Experimento de Cavendish

El experimento de Cavendish , realizado entre 1797 y 1798 por el científico inglés Henry Cavendish , fue el primer experimento en el que se midió la fuerza de gravedad entre masas en el laboratorio ^[1] y el primero en obtener valores precisos para la constante gravitacional . ^{[2] [3] [4]} Debido a las convenciones de unidades que se utilizaban entonces , la constante gravitacional no aparece explícitamente en el trabajo de Cavendish. En cambio, el resultado se expresó originalmente como la densidad relativa de la Tierra ^[5] o, equivalentemente, la masa de la Tierra . Su experimento proporcionó los primeros valores precisos para estas constantes geofísicas .

El experimento fue ideado en algún momento antes de 1783 por el geólogo John Michell , ^{[6] [7]} quien construyó un aparato de balanza de torsión para ello. Sin embargo, Michell murió en 1793 sin completar el trabajo. Después de su muerte, el aparato pasó a manos de Francis John Hyde Wollaston y luego de Cavendish, quien lo reconstruyó pero se mantuvo fiel al plan original de Michell. Cavendish luego realizó una serie de mediciones con el equipo y publicó sus resultados en Philosophical Transactions of the Royal Society en 1798. ^[8]

El aparato consistía en una balanza de torsión hecha de una varilla de madera de seis pies (1,8 m) suspendida horizontalmente de un alambre, con dos esferas de plomo de 2 pulgadas (51 mm) de diámetro y 1,61 libras (0,73 kg) , una unida a cada extremo. Dos enormes bolas de plomo de 12 pulgadas (300 mm) y 348 libras (158 kg), suspendidas por separado, podían colocarse lejos o a cada lado de las bolas más pequeñas, a 8,85 pulgadas (225 mm) de distancia. ^[9] El experimento midió la débil atracción gravitatoria entre las bolas pequeñas y grandes, que desvió la varilla de la balanza de torsión aproximadamente 0,16" (o solo 0,03" con un alambre de suspensión más rígido).

Las dos bolas grandes podían colocarse tanto lejos como a ambos lados de la barra de equilibrio de torsión. Su atracción mutua hacia las bolas pequeñas hacía que el brazo girara, torciendo el cable de suspensión. El brazo giraba hasta alcanzar un ángulo en el que la fuerza de torsión del cable equilibraba la fuerza de atracción gravitatoria combinada entre las esferas de plomo grande y pequeña. Al medir el ángulo de la barra y conocer la fuerza de torsión ( torque ) del cable para un ángulo dado, Cavendish pudo determinar la fuerza entre los pares de masas. Dado que la fuerza gravitatoria de la Tierra sobre la bola pequeña podía medirse directamente pesándola, la relación de las dos fuerzas permitió calcular la densidad relativa de la Tierra, utilizando la ley de gravitación de Newton .

Cavendish descubrió que la densidad de la Tierra era5,448 ± 0,033 veces la del agua (aunque debido a un simple error aritmético , encontrado en 1821 por Francis Baily , el valor erróneo5,480 ± 0,038 aparece en su artículo). ^{[10] [11]} El valor aceptado actualmente es 5,514 g/cm ³ .

Para encontrar el coeficiente de torsión del alambre , el par ejercido por el alambre para un ángulo de torsión dado, Cavendish cronometró el período de oscilación natural de la varilla de equilibrio mientras giraba lentamente en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj contra la torsión del alambre. Para los primeros 3 experimentos, el período fue de aproximadamente 15 minutos y para los siguientes 14 experimentos, el período fue la mitad de eso, aproximadamente 7,5 minutos. El período cambió porque después del tercer experimento Cavendish colocó un alambre más rígido. El coeficiente de torsión se pudo calcular a partir de esto y de la masa y las dimensiones del equilibrio. En realidad, la varilla nunca estaba en reposo; Cavendish tuvo que medir el ángulo de deflexión de la varilla mientras oscilaba. ^[12]

