Funciones de suelo y techo

En matemáticas , la función floor es la función que toma como entrada un número real x y da como salida el mayor entero menor o igual a x , denotado ⌊ x ⌋ o floor( x ) . De manera similar, la función ceiling asigna x al menor entero mayor o igual a x , denotado ⌈ x ⌉ o ceil( x ) . ^[1]

Por ejemplo, para piso: ⌊2,4⌋ = 2 , ⌊−2,4⌋ = −3 , y para techo: ⌈2,4⌉ = 3 , y ⌈−2,4⌉ = −2 .

La base de x también se denomina parte integral , parte entera , mayor entero o entero de x , y se denotaba históricamente [ x ] (entre otras notaciones). ^[2] Sin embargo, el mismo término, parte entera , también se utiliza para el truncamiento hacia cero, que difiere de la función base para números negativos.

Para n un número entero, ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n .

Aunque floor( x+1 ) y ceil( x ) producen gráficos que parecen exactamente iguales, no son iguales cuando el valor de x es un entero exacto. Por ejemplo, cuando x = 2,0001; ⌊2,0001+1⌋ = ⌈2,0001⌉ = 3 . Sin embargo, si x = 2, entonces ⌊2+1⌋ = 3 , mientras que ⌈2⌉ = 2 .

La parte integral o parte entera de un número ( partie entière en el original) fue definida por primera vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre en su demostración de la fórmula de Legendre .

Carl Friedrich Gauss introdujo la notación de corchetes [ x ] en su tercera prueba de reciprocidad cuadrática (1808). ^[3] Esta siguió siendo la notación estándar ^[4] en matemáticas hasta que Kenneth E. Iverson introdujo, en su libro de 1962 A Programming Language , los nombres "floor" y "coiling" y las notaciones correspondientes ⌊ x ⌋ y ⌈ x ⌉ . ^{[5] [6]} (Iverson utilizó corchetes para un propósito diferente, la notación de corchetes de Iverson ). Ambas notaciones se utilizan ahora en matemáticas, aunque en este artículo se seguirá la notación de Iverson.

En algunas fuentes, se utilizan corchetes en negrita o dobles ⟦ x ⟧ para el piso, y corchetes invertidos ⟧ x ⟦ o ] x [ ​​para el techo. ^{[7] [8]}

La parte fraccionaria es la función de diente de sierra , denotada por { x } para x real y definida por la fórmula

{ x } = x − ⌊ x ⌋ ^[9]

Para todo x ,

0 ≤ { x } < 1 .

Estos caracteres se proporcionan en Unicode:

• U+2308 ⌈ TECHO IZQUIERDO ( ⌈, ⌈ )
• U+2309 ⌉ TECHO DERECHO ( ⌉, ⌉ )
• U+230A ⌊ PISO IZQUIERDO ( &PisoIzquierdo;, &lpiso; )
• U+230B ⌋ PISO DERECHO ( ⌋, ⌋ )

En el sistema de composición tipográfica LaTeX , estos símbolos se pueden especificar con los comandos y en modo matemático. LaTeX admite UTF-8 desde 2018, por lo que ahora se pueden usar los caracteres Unicode directamente. ^[10] Las versiones más grandes son y .\lceil, \rceil, \lfloor, \rfloor\left\lceil, \right\rceil, \left\lfloor,\right\rfloor

Dados los números reales x e y , los números enteros m y n y el conjunto de números enteros piso y techo pueden definirse mediante las ecuaciones${\displaystyle \mathbb {Z}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},}$

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

Como hay exactamente un entero en un intervalo semiabierto de longitud uno, para cualquier número real x , hay enteros únicos m y n que satisfacen la ecuación

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.}$

donde  y  también puede tomarse como la definición de piso y techo.${\displaystyle \lpiso x\rpiso =m}$${\displaystyle \lceil x\rceil =n}$

Estas fórmulas se pueden utilizar para simplificar expresiones que involucran pisos y techos. ^[11]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ si y solo si }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ si y solo si }}&\ \ n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ si y solo si }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ si y solo si }}&x&\leq n<x+1.\end{alignedat}}}$

En el lenguaje de la teoría del orden , la función piso es una aplicación residual , es decir, parte de una conexión de Galois : es el adjunto superior de la función que integra los números enteros en los reales.

