Serie de Fourier

Una serie de Fourier ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) es una expansión de una función periódica en una suma de funciones trigonométricas . La serie de Fourier es un ejemplo de una serie trigonométrica , pero no todas las series trigonométricas son series de Fourier. ^[2] Al expresar una función como una suma de senos y cosenos, muchos problemas que involucran la función se vuelven más fáciles de analizar porque las funciones trigonométricas se entienden bien. Por ejemplo, las series de Fourier fueron utilizadas por primera vez por Joseph Fourier para encontrar soluciones a la ecuación del calor . Esta aplicación es posible porque las derivadas de las funciones trigonométricas caen en patrones simples. Las series de Fourier no se pueden utilizar para aproximar funciones arbitrarias, porque la mayoría de las funciones tienen infinitos términos en su serie de Fourier, y las series no siempre convergen . Las funciones de buen comportamiento, por ejemplo, las funciones suaves , tienen series de Fourier que convergen a la función original. Los coeficientes de la serie de Fourier se determinan mediante integrales de la función multiplicada por funciones trigonométricas, descritas en Formas comunes de la serie de Fourier a continuación.

El estudio de la convergencia de las series de Fourier se centra en el comportamiento de las sumas parciales , lo que implica estudiar el comportamiento de la suma a medida que se suman más y más términos de la serie. Las figuras siguientes ilustran algunos resultados de series parciales de Fourier para los componentes de una onda cuadrada .

• 
  Una onda cuadrada (representada como el punto azul) se aproxima mediante su sexta suma parcial (representada como el punto violeta), formada al sumar los primeros seis términos (representados como flechas) de la serie de Fourier de la onda cuadrada. Cada flecha comienza en la suma vertical de todas las flechas a su izquierda (es decir, la suma parcial anterior).
• 
  Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada . A medida que se añaden más armónicos, las sumas parciales convergen (se vuelven cada vez más parecidas) a la onda cuadrada.
• 
  La función (en rojo) es una suma de la serie de Fourier de 6 ondas sinusoidales armónicamente relacionadas (en azul). Su transformada de Fourier es una representación en el dominio de la frecuencia que revela las amplitudes de las ondas sinusoidales sumadas.$Estilo de visualización s_{6}(x)$${\displaystyle S(f)}$

Las series de Fourier están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier , una herramienta más general que incluso puede encontrar la información de frecuencia para funciones que no son periódicas. Las funciones periódicas se pueden identificar con funciones en un círculo; por esta razón, las series de Fourier son objeto del análisis de Fourier en un círculo, generalmente denotado como o . La transformada de Fourier también es parte del análisis de Fourier , pero se define para funciones en .${\displaystyle \mathbb {T}}$$Estilo de visualización S_{1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Desde la época de Fourier, se han descubierto muchos enfoques diferentes para definir y comprender el concepto de serie de Fourier, todos ellos coherentes entre sí, pero cada uno de los cuales enfatiza diferentes aspectos del tema. Algunos de los enfoques más potentes y elegantes se basan en ideas y herramientas matemáticas que no estaban disponibles en la época de Fourier. Fourier definió originalmente la serie de Fourier para funciones de valores reales de argumentos reales, y utilizó las funciones seno y coseno en la descomposición. Desde entonces se han definido muchas otras transformadas relacionadas con Fourier , lo que extendió su idea inicial a muchas aplicaciones y dio origen a un área de las matemáticas llamada análisis de Fourier .

Una serie de Fourier es una función continua y periódica creada por la suma de funciones sinusoidales relacionadas armónicamente. Tiene varias formas diferentes, pero equivalentes, que se muestran aquí como sumas parciales. Pero en teoría, los símbolos con subíndice, llamados coeficientes , y el período, determinan la función de la siguiente manera :${\displaystyle N\rightarrow \infty .}$${\estilo de visualización P,}$${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$

Serie de Fourier, forma amplitud-fase

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=D_{0}+\sum _{n=1}^{N}D_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}$

( Ec.1 )

Serie de Fourier, forma seno-coseno

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(A_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+B_{n}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)}$

( Ec.2 )

Serie de Fourier, forma exponencial

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}C_{n}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}}$

( Ec.3 )

Los armónicos se indexan mediante un número entero, que es también el número de ciclos que dan las sinusoides correspondientes en el intervalo . Por lo tanto, las sinusoides tienen :${\displaystyle n,}$${\displaystyle P}$

