador electromecánico podría ser el desplazamiento mecánico del brazo móvil como una función de la corriente eléctrica aplicada al dispositivo; la función de transferencia de un fotodetector podría ser el voltaje de salida como una función de la intensidad luminosa de la luz incidente de una longitud de onda dada .

El término "función de transferencia" también se utiliza en el análisis del dominio de frecuencia de sistemas que utilizan métodos de transformación, como la transformada de Laplace ; es la amplitud de la salida en función de la frecuencia de la señal de entrada. La función de transferencia de un filtro electrónico es la amplitud en la salida en función de la frecuencia de una onda sinusoidal de amplitud constante aplicada a la entrada. Para dispositivos de imágenes ópticas, la función de transferencia óptica es la transformada de Fourier de la función de dispersión de puntos (una función de la frecuencia espacial ).

Las funciones de transferencia se utilizan comúnmente en el análisis de sistemas como filtros de entrada única y salida única en el procesamiento de señales , la teoría de la comunicación y la teoría del control . El término se utiliza a menudo exclusivamente para referirse a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). La mayoría de los sistemas reales tienen características de entrada-salida no lineales , pero muchos sistemas que funcionan dentro de parámetros nominales (no sobreexigidos) tienen un comportamiento lo suficientemente cercano a lo lineal como para que la teoría de sistemas LTI sea una representación aceptable de su comportamiento de entrada-salida.

Las descripciones se dan en términos de una variable compleja , . En muchas aplicaciones es suficiente establecer (por lo tanto ), lo que reduce las transformadas de Laplace con argumentos complejos a transformadas de Fourier con el argumento real ω. Esto es común en aplicaciones interesadas principalmente en la respuesta de estado estable del sistema LTI (a menudo el caso en el procesamiento de señales y la teoría de la comunicación ), no en la respuesta transitoria de encendido y apagado fugaz o en problemas de estabilidad.${\displaystyle s=\sigma+j\cdot\omega}$${\displaystyle \sigma = 0}$${\displaystyle s=j\cdot \omega}$

Para una señal de entrada y una salida de tiempo continuo , al dividir la transformada de Laplace de la salida, , por la transformada de Laplace de la entrada, , se obtiene la función de transferencia del sistema :${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

que puede reorganizarse como:

${\displaystyle Y(s)=H(s)\;X(s)\,.}$

Las señales de tiempo discreto pueden ser anotadas como matrices indexadas por un entero (por ejemplo, para la entrada y para la salida). En lugar de utilizar la transformada de Laplace (que es mejor para las señales de tiempo continuo), las señales de tiempo discreto se manejan utilizando la transformada z (anotada con una letra mayúscula correspondiente, como y ), por lo que la función de transferencia de un sistema de tiempo discreto puede escribirse como:${\estilo de visualización n}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n]}$${\estilo de visualización X(z)}$${\displaystyle Y(z)}$

$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal { Z}}\{x[n]\}}}.}$$

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

donde u y r son funciones adecuadamente suaves de t , y L es el operador definido en el espacio de funciones relevante que transforma u en r . Ese tipo de ecuación se puede utilizar para restringir la función de salida u en términos de la función de forzamiento r . La función de transferencia se puede utilizar para definir un operador que sirva como inverso derecho de L , lo que significa que .${\displaystyle F[r]=u}$${\displaystyle L[F[r]]=r}$

Las soluciones de la ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes se pueden encontrar probando . Esa sustitución produce el polinomio característico${\displaystyle L[u]=0}$${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}$

El caso no homogéneo se puede resolver fácilmente si la función de entrada r también tiene la forma . Sustituyendo , si definimos${\displaystyle r(t)=e^{st}}$${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{donde sea }}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

Se utilizan otras definiciones de la función de transferencia, por ejemplo ^[5]${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$

Una entrada sinusoidal general a un sistema de frecuencia puede escribirse como . La respuesta de un sistema a una entrada sinusoidal que comienza en el tiempo consistirá en la suma de la respuesta en estado estable y una respuesta transitoria. La respuesta en estado estable es la salida del sistema en el límite de tiempo infinito, y la respuesta transitoria es la diferencia entre la respuesta y la respuesta en estado estable; corresponde a la solución homogénea de la ecuación diferencial . La función de transferencia para un sistema LTI puede escribirse como el producto:${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$${\estilo de visualización t=0}$