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ si y solo si }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ si y solo si }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ si y solo si }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ si y solo si }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

Estas fórmulas muestran cómo agregar un entero n a los argumentos afecta las funciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lpiso x+n\rpiso &=\lpiso x\rpiso +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Lo anterior nunca es verdadero si n no es un entero; sin embargo, para cada x e y , se cumplen las siguientes desigualdades:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu ]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

Tanto la función de suelo como la de techo son funciones monótonamente no decrecientes :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}}$

De las definiciones se desprende claramente que

${\displaystyle \lpiso x\rpiso \leq \lceil x\rceil ,}$   con igualdad si y sólo si x es un entero, es decir

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ si }}x\en \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ si }}x\no \en \mathbb {Z} \end{cases}}}$

De hecho, para números enteros n , tanto la función piso como la función techo son la identidad :

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

Al negar el argumento se intercambian piso y techo y se cambia el signo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

y:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Negar el argumento complementa la parte fraccionaria:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Las funciones de suelo, techo y parte fraccionaria son idempotentes :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

El resultado de las funciones de piso o techo anidadas es la función más interna:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

debido a la propiedad de identidad de los números enteros.

Si m y n son números enteros y n ≠ 0,

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

Si n es un entero positivo ^[12]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

Si m es positivo ^[13]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Para m = 2 esto implica

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .}$

De manera más general, ^{[14] para} m positivo (véase la identidad de Hermite )

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Lo siguiente se puede utilizar para convertir pisos en techos y viceversa ( m positivo) ^[15]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

Para todos los m y n enteros estrictamente positivos: ^[16]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

lo cual, para m y n positivos y coprimos , se reduce a

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),}$

y de manera similar para las funciones de techo y parte fraccionaria (aún para m y n positivos y coprimos ),

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).}$

Dado que el lado derecho del caso general es simétrico en m y n , esto implica que

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

De manera más general, si m y n son positivos,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

A esto a veces se le llama ley de reciprocidad. ^[17]

La división por números enteros positivos da lugar a una propiedad interesante y a veces útil. Suponiendo que ,${\displaystyle m,n>0}$

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.}$

Similarmente,

${\displaystyle m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.}$

En efecto,

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,}$

teniendo en cuenta que la segunda equivalencia que involucra la función techo se puede demostrar de manera similar.${\textstyle \lfloor x/n\rfloor ={\bigl \lfloor }\lfloor x\rfloor /n{\bigr \rfloor }.}$

Para un entero positivo n y números reales arbitrarios m , x : ^[18]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .}$

Ninguna de las funciones analizadas en este artículo es continua , pero todas son lineales por partes : las funciones , , y tienen discontinuidades en los números enteros.${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$  es semicontinuo superior y     y   son semicontinuos inferiores.${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

Dado que ninguna de las funciones analizadas en este artículo es continua, ninguna de ellas tiene una expansión en serie de potencias . Dado que el piso y el techo no son periódicos, no tienen expansiones en serie de Fourier uniformemente convergentes . La función de la parte fraccionaria tiene una expansión en serie de Fourier ^[19] para x que no es un entero.$${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$

En los puntos de discontinuidad, una serie de Fourier converge a un valor que es el promedio de sus límites a la izquierda y a la derecha, a diferencia de las funciones de piso, techo y parte fraccionaria: para y fijo y x un múltiplo de y, la serie de Fourier dada converge a y /2, en lugar de a x  mod  y  = 0. En los puntos de continuidad, la serie converge al valor verdadero.