• una longitud de onda igual a en las mismas unidades que .${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$${\displaystyle x}$
• una frecuencia igual a en las unidades recíprocas de .${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$${\displaystyle x}$

Claramente, estas series pueden representar funciones que son simplemente una suma de una o más frecuencias armónicas. Lo notable es que también pueden representar frecuencias intermedias y/o funciones no sinusoidales debido al número infinito de términos. La forma amplitud-fase es particularmente útil por su comprensión de la lógica de los coeficientes de la serie (véase § Derivación). La forma exponencial es más fácil de generalizar para funciones de valores complejos (véase § Funciones de valores complejos).

La equivalencia de estas formas requiere ciertas relaciones entre los coeficientes. Por ejemplo, la identidad trigonométrica :

Equivalencia de formas polares y rectangulares

${\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \cos(\varphi _{n})\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)}$

( Ec.4 )

significa que :

Por lo tanto y son las coordenadas rectangulares de un vector con coordenadas polares y${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}.}$

Los coeficientes pueden darse o suponerse, como en el caso de un sintetizador musical o de muestras de tiempo de una forma de onda. En este último caso, la forma exponencial de la serie de Fourier sintetiza una transformada de Fourier de tiempo discreto donde la variable representa la frecuencia en lugar del tiempo.${\displaystyle x}$

Pero normalmente los coeficientes se determinan mediante el análisis de frecuencia/armónico de una función de valor real dada y representan el tiempo :${\displaystyle s(x),}$${\displaystyle x}$

Análisis de series de Fourier

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx\\A_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\qquad \\B_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx,\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$

( Ec.5 )

El objetivo es converger a como máximo o a todos los valores de en un intervalo de longitud. Para las funciones de buen comportamiento típicas de los procesos físicos, habitualmente se supone la igualdad, y las condiciones de Dirichlet proporcionan condiciones suficientes.${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P.}$

La notación representa la integración sobre el intervalo elegido. Las opciones típicas son y . Algunos autores definen porque simplifica los argumentos de las funciones sinusoidales, a expensas de la generalidad. Y algunos autores suponen que también es -periódica, en cuyo caso se aproxima a la función completa. El factor de escala se explica tomando un caso simple : Solo se necesita el término de la ecuación 2 para la convergencia, con y   En consecuencia, la ecuación 5 proporciona :${\displaystyle \int _{P}}$${\displaystyle [-P/2,P/2]}$${\displaystyle [0,P]}$${\displaystyle P\triangleq 2\pi }$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ ${\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).}$${\displaystyle n=k}$${\displaystyle A_{k}=1}$${\displaystyle B_{k}=0.}$

${\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,}$       según sea necesario.

Otra identidad aplicable es la fórmula de Euler :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\[6pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}}$

(Nota : el ∗ denota conjugación compleja ).

Sustituyendo esto en la ecuación 1 y comparándolo con la ecuación 3, finalmente se revela :

En cambio :

Sustituyendo la ecuación 5 en la ecuación 6 también se revela : ^[3]

Las ecuaciones 7 y 3 también se aplican cuando es una función de valor complejo. ^[A] Esto se deduce expresando y como series de Fourier de valores reales separadas, y${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))}$${\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))}$${\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).}$

Los coeficientes y pueden entenderse y derivarse en términos de la correlación cruzada entre y una sinusoide en la frecuencia . Para una frecuencia general y un intervalo de análisis, la función de correlación cruzada :${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P],}$

Derivación de la ecuación 1

${\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )={\tfrac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi f(x-\tau )\right)\,dx;\quad \tau \in \left[0,{\tfrac {1}{f}}\right]}$

( Ec.8 )

es esencialmente un filtro adaptado , con plantilla . El máximo de es una medida de la amplitud de la frecuencia en la función , y el valor de en el máximo determina la fase de esa frecuencia. La figura 2 es un ejemplo, donde es una onda cuadrada (no se muestra) y la frecuencia es el armónico. También es un ejemplo de derivación del máximo a partir de solo dos muestras, en lugar de buscar en toda la función. Al combinar la ecuación 8 con la ecuación 4 se obtiene :${\displaystyle \cos(2\pi fx)}$${\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )}$${\displaystyle (D)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\varphi )}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in [0,2\pi ]\\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}}$

