Experimento de Schiehallion

56°40′4″N 4°5′52″O / 56.66778, -4.09778

El experimento de Schiehallion fue un experimento del siglo XVIII para determinar la densidad media de la Tierra . Financiado por una beca de la Royal Society , se llevó a cabo en el verano de 1774 alrededor de la montaña escocesa de Schiehallion , Perthshire . El experimento consistía en medir la pequeña desviación de la vertical debido a la atracción gravitatoria de una montaña cercana. Schiehallion se consideró el lugar ideal después de una búsqueda de montañas candidatas, gracias a su aislamiento y forma casi simétrica.

El experimento había sido considerado previamente, pero rechazado, por Isaac Newton como una demostración práctica de su teoría de la gravitación ; sin embargo, un equipo de científicos, en particular Nevil Maskelyne , el astrónomo real , estaba convencido de que el efecto sería detectable y se comprometió a realizar el experimento. El ángulo de desviación dependía de las densidades relativas y los volúmenes de la Tierra y la montaña: si se podía determinar la densidad y el volumen de Schiehallion, también se podía determinar la densidad de la Tierra. Una vez que se supiera esto, a su vez se obtendrían valores aproximados para los de los otros planetas, sus lunas y el Sol , que anteriormente solo se conocían en términos de sus proporciones relativas.

Un péndulo cuelga recto hacia abajo en un campo gravitatorio simétrico . Sin embargo, si hay una masa suficientemente grande cerca, como una montaña, su atracción gravitatoria debería desviar ligeramente la plomada del péndulo ( en el sentido de que no apunta al centro de masas de la Tierra). El cambio en el ángulo de la plomada con respecto a un objeto conocido, como una estrella, podría medirse cuidadosamente en lados opuestos de la montaña. Si la masa de la montaña pudiera establecerse independientemente a partir de una determinación de su volumen y una estimación de la densidad media de sus rocas, entonces estos valores podrían extrapolarse para proporcionar la densidad media de la Tierra y, por extensión, su masa .

Isaac Newton había considerado el efecto en los Principia , ^[1] pero pensó pesimistamente que cualquier montaña real produciría una desviación demasiado pequeña para medirla. ^[2] Los efectos gravitacionales, escribió, solo eran discernibles a escala planetaria. ^[2] El pesimismo de Newton no tenía fundamento: aunque sus cálculos habían sugerido una desviación de menos de 2  minutos de arco (para una montaña idealizada de tres millas de altura [5 km]), este ángulo, aunque muy leve, estaba dentro de la capacidad teórica de los instrumentos de su época. ^[3]

Un experimento para comprobar la idea de Newton proporcionaría pruebas que respaldarían tanto su ley de gravitación universal como estimaciones de la masa y la densidad de la Tierra. Dado que las masas de los objetos astronómicos se conocían solo en términos de proporciones relativas, la masa de la Tierra proporcionaría valores razonables para los otros planetas , sus lunas y el Sol . Los datos también fueron capaces de determinar el valor de la constante de gravitación newtoniana  G , aunque este no era un objetivo de los experimentadores; las referencias a un valor para G no aparecerían en la literatura científica hasta casi cien años después. ^[4]

Un par de astrónomos franceses, Pierre Bouguer y Charles Marie de La Condamine , fueron los primeros en intentar el experimento, llevando a cabo sus mediciones en el volcán Chimborazo de 6.268 metros (20.564 pies) . En ese momento, este se encontraba en la " Real Audiencia de Quito " del Virreinato del Perú , ^[5] y ahora está en la provincia de Chimborazo en la República del Ecuador . Su expedición había salido de Francia hacia Sudamérica en 1735 para tratar de medir la longitud del arco meridiano de un grado de latitud cerca del ecuador , pero aprovecharon la oportunidad para intentar el experimento de desviación. En diciembre de 1738, en condiciones muy difíciles de terreno y clima, llevaron a cabo un par de mediciones a altitudes de 4.680 y 4.340 m. ^[6] Bouguer escribió en un artículo de 1749 que habían podido detectar una desviación de 8  segundos de arco , pero restó importancia a sus resultados, sugiriendo que el experimento se llevaría a cabo mejor en condiciones más fáciles en Francia o Inglaterra. ^{[3] [6]} Añadió que el experimento al menos había demostrado que la Tierra no podía ser una cáscara hueca , como habían sugerido algunos pensadores de la época, incluido Edmond Halley . ^[5]