Usando la fórmula obtenemos que x no es un número entero.${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-\{x\}}$$${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$

Para un entero x y un entero positivo y , la operación módulo , denotada por x mod y , da el valor del resto cuando x se divide por y . Esta definición se puede extender a los números reales x e y , y ≠ 0, mediante la fórmula

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

De la definición de la función de suelo se desprende que esta operación extendida satisface muchas propiedades naturales. En particular, x mod y siempre está entre 0 e y , es decir,

Si y es positivo,

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

y si y es negativo,

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

La tercera prueba de reciprocidad cuadrática de Gauss , modificada por Eisenstein, tiene dos pasos básicos. ^{[20] [21]}

Sean p y q números primos impares positivos distintos, y sea${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}(p-1),}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(q-1).}$

En primer lugar, se utiliza el lema de Gauss para demostrar que los símbolos de Legendre están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

El segundo paso es utilizar un argumento geométrico para demostrar que

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

Combinando estas fórmulas se obtiene la reciprocidad cuadrática en la forma

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Existen fórmulas que utilizan floor para expresar el carácter cuadrático de números pequeños módulo primos impares p : ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

Para un número real arbitrario , el redondeo al entero más cercano con desempate hacia el infinito positivo se da como ; el redondeo hacia el infinito negativo se da como .${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil }$${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor }$

Si el desempate se aleja de 0, entonces la función de redondeo es (ver función de signo ), y el redondeo hacia el par se puede expresar con la más engorrosa , que es la expresión anterior para redondear hacia el infinito positivo menos un indicador de integralidad para .${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +{\bigl \lceil }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rceil }-{\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rfloor }-1}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2x-1)}$

Redondear un número real al valor entero más cercano forma un tipo muy básico de cuantificador : uno uniforme . Un cuantificador uniforme típico ( de media longitud ) con un tamaño de paso de cuantificación igual a un valor determinado se puede expresar como${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$,

El número de dígitos en base b de un entero positivo k es

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

La cantidad de cadenas posibles de longitud arbitraria que no utilizan ningún carácter dos veces está dada por ^{[23] [ se necesita una mejor fuente ]}

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }$

dónde:

• n > 0 es el número de letras del alfabeto (por ejemplo, 26 en inglés )
• El factorial descendente denota el número de cadenas de longitud k que no utilizan ningún carácter dos veces.${\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$
• n ! denota el factorial de n
• e = 2,718... es el número de Euler

Para n = 26, esto equivale a 1096259850353149530222034277.

Sea n un entero positivo y p un número primo positivo. El exponente de la potencia más alta de p que divide a n ! se da mediante una versión de la fórmula de Legendre ^[24]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

donde es la forma de escribir n en base p . Esta es una suma finita, ya que los pisos son cero cuando p ^k > n .${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$

La secuencia de Beatty muestra cómo cada número irracional positivo da lugar a una partición de los números naturales en dos secuencias a través de la función piso. ^[25]

Existen fórmulas para la constante de Euler γ = 0,57721 56649 ... que involucran el piso y el techo, por ejemplo ^[26]

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

y

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }$

La función de la parte fraccionaria también aparece en representaciones integrales de la función zeta de Riemann . Es sencillo demostrar (mediante la integración por partes) ^[27] que si es cualquier función con una derivada continua en el intervalo cerrado [ a , b ],${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}$

Si la parte real de s es mayor que 1 y si a y b son números enteros, y si b tiende al infinito, se obtiene${\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}}$

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

Esta fórmula es válida para todos los s con parte real mayor que −1, (excepto s = 1, donde hay un polo) y combinada con la expansión de Fourier para { x } se puede utilizar para extender la función zeta a todo el plano complejo y demostrar su ecuación funcional. ^[28]

Para s = σ + it en la franja crítica 0 < σ < 1,

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

En 1947, van der Pol utilizó esta representación para construir una computadora analógica para encontrar raíces de la función zeta. ^[29]