La derivada de es cero en la fase de máxima correlación.${\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )}$

${\displaystyle \mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)}$

Por lo tanto, al calcular y según la ecuación 5 se crea la fase de máxima correlación del componente . Y la amplitud del componente es :${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}}$

La notación es inadecuada para analizar los coeficientes de Fourier de varias funciones diferentes. Por lo tanto, se suele reemplazar por una forma modificada de la función ( en este caso), como o , y la notación funcional a menudo reemplaza el subíndice :${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$${\displaystyle S[n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

En ingeniería, en particular cuando la variable representa el tiempo, la secuencia de coeficientes se denomina representación del dominio de frecuencia . Los corchetes se utilizan a menudo para enfatizar que el dominio de esta función es un conjunto discreto de frecuencias.${\displaystyle x}$

Otra representación del dominio de frecuencia comúnmente utilizada utiliza los coeficientes de la serie de Fourier para modular un peine de Dirac :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

donde representa un dominio de frecuencia continua. Cuando la variable tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . Los "dientes" del peine están espaciados en múltiplos (es decir, armónicos ) de , lo que se denomina frecuencia fundamental . se puede recuperar a partir de esta representación mediante una transformada de Fourier inversa :${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$${\displaystyle s_{\infty }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la función construida se denomina comúnmente transformada de Fourier , aunque la integral de Fourier de una función periódica no es convergente en las frecuencias armónicas. ^[B]${\displaystyle S(f)}$

Consideremos una función de diente de sierra :

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

En este caso, los coeficientes de Fourier vienen dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que la serie de Fourier converge a en cada punto donde es diferenciable, y por lo tanto :${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[A_{n}\cos \left(nx\right)+B_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}}$

( Ec.9 )

Cuando , la serie de Fourier converge a 0, que es la semisuma de los límites izquierdo y derecho de s en . Este es un caso particular del teorema de Dirichlet para la serie de Fourier.${\displaystyle x=\pi }$${\displaystyle x=\pi }$

Este ejemplo conduce a una solución del problema de Basilea .

En el § Teorema de Fourier que demuestra la convergencia de las series de Fourier se presenta una prueba de que una serie de Fourier es una representación válida de cualquier función periódica (que satisface las condiciones de Dirichlet ).

En aplicaciones de ingeniería , generalmente se supone que la serie de Fourier converge excepto en discontinuidades de salto, ya que las funciones que se encuentran en ingeniería se comportan mejor que las funciones que se encuentran en otras disciplinas. En particular, si es continua y la derivada de (que puede no existir en todas partes) es integrable al cuadrado, entonces la serie de Fourier de converge de manera absoluta y uniforme a . ^[4] Si una función es integrable al cuadrado en el intervalo , entonces la serie de Fourier converge a la función en casi todas partes . Es posible definir coeficientes de Fourier para funciones o distribuciones más generales, en cuyo caso la convergencia puntual a menudo falla, y generalmente se estudia la convergencia en la norma o convergencia débil .${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• Cuatro sumas parciales (series de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda cuadrada mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)
• Cuatro sumas parciales (series de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda de diente de sierra mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)
• 
  Ejemplo de convergencia hacia una función algo arbitraria. Nótese el desarrollo del "ringing" ( fenómeno de Gibbs ) en las transiciones hacia/desde las secciones verticales.

La serie de Fourier recibe su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), quien realizó importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas , después de las investigaciones preliminares de Leonhard Euler , Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli . ^[C] Fourier introdujo la serie con el propósito de resolver la ecuación del calor en una placa de metal, publicando sus resultados iniciales en su Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( Tratado sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos ) de 1807, y publicando su Théorie analytique de la chaleur ( Teoría analítica del calor ) en 1822. La Mémoire introdujo el análisis de Fourier, específicamente las series de Fourier. A través de la investigación de Fourier se estableció el hecho de que una función arbitraria (al principio, continua ^[5] y luego generalizada a cualquier sección lisa ^[6] ) puede representarse mediante una serie trigonométrica. El primer anuncio de este gran descubrimiento fue realizado por Fourier en 1807, ante la Academia Francesa . ^[7] Las primeras ideas de descomposición de una función periódica en la suma de funciones oscilantes simples se remontan al siglo III a. C., cuando los astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de los movimientos planetarios, basado en deferentes y epiciclos .