El equipo de Cavendish era notablemente sensible para su época. ^[10] La fuerza involucrada en girar la balanza de torsión era muy pequeña,1,74 × 10 ⁻⁷  N , ^[13] (el peso de solo 0,0177 miligramos) o aproximadamente 1 ⁄ 50 000 000 del peso de las pequeñas bolas. ^[14] Para evitar que las corrientes de aire y los cambios de temperatura interfirieran con las mediciones, Cavendish colocó todo el aparato en una caja de caoba de aproximadamente 1,98 metros de ancho, 1,27 metros de alto y 14 cm de grosor, [1] todo en un cobertizo cerrado en su propiedad. A través de dos agujeros en las paredes del cobertizo, Cavendish usó telescopios para observar el movimiento de la varilla horizontal de la balanza de torsión. El observable clave fue, por supuesto, la desviación de la varilla de la balanza de torsión, que Cavendish midió en aproximadamente 0,16" (o solo 0,03" para el alambre más rígido que se usa principalmente). ^[15] Cavendish fue capaz de medir esta pequeña desviación con una precisión mejor que 0,01 pulgadas (0,25 mm) utilizando escalas vernier en los extremos de la varilla. ^[16] La precisión del resultado de Cavendish no fue superada hasta el experimento de CV Boys en 1895. Con el tiempo, la balanza de torsión de Michell se convirtió en la técnica dominante para medir la constante gravitacional ( G ) y la mayoría de las mediciones contemporáneas todavía utilizan variaciones de la misma. ^[17]

El resultado de Cavendish proporcionó evidencia adicional de un núcleo planetario hecho de metal, una idea propuesta por primera vez por Charles Hutton con base en su análisis del experimento Schiehallion de 1774. ^[18] El resultado de Cavendish de 5,4 g·cm ⁻³ , 23% más grande que el de Hutton, es cercano al 80% de la densidad del hierro líquido y 80% más alto que la densidad de la corteza exterior de la Tierra , lo que sugiere la existencia de un núcleo de hierro denso. ^[19]

La formulación de la gravedad newtoniana en términos de una constante gravitacional no se convirtió en la norma hasta mucho después de la época de Cavendish. De hecho, una de las primeras referencias a G data de 1873, 75 años después del trabajo de Cavendish. ^[20]

Cavendish expresó su resultado en términos de la densidad de la Tierra. Se refirió a su experimento en correspondencia como "pesar el mundo". Autores posteriores reformularon sus resultados en términos modernos. ^{[21] [22] [23]}

${\displaystyle G=g{\frac {R_{\text{tierra}}^{2}}{M_{\text{tierra}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{tierra}}\rho _{\text{tierra}}}}\,}$

Después de convertir a unidades SI , el valor de Cavendish para la densidad de la Tierra, 5,448 g cm ⁻³ , da

G =6,74 × 10 ⁻¹¹  m3 ^kg  – ¹  s ⁻² , ^[24]

que difiere solo en un 1% del valor CODATA de 20146,67408 × 10 ⁻¹¹  m ³  kg ⁻¹  s ⁻² . ^[25] Hoy en día, los físicos suelen utilizar unidades en las que la constante gravitacional adopta una forma diferente. La constante gravitacional gaussiana utilizada en la dinámica espacial es una constante definida y el experimento de Cavendish puede considerarse como una medida de esta constante. En la época de Cavendish, los físicos utilizaban las mismas unidades para la masa y el peso, tomando en efecto g como una aceleración estándar. Entonces, dado que se conocía R _{tierra ,} ρ _tierra desempeñaba el papel de una constante gravitacional inversa. Por lo tanto, la densidad de la Tierra era una cantidad muy buscada en ese momento, y hubo intentos anteriores de medirla, como el experimento de Schiehallion en 1774.

El siguiente no es el método que utilizó Cavendish, pero describe cómo los físicos modernos calcularían los resultados de su experimento. ^{[26] [27] [28]} De la ley de Hooke , el torque en el cable de torsión es proporcional al ángulo de deflexión de la balanza. El torque es donde es el coeficiente de torsión del cable. Sin embargo, un torque en la dirección opuesta también es generado por la atracción gravitatoria de las masas. Puede escribirse como un producto de la fuerza de atracción de una bola grande sobre una bola pequeña y la distancia L/2 al cable de suspensión. Dado que hay dos pares de bolas, cada una experimenta una fuerza F a una distancia ⁠${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle \kappa \theta}$${\estilo de visualización \kappa}$yo/2⁠ desde el eje de la balanza, el par debido a la fuerza gravitacional es LF . En equilibrio (cuando la balanza se ha estabilizado en un ángulo ), la cantidad total de par debe ser cero ya que estas dos fuentes de par se equilibran. Por lo tanto, podemos igualar sus magnitudes dadas por las fórmulas anteriores, lo que da lo siguiente:${\estilo de visualización \theta}$