La función base aparece en varias fórmulas que caracterizan a los números primos. Por ejemplo, como es igual a 1 si m divide a n y a 0 en caso contrario, se deduce que un entero positivo n es primo si y solo si ^[30]${\textstyle {\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left({\biggl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\biggr \rfloor }-{\biggl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\biggr \rfloor }\right)=2.}$

También se pueden dar fórmulas para producir los números primos. Por ejemplo, sea p _n el primo n -ésimo y, para cualquier entero r  > 1, definamos el número real α por la suma

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

Entonces ^[31]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

Un resultado similar es que existe un número θ = 1,3064... ( constante de Mills ) con la propiedad de que

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

son todos primos. ^[32]

También existe un número ω = 1,9287800... con la propiedad de que

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

son todos primos. ^[32]

Sea π ( x ) el número de primos menores o iguales a x . Del teorema de Wilson se deduce de forma sencilla que ^[33]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.}$

Además, si n ≥ 2, ^[34]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }1\,{\bigg /}\ {\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }{\Biggr \rfloor }.}$

Ninguna de las fórmulas de esta sección tiene utilidad práctica. ^{[35] [36]}

Ramanujan presentó estos problemas al Journal of the Indian Mathematical Society . ^[37]

Si n es un entero positivo, demuestre que

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

Se han demostrado algunas generalizaciones para las identidades de funciones del piso anterior. ^[38]

El estudio del problema de Waring ha conducido a un problema sin resolver:

¿Existen números enteros positivos k ≥ 6 tales que ^[39]

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\ ?}$

Mahler ha demostrado que sólo puede haber un número finito de tales k ; no se conoce ninguno. ^[40]

En la mayoría de los lenguajes de programación, el método más simple para convertir un número de punto flotante en un entero no es el de base o de techo, sino el de truncamiento. La razón de esto es histórica, ya que las primeras máquinas usaban el complemento a uno y el truncamiento era más simple de implementar (base es más simple en complemento a dos ). FORTRAN se definió para requerir este comportamiento y, por lo tanto, casi todos los procesadores implementan la conversión de esta manera. Algunos consideran que se trata de una desafortunada decisión de diseño histórica que ha provocado errores en el manejo de desplazamientos negativos y gráficos en el lado negativo del origen. ^{[ cita requerida ]}

Un desplazamiento aritmético a la derecha de un entero con signo por es lo mismo que . La división por una potencia de 2 se suele escribir como un desplazamiento a la derecha, no para optimizar como podría suponerse, sino porque se requiere el mínimo de resultados negativos. Suponer que dichos desplazamientos son una "optimización prematura" y reemplazarlos con una división puede dañar el software. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\lfloor x/2^{n}\right\rfloor }$

Muchos lenguajes de programación (incluidos C , C++ , ^{[41] [42]} C# , ^{[43] [44]} Java , ^{[45] [46]} Julia , ^[47] PHP , ^{[48] [49]} R , ^[50] y Python ^[51] ) proporcionan funciones estándar para floor y ceiling, normalmente llamadas floory ceil, o con menos frecuencia ceiling. ^[52] El lenguaje APL usa ⌊xpara floor. El lenguaje de programación J , una continuación de APL que está diseñado para usar símbolos de teclado estándar, usa <.para floor y >.para ceiling. ^[53] ALGOL usa entierpara floor.

En Microsoft Excel, la función INTredondea hacia abajo en lugar de hacia cero, ^[54] mientras que FLOORredondea hacia cero, lo opuesto a lo que hacen "int" y "floor" en otros lenguajes. Desde 2010, FLOORse ha cambiado a error si el número es negativo. ^[55] El formato de archivo OpenDocument , tal como lo utilizan OpenOffice.org , Libreoffice y otros, INT^[56] y FLOORambos hacen floor, y FLOORtienen un tercer argumento para reproducir el comportamiento anterior de Excel. ^[57]

• Corchete (matemáticas)
• Función con valor entero
• Función escalonada
• Operación módulo

• JWS Cassels (1957), Introducción a la aproximación diofántica , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 45, Cambridge University Press
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Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Funciones de suelo y techo .

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