La ecuación del calor es una ecuación diferencial parcial . Antes del trabajo de Fourier, no se conocía ninguna solución a la ecuación del calor en el caso general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de una manera simple, en particular, si la fuente de calor era una onda seno o coseno . Estas soluciones simples ahora a veces se denominan soluciones propias . La idea de Fourier era modelar una fuente de calor complicada como una superposición (o combinación lineal ) de ondas seno y coseno simples, y escribir la solución como una superposición de las soluciones propias correspondientes . Esta superposición o combinación lineal se llama serie de Fourier.

Desde un punto de vista moderno, los resultados de Fourier son algo informales, debido a la falta de una noción precisa de función e integral a principios del siglo XIX. Posteriormente, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ^[8] y Bernhard Riemann ^{[9] [10] [11]} expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque la motivación original era resolver la ecuación del calor, más tarde se hizo evidente que las mismas técnicas podrían aplicarse a una amplia gama de problemas matemáticos y físicos, y especialmente a aquellos que involucran ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales las soluciones propias son senos paranasales . La serie de Fourier tiene muchas aplicaciones de este tipo en ingeniería eléctrica , análisis de vibraciones , acústica , óptica , procesamiento de señales , procesamiento de imágenes , mecánica cuántica , econometría , ^[12] teoría de capas , ^[13] etc.

Joseph Fourier escribió: ^{[ dudoso – discutir ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

Multiplicando ambos lados por , y luego integrando de a obtenemos:${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

—  Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides . (1807) ^{[14] [D]}

Esto da inmediatamente cualquier coeficiente a _k de la serie trigonométrica para φ( y ) para cualquier función que tenga dicha expansión. Funciona porque si φ tiene dicha expansión, entonces (bajo supuestos de convergencia adecuados) la integral puede llevarse a cabo término por término. Pero todos los términos que involucran para j ≠ k se anulan cuando se integran de −1 a 1, dejando solo el término.$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$

En estas pocas líneas, que se aproximan al formalismo moderno utilizado en las series de Fourier, Fourier revolucionó tanto las matemáticas como la física. Aunque Euler , d'Alembert , Daniel Bernoulli y Gauss habían utilizado series trigonométricas similares , Fourier creía que dichas series trigonométricas podían representar cualquier función arbitraria. En qué sentido esto es realmente cierto es una cuestión un tanto sutil y los intentos a lo largo de muchos años de aclarar esta idea han conducido a importantes descubrimientos en las teorías de convergencia , espacios de funciones y análisis armónico .

Cuando Fourier presentó un ensayo de competición posterior en 1811, el comité (que incluía a Lagrange , Laplace , Malus y Legendre , entre otros) concluyó: ...la manera en que el autor llega a estas ecuaciones no está exenta de dificultades y... su análisis para integrarlas todavía deja algo que desear en cuanto a generalidad e incluso rigor . ^{[ cita requerida ]}

La expansión de la serie de Fourier de la función diente de sierra (arriba) parece más complicada que la fórmula simple , por lo que no resulta inmediatamente evidente por qué se necesitaría la serie de Fourier. Si bien existen muchas aplicaciones, la motivación de Fourier fue resolver la ecuación del calor . Por ejemplo, considere una placa de metal con forma de cuadrado cuyos lados miden metros, con coordenadas . Si no hay una fuente de calor dentro de la placa, y si tres de los cuatro lados se mantienen a 0 grados Celsius, mientras que el cuarto lado, dado por , se mantiene en el gradiente de temperatura grados Celsius, para en , entonces se puede demostrar que la distribución de calor estacionaria (o la distribución de calor después de que haya transcurrido un largo período de tiempo) está dada por${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$${\displaystyle y=\pi }$${\displaystyle T(x,\pi )=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Aquí, sinh es la función seno hiperbólica . Esta solución de la ecuación del calor se obtiene multiplicando cada término de la ecuación 9 por . Si bien nuestra función de ejemplo parece tener una serie de Fourier innecesariamente complicada, la distribución del calor no es trivial. La función no se puede escribir como una expresión de forma cerrada . Este método de resolver el problema del calor fue posible gracias al trabajo de Fourier.${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle T(x,y)}$${\displaystyle T}$

Otra aplicación es resolver el problema de Basilea utilizando el teorema de Parseval . El ejemplo se generaliza y se puede calcular ζ (2 n ), para cualquier entero positivo n .