${\displaystyle \kappa \theta \ =LF\,}$

Para F , se utiliza la ley de gravitación universal de Newton para expresar la fuerza de atracción entre una bola grande y una pequeña:

${\displaystyle F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,}$

Sustituyendo F en la primera ecuación anterior se obtiene

${\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

Para encontrar el coeficiente de torsión ( ) del alambre, Cavendish midió el período de oscilación resonante natural T del equilibrio de torsión:${\estilo de visualización \kappa}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}}$

Suponiendo que la masa de la viga de torsión en sí es despreciable, el momento de inercia de la balanza se debe únicamente a las pequeñas bolas. Si las consideramos masas puntuales, cada una a L/2 del eje, obtenemos:

${\displaystyle I=m({\frac {L}{2}}\right)^{2}+m({\frac {L}{2}}\right)^{2}=2m({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{2}}\,}$,

y entonces:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,}$

Resolviendo esto para , sustituyendo en (1) y reordenando para G , el resultado es:${\estilo de visualización \kappa}$

${\displaystyle G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}\theta }{MT^{2}}}\,}$.

Una vez que se ha encontrado G , la atracción de un objeto en la superficie de la Tierra hacia la Tierra misma se puede utilizar para calcular la masa y la densidad de la Tierra :

${\displaystyle mg={\frac {GmM_{\rm {tierra}}}{R_{\rm {tierra}}^{2}}}\,}$

${\displaystyle M_{\rm {tierra}}={\frac {gR_{\rm {tierra}}^{2}}{G}}\,}$

${\displaystyle \rho _{\rm {tierra}}={\frac {M_{\rm {tierra}}}{{\tfrac {4}{3}}\pi R_{\rm {tierra}}^{3}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\rm {tierra}}G}}\,}$

Símbolo	Unidad	Definición
${\estilo de visualización \theta}$	radianes	Desviación de la viga de equilibrio de torsión desde su posición de reposo
F	norte	Fuerza gravitacional entre masas M y m
GRAMO	m3kg − 1s − 2​	Constante gravitacional
metro	kilogramo	Masa de bola de plomo pequeña
METRO	kilogramo	Masa de bola de plomo grande
a	metro	Distancia entre los centros de bolas grandes y pequeñas cuando se desvía el equilibrio
yo	metro	Longitud de la viga de equilibrio de torsión entre los centros de las bolas pequeñas
${\estilo de visualización \kappa}$	Nmrad −1	Coeficiente de torsión del cable de suspensión
I	kilogramos m2	Momento de inercia de la viga de equilibrio de torsión
yo	s	Periodo de oscilación de la balanza de torsión
gramo	ms -2	Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra.
M tierra	kilogramo	Masa de la Tierra
R tierra	metro	Radio de la Tierra
${\estilo de visualización \rho}$tierra	kg m −3	Densidad de la Tierra

• Medios relacionados con el experimento Cavendish en Wikimedia Commons

• El experimento de Cavendish en las Conferencias Feynman sobre Física
• Gravedad lateral en el sótano, The Citizen Scientist, 1 de julio de 2005. Experimento casero de Cavendish, que muestra el cálculo de los resultados y las precauciones necesarias para eliminar los errores de viento y electrostáticos.
• "Big 'G'", Physics Central, consultado el 8 de diciembre de 2013. Experimento en la Universidad de Washington para medir la constante gravitacional utilizando una variación del método Cavendish.
• Grupo Eöt-Wash, Universidad de Washington. «La controversia sobre la constante gravitacional de Newton». Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. Consultado el 8 de diciembre de 2013 .. Se analiza el estado actual de las mediciones de G.
• Modelo de la balanza de torsión de Cavendish, recuperado el 28 de agosto de 2007 en el Museo de Ciencias de Londres.