Notación matemática

Sistema de representación simbólica

La notación matemática consiste en utilizar símbolos para representar operaciones , números no especificados , relaciones y cualquier otro objeto matemático y ensamblarlos en expresiones y fórmulas . La notación matemática se utiliza ampliamente en matemáticas , ciencias e ingeniería para representar conceptos y propiedades complejos de una manera concisa, inequívoca y precisa.

Por ejemplo, la fórmula del físico Albert Einstein es la representación cuantitativa en notación matemática de la equivalencia masa-energía . ^[1] $Estilo de visualización E=mc^{2}}$

La notación matemática fue introducida por primera vez por François Viète a finales del siglo XVI y ampliada en gran medida durante los siglos XVII y XVIII por René Descartes , Isaac Newton , Gottfried Wilhelm Leibniz y, sobre todo, Leonhard Euler .

Símbolos

El uso de muchos símbolos es la base de la notación matemática. Desempeñan un papel similar al de las palabras en los lenguajes naturales . Pueden desempeñar diferentes papeles en la notación matemática, de manera similar a como los verbos, adjetivos y sustantivos desempeñan diferentes papeles en una oración.

Las letras como símbolos

Las letras se utilizan normalmente para nombrar (en la jerga matemática , se dice representar ) objetos matemáticos . Los alfabetos latino y griego se utilizan ampliamente, pero también se utilizan esporádicamente algunas letras de otros alfabetos, como el hebreo ⁠ ⁠ ${\estilo de visualización \aleph}$ , el cirílico $Ш$ y el hiragana $よ$ . Las letras mayúsculas y minúsculas se consideran símbolos diferentes. Para el alfabeto latino, diferentes tipos de letra también proporcionan diferentes símbolos. Por ejemplo, y podrían aparecer teóricamente en el mismo texto matemático con seis significados diferentes. Normalmente, la tipografía romana vertical no se utiliza para símbolos, excepto para símbolos que representan una función estándar, como el símbolo " " de la función seno . ^[2] $r,R,\mathbb {R},{\mathcal {R}},{\mathfrak {r}},$ ${\mathfrak {R}}$ $\pecado$

Para tener más símbolos y permitir que los objetos matemáticos relacionados se representen mediante símbolos relacionados, a menudo se utilizan diacríticos , subíndices y superíndices . Por ejemplo, puede denotar la transformada de Fourier de la derivada de una función llamada ${\hat {f'_{1}}}$ $f_{1}.$

Otros símbolos

Los símbolos no sólo se utilizan para nombrar objetos matemáticos, sino que también se pueden utilizar para operaciones , relaciones , conectores lógicos , cuantificadores y otros fines. $(+,-,/,\oplus ,\ldots ),$ $(=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),$ $(\implies ,\land ,\lor ,\ldots ),$ $(\paratodos,\existe),$

Algunos símbolos son similares a las letras latinas o griegas, algunos se obtienen deformando las letras, algunos son símbolos tipográficos tradicionales , pero muchos han sido diseñados especialmente para las matemáticas.

Expresiones

Una expresión es una combinación finita de símbolos que está bien formada según reglas que dependen del contexto. En general, una expresión denota o nombra un objeto matemático y, por lo tanto, cumple en el lenguaje de las matemáticas el papel de una frase nominal en el lenguaje natural.

Una expresión contiene a menudo algunos operadores y, por lo tanto, puede evaluarse mediante la acción de los operadores que contiene. Por ejemplo, es una expresión en la que el operador puede evaluarse para dar el resultado Entonces, y son dos expresiones diferentes que representan el mismo número. Este es el significado de la igualdad ${\estilo de visualización 3+2}$ ${\estilo de visualización +}$ ${\estilo de visualización 5.}$ ${\estilo de visualización 3+2}$ ${\estilo de visualización 5}$ $3+2=5.$