Entre 1763 y 1767, durante las operaciones para inspeccionar la línea Mason-Dixon entre los estados de Pensilvania y Maryland, los astrónomos británicos encontraron muchos más errores sistemáticos y no aleatorios de lo que se podría haber esperado, lo que extendió el trabajo más tiempo de lo planeado. ^[7] Cuando esta información llegó a los miembros de la Royal Society, Henry Cavendish se dio cuenta de que el fenómeno podría haberse debido a la atracción gravitatoria de las cercanas montañas Allegheny , que probablemente habían desviado las líneas de plomada de los teodolitos y los líquidos dentro de los niveles de burbuja . ^[8]

Ante esta noticia, Nevil Maskelyne , astrónomo real , propuso a la Royal Society en 1772 un nuevo intento de experimento . ^[9] Sugirió que el experimento "honraría a la nación donde se realizó" ^[3] y propuso Whernside en Yorkshire o el macizo de Blencathra - Skiddaw en Cumberland como objetivos adecuados. La Royal Society formó el Comité de Atracción para estudiar el asunto, nombrando a Maskelyne, Joseph Banks y Benjamin Franklin entre sus miembros. ^[10] El Comité envió al astrónomo y topógrafo Charles Mason para encontrar una montaña adecuada. ^[1]

Después de una larga búsqueda durante el verano de 1773, Mason informó que el mejor candidato era Schiehallion (entonces escrito Schehallien ), un pico de 1083 m (3553 pies) que se encontraba entre Loch Tay y Loch Rannoch en las Tierras Altas centrales de Escocia . ^[10] La montaña se encontraba aislada de cualquier colina cercana, lo que reduciría su influencia gravitatoria, y su cresta simétrica este-oeste simplificaría los cálculos. Sus empinadas laderas norte y sur permitirían que el experimento se ubicara cerca de su centro de masa , maximizando el efecto de deflexión.

Mason se negó a realizar el trabajo él mismo por la comisión ofrecida de una guinea por día. ^[10] Por lo tanto, la tarea recayó en Maskelyne, por lo que se le concedió una licencia temporal de sus funciones como astrónomo real. Fue ayudado en la tarea por el matemático y topógrafo Charles Hutton y Reuben Burrow , que era matemático del Observatorio Real de Greenwich . Se contrató una fuerza laboral de trabajadores para construir observatorios para los astrónomos y ayudar en la topografía. El equipo científico estaba particularmente bien equipado: sus instrumentos astronómicos incluían un cuadrante de latón de 12 pulgadas (30 cm) de la expedición del tránsito de Venus de Cook de 1769 , un sector cenital de 10 pies (3,0 m) y un regulador ( reloj de péndulo de precisión ) para cronometrar las observaciones astronómicas. ^[11] También adquirieron un teodolito y una cadena de Gunter para inspeccionar la montaña, y un par de barómetros para medir la altitud. ^[11] Se dispuso de una generosa financiación para el experimento debido a la falta de fondos para la expedición del tránsito de Venus , que había sido transferida a la Sociedad por el rey Jorge III . ^{[1] [3]}

Se construyeron observatorios al norte y al sur de la montaña, además de una cabaña para alojar el equipo y a los científicos. ^[6] Las ruinas de estas estructuras permanecen en la ladera de la montaña. La mayor parte de la fuerza laboral se alojaba en tiendas de lona toscas. Las mediciones astronómicas de Maskelyne fueron las primeras que se llevaron a cabo. Era necesario que determinara las distancias cenitales con respecto a la plomada para un conjunto de estrellas en el momento preciso en que cada una pasaba hacia el sur ( latitud astronómica ). ^{[3] [12] [13]} Las condiciones meteorológicas eran frecuentemente desfavorables debido a la niebla y la lluvia. Sin embargo, desde el observatorio sur, pudo tomar 76 mediciones en 34 estrellas en una dirección, y luego 93 observaciones en 39 estrellas en la otra. Desde el lado norte, luego realizó un conjunto de 68 observaciones en 32 estrellas y un conjunto de 100 en 37 estrellas. ^[6] Al realizar series de mediciones con el plano del sector cenital primero orientado al este y luego al oeste, evitó con éxito cualquier error sistemático que surgiera de la colimación del sector. ^[1]