En la siguiente tabla se muestran algunos pares comunes de funciones periódicas y sus coeficientes de series de Fourier.

• ${\displaystyle s(x)}$designa una función periódica con período .${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma seno-coseno) de la función periódica .${\displaystyle s(x)}$

Dominio del tiempo ${\displaystyle s(x)}$	Trama	Dominio de frecuencia (forma seno-coseno) ${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}\\&A_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&B_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$	Observaciones	Referencia
${\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}}$	Onda senoidal rectificada de onda completa	[15] : pág. 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	Onda senoidal rectificada de media onda	[15] : pág. 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&AD\\A_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\B_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[15] : pág. 192
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[15] : pág. 192
${\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{3}}\\A_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}}$		[15] : pág. 193

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y el efecto correspondiente en los coeficientes de la serie de Fourier. Notación:

• La conjugación compleja se denota con un asterisco.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$designar funciones periódicas o funciones definidas sólo para${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma exponencial) de y${\displaystyle s}$${\displaystyle r.}$

Propiedad	Dominio del tiempo	Dominio de frecuencia (forma exponencial)	Observaciones	Referencia
Linealidad	${\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)}$	${\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$
Inversión de tiempo / Inversión de frecuencia	${\displaystyle s(-x)}$	${\displaystyle S[-n]}$		[16] : pág. 610
Conjugación del tiempo	${\displaystyle s^{*}(x)}$	${\displaystyle S^{*}[-n]}$		[16] : pág. 610
Inversión temporal y conjugación	${\displaystyle s^{*}(-x)}$	${\displaystyle S^{*}[n]}$
Parte real en el tiempo	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])}$
Parte imaginaria en el tiempo	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])}$
Parte real en frecuencia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}}$
Parte imaginaria en frecuencia	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}}$
Desplazamiento en el tiempo / Modulación en la frecuencia	${\displaystyle s(x-x_{0})}$	${\displaystyle S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}}$	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$	[16] : pág. 610
Cambio de frecuencia / Modulación en el tiempo	${\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}}$	${\displaystyle S[n-n_{0}]\!}$	${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} }$	[16] : pág. 610

Cuando las partes reales e imaginarias de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay una correspondencia biunívoca entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja: ^[17]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

De aquí se desprenden diversas relaciones, por ejemplo:

• La transformada de una función de valor real ( s _RE + s _RO ) es la función simétrica par S _RE + i S _IO . Por el contrario, una transformada simétrica par implica un dominio temporal de valor real.
• La transformada de una función de valor imaginario ( i s _IE + i s _IO ) es la función simétrica impar S _RO + i S _IE , y la inversa es verdadera.
• La transformada de una función par-simétrica ( s _RE + i s _IO ) es la función de valor real S _RE + S _RO , y lo inverso es cierto.
• La transformada de una función impar-simétrica ( s _RO + i s _IE ) es la función de valor imaginario i S _IE + i S _IO , y lo inverso es cierto.

Si es integrable , , y Este resultado se conoce como el lema de Riemann-Lebesgue .${\displaystyle S}$${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

Si pertenece a (periódico sobre un intervalo de longitud ) entonces :${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{2}(P)}$${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$

Si son coeficientes y entonces existe una función única tal que para cada .${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$${\displaystyle S[n]=c_{n}}$${\displaystyle n}$

Dadas funciones periódicas y con coeficientes de series de Fourier y${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{_{P}}}$${\displaystyle r_{_{P}}}$${\displaystyle S[n]}$${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• El producto puntual : también es periódico, y sus coeficientes de serie de Fourier están dados por la convolución discreta de las secuencias y :$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• La convolución periódica : también es -periódica, con coeficientes de la serie de Fourier :$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$${\displaystyle P}$ $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• Una secuencia doblemente infinita en es la secuencia de coeficientes de Fourier de una función en si y sólo si es una convolución de dos secuencias en . Véase ^[18]${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

Decimos que pertenece a si es una función periódica 2 π en la que es diferenciable 2 veces, y su derivada es continua.${\displaystyle s}$${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$