Un ejemplo más complicado lo da la expresión que puede evaluarse como Aunque la expresión resultante contiene los operadores de división , resta y exponenciación , no puede evaluarse más porque $a$ y $b$ denotan números no especificados. ${\textstyle \int _{a}^{b}xdx}$ ${\textstyle {\frac {b^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}.}$

Historia

Números

Se cree que una notación para representar números se desarrolló por primera vez hace al menos 50.000 años ^[3] —las primeras ideas matemáticas como el conteo con los dedos ^[4] también han sido representadas por colecciones de rocas, palos, huesos, arcilla, piedra, tallas de madera y cuerdas anudadas. El palo de conteo es una forma de contar que se remonta al Paleolítico superior . Quizás los textos matemáticos más antiguos conocidos sean los de la antigua Sumeria . El quipu del censo de los Andes y el hueso de Ishango de África utilizaron el método de marca de conteo para contabilizar conceptos numéricos.

El concepto de cero y la introducción de una notación para él son avances importantes en las matemáticas tempranas, que anteceden por siglos al concepto de cero como número. Fue utilizado como marcador de posición por los babilonios y los egipcios griegos , y luego como un número entero por los mayas , los indios y los árabes (véase la historia del cero ).

Notación moderna

Hasta el siglo XVI, las matemáticas eran esencialmente retóricas , en el sentido de que todo lo que no fueran números explícitos se expresaba con palabras. Sin embargo, algunos autores como Diofanto utilizaban algunos símbolos como abreviaturas.

El primer uso sistemático de fórmulas y, en particular, el uso de símbolos ( variables ) para números no especificados se atribuye generalmente a François Viète (siglo XVI). Sin embargo, utilizó símbolos diferentes a los que hoy son estándar.

Más tarde, René Descartes (siglo XVII) introdujo la notación moderna para variables y ecuaciones ; en particular, el uso de para cantidades desconocidas y para cantidades conocidas ( constantes ). Introdujo también la notación $i$ y el término "imaginario" para la unidad imaginaria . ${\estilo de visualización x,y,z}$ ${\estilo de visualización a,b,c}$

Los siglos XVIII y XIX fueron testigos de la estandarización de la notación matemática tal como se utiliza hoy en día. Leonhard Euler fue responsable de muchas de las notaciones que se utilizan actualmente: la notación funcional $e$ para la base del logaritmo natural, para la suma , etc. ^[5] También popularizó el uso de $π$ para la constante de Arquímedes (propuesta por William Jones , basada en una notación anterior de William Oughtred ). ^[6] ${\estilo de visualización f(x),}$ ${\textstyle\suma}$

Desde entonces se han introducido muchas notaciones nuevas, a menudo específicas de un área particular de las matemáticas. Algunas notaciones llevan el nombre de sus inventores, como la notación de Leibniz , el símbolo de Legendre , la convención de suma de Einstein , etc.

Tipografía

Los sistemas de composición tipográfica general no suelen ser adecuados para la notación matemática. Una de las razones es que, en la notación matemática, los símbolos suelen estar dispuestos en figuras bidimensionales, como en:

\sum_{n=0}^{\infty} {\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.

TeX es un sistema de composición tipográfica de orientación matemática creado en 1978 por Donald Knuth . Se utiliza ampliamente en matemáticas, a través de su extensión llamada LaTeX , y es un estándar de facto . (La expresión anterior está escrita en LaTeX).

Más recientemente, MathML ofrece otro método para la composición tipográfica matemática . Sin embargo, no es compatible con los navegadores web, que es su principal objetivo.

Notación matemática estándar internacional

La norma internacional ISO 80000-2 (anteriormente, ISO 31-11 ) especifica los símbolos que se deben utilizar en ecuaciones matemáticas. La norma exige el uso de fuentes cursivas para las variables (por ejemplo, ^E= mc2 ) y fuentes romanas (verticales) para las constantes matemáticas (por ejemplo, e o π).

Notación matemática no basada en el latín

La notación matemática árabe moderna se basa principalmente en el alfabeto árabe y se utiliza ampliamente en el mundo árabe , especialmente en la educación preuniversitaria . (La notación occidental utiliza números arábigos , pero la notación árabe también reemplaza letras latinas y símbolos relacionados con la escritura árabe).