Para determinar la desviación debida a la montaña, fue necesario tener en cuenta la curvatura de la Tierra : un observador que se mueva hacia el norte o el sur verá el desplazamiento del cenit local en el mismo ángulo que cualquier cambio en la latitud geodésica . Después de tener en cuenta los efectos de observación como la precesión , la aberración de la luz y la nutación , Maskelyne demostró que la diferencia entre el cenit determinado localmente para los observadores al norte y al sur de Schiehallion era de 54,6 segundos de arco. ^[6] Una vez que el equipo de topografía proporcionó una diferencia de 42,94″ de latitud entre las dos estaciones, pudo restar esto y, después de redondear a la precisión de sus observaciones, anunciar que la suma de las desviaciones norte y sur era de 11,6″. ^{[3] [6] [14]}

Maskelyne publicó sus resultados iniciales en las Philosophical Transactions of the Royal Society en 1775, ^[14] utilizando datos preliminares sobre la forma de la montaña y, por lo tanto, la posición de su centro de gravedad . Esto lo llevó a esperar una desviación de 20,9″ si las densidades medias de Schiehallion y la Tierra eran iguales. ^{[3] [15]} Dado que la desviación era aproximadamente la mitad de esto, pudo hacer un anuncio preliminar de que la densidad media de la Tierra era aproximadamente el doble de la de Schiehallion. Un valor más preciso tendría que esperar a que se completara el proceso de topografía. ^[14]

Maskelyne aprovechó la oportunidad para señalar que Schiehallion exhibía una atracción gravitatoria, y por lo tanto todas las montañas la tenían; y que la ley de gravitación del cuadrado inverso de Newton había sido confirmada. ^{[14] [16]} Una Royal Society agradecida le entregó a Maskelyne la Medalla Copley de 1775 ; el biógrafo Chalmers señaló más tarde que "si aún quedaban dudas con respecto a la verdad del sistema newtoniano, ahora estaban totalmente eliminadas". ^[17]

El trabajo del equipo de topografía se vio muy obstaculizado por las inclemencias del tiempo, y se tardó hasta 1776 en completar la tarea. ^{[15] [a]} Para encontrar el volumen de la montaña, fue necesario dividirla en un conjunto de prismas verticales y calcular el volumen de cada uno. La tarea de triangulación que recayó sobre Charles Hutton fue considerable: los topógrafos habían obtenido miles de ángulos de orientación para más de mil puntos alrededor de la montaña. ^[18] Además, los vértices de sus prismas no siempre coincidían convenientemente con las alturas topográficas. Para dar sentido a todos sus datos, se le ocurrió la idea de interpolar una serie de líneas a intervalos establecidos entre sus valores medidos, marcando puntos de igual altura. Al hacerlo, no solo podía determinar fácilmente las alturas de sus prismas, sino que a partir del remolino de las líneas se podía obtener una impresión instantánea de la forma del terreno. Hutton utilizó así las curvas de nivel , que se convirtieron en de uso común desde entonces para representar el relieve cartográfico . ^{[6] [18]}

Hutton tuvo que calcular las atracciones individuales debidas a cada uno de los muchos prismas que formaban su cuadrícula, un proceso que fue tan laborioso como el estudio mismo. La tarea ocupó su tiempo durante otros dos años antes de que pudiera presentar sus resultados, lo que hizo en un documento de cien páginas a la Royal Society en 1778. ^[19] De sus cálculos, que tuvieron en cuenta el efecto de la latitud sobre la gravedad , se dedujo que si la densidad de la Tierra y Schiehallion hubieran sido las mismas, la atracción de la plomada hacia la Tierra sería 9.933 veces la suma de sus atracciones hacia la montaña en las estaciones norte y sur. ^[18] Sin embargo, la desviación medida de 11,6″ significaba que la atracción de la Tierra era en realidad 17.804 veces mayor. De esto se deduce que la densidad media de la Tierra es aproximadamente 1,8 veces la densidad de la montaña. ^{[15] [18] [19]} Hutton tomó una densidad de 2.500 kg·m ⁻³ para Schiehallion, y anunció que la densidad de la Tierra era 1,8 veces ésta, o 4.500 kg·m ⁻³ , ^[18] menos del 20% del valor moderno de 5.515 kg·m ⁻³ . ^[20]