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

donde s _{P i} son las raíces N del polinomio característico y serán los polos de la función de transferencia. En una función de transferencia con un solo polo donde , la transformada de Laplace de una senoide general de amplitud unitaria será . La transformada de Laplace de la salida será , y la salida temporal será la transformada de Laplace inversa de esa función:${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$${\displaystyle s_{P}=\sigma_{P}+j\omega_{P}}$${\displaystyle {\frac {1}{sj\omega _ {i}}}}$${\displaystyle {\frac {H(s)}{sj\omega _{0}}}}$

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

El segundo término del numerador es la respuesta transitoria, y en el límite del tiempo infinito divergerá hasta el infinito si σ _P es positivo. Para que un sistema sea estable, su función de transferencia no debe tener polos cuyas partes reales sean positivas. Si la función de transferencia es estrictamente estable, las partes reales de todos los polos serán negativas y el comportamiento transitorio tenderá a cero en el límite del tiempo infinito. La salida en estado estacionario será:

${\displaystyle g(\infty)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

La respuesta de frecuencia (o "ganancia") G del sistema se define como el valor absoluto de la relación entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada en estado estable:

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},}$

que es el valor absoluto de la función de transferencia evaluada en . Este resultado es válido para cualquier número de polos de la función de transferencia.${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle j\omega _{i}}$

Si es la entrada a un sistema general lineal invariante en el tiempo , y es la salida, y la transformada de Laplace bilateral de y es${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}}$

La salida está relacionada con la entrada mediante la función de transferencia como${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}$

y la función de transferencia en sí es

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.}$

Si una señal armónica compleja con un componente sinusoidal con amplitud , frecuencia angular y fase , donde arg es el argumento ${\estilo de visualización |X|}$ ${\estilo de visualización \omega}$ ${\displaystyle \arg(X)}$

${\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}$

dónde${\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}$

es la entrada a un sistema lineal invariante en el tiempo, el componente correspondiente en la salida es:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}}$

En un sistema lineal invariante en el tiempo, la frecuencia de entrada no ha cambiado; solo la amplitud y el ángulo de fase de la sinusoide han sido modificados por el sistema. La respuesta de frecuencia describe este cambio para cada frecuencia en términos de ganancia.${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H(j\omega )}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|}$

y cambio de fase

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).}$

El retardo de fase (la cantidad de retardo dependiente de la frecuencia introducido en la sinusoide por la función de transferencia) es

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.}$

El retardo de grupo (la cantidad de retardo dependiente de la frecuencia introducido en la envolvente de la sinusoide por la función de transferencia) se encuentra calculando la derivada del cambio de fase con respecto a la frecuencia angular .${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.}$

La función de transferencia también se puede demostrar utilizando la transformada de Fourier , un caso especial de transformada de Laplace bilateral donde .${\displaystyle s=j\omega }$

Aunque cualquier sistema LTI puede describirse mediante alguna función de transferencia, comúnmente se utilizan "familias" de funciones de transferencia especiales:

• Filtro Butterworth  : máximamente plano en banda de paso y banda de rechazo para el orden dado
• Filtro Chebyshev (Tipo I)  : banda de rechazo máximamente plana, corte más agudo que un filtro Butterworth del mismo orden
• Filtro Chebyshev (Tipo II): banda de paso máximamente plana, corte más agudo que un filtro Butterworth del mismo orden
• Filtro de Bessel : retardo de grupo  máximo y constante para un orden determinado
• Filtro elíptico  : corte más agudo (transición más estrecha entre la banda de paso y la banda de rechazo) para el orden dado
• Filtro "L" óptimo
• Filtro gaussiano  : retardo de grupo mínimo; no genera sobreimpulso en una función escalonada
• Filtro de coseno elevado

En la ingeniería de control y la teoría de control , la función de transferencia se deriva con la transformada de Laplace . La función de transferencia fue la herramienta principal utilizada en la ingeniería de control clásica. Se puede obtener una matriz de transferencia para cualquier sistema lineal para analizar su dinámica y otras propiedades; cada elemento de una matriz de transferencia es una función de transferencia que relaciona una variable de entrada particular con una variable de salida. Howard H. Rosenbrock propuso una representación que une el espacio de estados y los métodos de función de transferencia , y se conoce como la matriz del sistema de Rosenbrock .

En imágenes , las funciones de transferencia se utilizan para describir la relación entre la luz de la escena, la señal de la imagen y la luz mostrada.

No existen funciones de transferencia para muchos sistemas no lineales , como los osciladores de relajación ; ^[6] sin embargo, a veces se pueden utilizar funciones descriptivas para aproximar dichos sistemas no lineales invariantes en el tiempo.

• ECE 209: Revisión de circuitos como sistemas LTI: breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).