Además de la notación árabe, las matemáticas también utilizan letras griegas para denotar una amplia variedad de objetos y variables matemáticas. En algunas ocasiones, también se utilizan ciertas letras hebreas (como en el contexto de los cardinales infinitos ).

Algunas notaciones matemáticas son en su mayoría diagramáticas y, por lo tanto, casi totalmente independientes de la escritura. Algunos ejemplos son la notación gráfica de Penrose y los diagramas de Coxeter-Dynkin .

Las notaciones matemáticas basadas en Braille utilizadas por personas ciegas incluyen Nemeth Braille y GS8 Braille .

Véase también

Referencias

^ Einstein, Alberto (1905). "¿Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?". Annalen der Physik (en alemán). 323 (13): 639–641. doi : 10.1002/andp.19053231314. ISSN 0003-3804.
^ ISO 80000-2:2019
^ Eves, Howard (1990). Introducción a la historia de las matemáticas (6.ª ed.). pág. 9. ISBN 978-0-03-029558-4.
^ Ifrah, Georges (2000). La historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención de la computadora . Traducido por Bellos, David; Harding, EF; Wood, Sophie; Monk, Ian. John Wiley and Sons . pág. 48. ISBN. 0-471-39340-1.(NB. Ifrah apoya su tesis citando frases idiomáticas de idiomas de todo el mundo. Señala que los humanos aprendieron a contar con las manos. Muestra, por ejemplo, una imagen de Boecio (que vivió entre 480 y 524 o 525) contando con los dedos.)
^ Boyer, Carl Benjamin ; Merzbach, Uta C. (1991). Una historia de las matemáticas. John Wiley & Sons . págs. 442–443. ISBN 978-0-471-54397-8.
^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi desatado. Springer-Verlag . pag. 166.ISBN 978-3-540-66572-4.

Lectura adicional

Florian Cajori , Historia de las notaciones matemáticas (1929), 2 volúmenes. ISBN 0-486-67766-4
Mazur, Joseph (2014), Símbolos esclarecedores: una breve historia de la notación matemática y sus poderes ocultos. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15463-3

Enlaces externos

Los primeros usos de varios símbolos matemáticos
Notación matemática ASCII cómo escribir notación matemática en cualquier editor de texto.
Matemáticas como lenguaje en Cut-the-Knot
Stephen Wolfram : Notación matemática: pasado y futuro. Octubre de 2000. Transcripción de una conferencia magistral presentada en MathML y Math on the Web: Conferencia internacional de MathML.

[1] Einstein, Alberto (1905). "¿Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?". Annalen der Physik (en alemán). 323 (13): 639–641. doi : 10.1002/andp.19053231314. ISSN 0003-3804.

[2] ISO 80000-2:2019

[Eves_1990-3] Eves, Howard (1990). Introducción a la historia de las matemáticas (6.ª ed.). pág. 9. ISBN 978-0-03-029558-4.

[Ifrah_2000-4] Ifrah, Georges (2000). La historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención de la computadora . Traducido por Bellos, David; Harding, EF; Wood, Sophie; Monk, Ian. John Wiley and Sons . pág. 48. ISBN. 0-471-39340-1.(NB. Ifrah apoya su tesis citando frases idiomáticas de idiomas de todo el mundo. Señala que los humanos aprendieron a contar con las manos. Muestra, por ejemplo, una imagen de Boecio (que vivió entre 480 y 524 o 525) contando con los dedos.)

[Boyer-Merzbach_1991-5] Boyer, Carl Benjamin ; Merzbach, Uta C. (1991). Una historia de las matemáticas. John Wiley & Sons . págs. 442–443. ISBN 978-0-471-54397-8.

[Arndt-Haenel_2006-6] Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi desatado. Springer-Verlag . pag. 166.ISBN 978-3-540-66572-4.