• Si , entonces los coeficientes de Fourier de la derivada se pueden expresar en términos de los coeficientes de Fourier de la función , mediante la fórmula .${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]=in{\widehat {s}}[n]}$
• Si , entonces . En particular, dado que para un fijo tenemos como , se deduce que tiende a cero, lo que significa que los coeficientes de Fourier convergen a cero más rápido que la k -ésima potencia de n para cualquier .${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle k\geq 1}$

Una de las propiedades interesantes de la transformada de Fourier que hemos mencionado es que lleva las convoluciones a productos puntuales. Si esa es la propiedad que buscamos preservar, se pueden producir series de Fourier en cualquier grupo compacto . Los ejemplos típicos incluyen aquellos grupos clásicos que son compactos. Esto generaliza la transformada de Fourier a todos los espacios de la forma L ² ( G ), donde G es un grupo compacto, de tal manera que la transformada de Fourier lleva las convoluciones a productos puntuales. La serie de Fourier existe y converge de manera similar al caso [− π , π ] .

Una extensión alternativa a los grupos compactos es el teorema de Peter-Weyl , que demuestra resultados sobre representaciones de grupos compactos análogos a los de los grupos finitos.

Si el dominio no es un grupo, entonces no hay una convolución intrínsecamente definida. Sin embargo, si es una variedad compacta de Riemann , tiene un operador de Laplace-Beltrami . El operador de Laplace-Beltrami es el operador diferencial que corresponde al operador de Laplace para la variedad de Riemann . Entonces, por analogía, uno puede considerar ecuaciones de calor en . Dado que Fourier llegó a su base al intentar resolver la ecuación de calor, la generalización natural es usar las soluciones propias del operador de Laplace-Beltrami como base. Esto generaliza las series de Fourier a espacios del tipo , donde es una variedad de Riemann. La serie de Fourier converge de formas similares al caso. Un ejemplo típico es tomar como la esfera con la métrica habitual, en cuyo caso la base de Fourier consiste en armónicos esféricos .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle X}$

La generalización a grupos compactos que se analizó anteriormente no se puede generalizar a grupos no compactos, no abelianos . Sin embargo, existe una generalización directa a grupos abelianos localmente compactos (LCA) .

Esto generaliza la transformada de Fourier a o , donde es un grupo LCA. Si es compacto, también se obtiene una serie de Fourier, que converge de manera similar al caso, pero si no es compacto, se obtiene en cambio una integral de Fourier . Esta generalización produce la transformada de Fourier habitual cuando el grupo abeliano localmente compacto subyacente es .${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

También podemos definir la serie de Fourier para funciones de dos variables y en el cuadrado :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

Además de ser útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación del calor, una aplicación notable de las series de Fourier sobre el cuadrado es la compresión de imágenes . En particular, el estándar de compresión de imágenes JPEG utiliza la transformada de coseno discreta bidimensional , una forma discreta de la transformada de coseno de Fourier , que utiliza solo el coseno como función base.

En el caso de matrices bidimensionales con una apariencia escalonada, la mitad de los coeficientes de la serie de Fourier desaparecen debido a la simetría adicional. ^[19]

Una red de Bravais tridimensional se define como el conjunto de vectores de la forma: donde son números enteros y son tres vectores linealmente independientes. Suponiendo que tenemos alguna función, , tal que obedece la condición de periodicidad para cualquier vector de la red de Bravais , , podríamos hacer una serie de Fourier de ella. Este tipo de función puede ser, por ejemplo, el potencial efectivo que un electrón "siente" dentro de un cristal periódico. Es útil hacer la serie de Fourier del potencial cuando se aplica el teorema de Bloch . Primero, podemos escribir cualquier vector de posición arbitrario en el sistema de coordenadas de la red: donde lo que significa que se define como la magnitud de , por lo que es el vector unitario dirigido a lo largo de .$${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

De esta manera podemos definir una nueva función,$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Esta nueva función, , es ahora una función de tres variables, cada una de las cuales tiene periodicidad , , y respectivamente:${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{3}}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

Esto nos permite construir un conjunto de coeficientes de Fourier, cada uno de ellos indexado por tres enteros independientes . En lo que sigue, utilizamos la notación de funciones para denotar estos coeficientes, donde antes usábamos subíndices. Si escribimos una serie para en el intervalo para , podemos definir lo siguiente:${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

Y luego podemos escribir:$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

Definiciones más detalladas:$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$