El hecho de que la densidad media de la Tierra excediera considerablemente la de las rocas de su superficie significaba naturalmente que debía haber material más denso en las profundidades. Hutton supuso correctamente que el material del núcleo era probablemente metálico y podría tener una densidad de 10.000 kg·m ⁻³ . ^[18] Estimó que esta porción metálica ocupaba alrededor del 65% del diámetro de la Tierra. ^[19] Con un valor para la densidad media de la Tierra, Hutton pudo establecer algunos valores para las tablas planetarias de Jérôme Lalande , que anteriormente solo habían podido expresar las densidades de los principales objetos del sistema solar en términos relativos. ^[19]

Una medición más precisa de la densidad media de la Tierra se realizó 24 años después de Schiehallion, cuando en 1798 Henry Cavendish utilizó una balanza de torsión exquisitamente sensible para medir la atracción entre grandes masas de plomo . La cifra de Cavendish de 5448 ± 33 kg·m ⁻³ era solo un 1,2% del valor actualmente aceptado de 5515 kg·m ⁻³ , y su resultado no sería mejorado significativamente hasta 1895 por Charles Boys . ^[c] El cuidado con el que Cavendish llevó a cabo el experimento y la precisión de su resultado han hecho que su nombre se asocie desde entonces a él. ^[21]

El científico escocés John Playfair realizó un segundo estudio de Schiehallion en 1811; sobre la base de un replanteamiento de sus estratos rocosos, sugirió una densidad de 4.560 a 4.870 kg·m ⁻³ , ^[22] aunque el entonces anciano Hutton defendió vigorosamente el valor original en un documento de 1821 a la Sociedad. ^{[3] [23]} Los cálculos de Playfair habían elevado la densidad más cerca de su valor moderno, pero todavía era demasiado baja y significativamente más pobre que el cálculo de Cavendish de algunos años antes.

El experimento de Schiehallion fue repetido en 1856 por Henry James , director general de Ordnance Survey , quien en su lugar utilizó la colina Arthur's Seat en el centro de Edimburgo . ^{[6] [13] [24]} Con los recursos de Ordnance Survey a su disposición, James extendió su estudio topográfico a un radio de 21 kilómetros, llevándolo hasta las fronteras de Midlothian . Obtuvo una densidad de aproximadamente 5.300 kg·m ⁻³ . ^{[3] [15]}

En 2005, un experimento llevó a cabo una variación del trabajo de 1774: en lugar de calcular las diferencias locales en el cenit, el experimento realizó una comparación muy precisa del período de un péndulo en la cima y en la base de Schiehallion. El período de un péndulo es una función de g , la aceleración gravitacional local . Se espera que el péndulo se desplace más lentamente en la altitud, pero la masa de la montaña actuará para reducir esta diferencia. Este experimento tiene la ventaja de ser considerablemente más fácil de realizar que el de 1774, pero para lograr la precisión deseada, es necesario medir el período del péndulo con una precisión de una parte en un millón. ^[12] Este experimento arrojó un valor de la masa de la Tierra de 8,1 ± 2,4 × 10 ²⁴ kg , ^[25] correspondiente a una densidad media de 7500 ± 1900 kg·m ⁻³ . ^{[d] [ se necesita una mejor fuente ]}

Un nuevo análisis moderno de los datos geofísicos permitió tener en cuenta factores que el equipo de 1774 no pudo. Con la ayuda de un modelo digital de elevación de 120 km de radio , un conocimiento mejorado de la geología de Schiehallion y la ayuda de una computadora, un informe de 2007 arrojó una densidad media de la Tierra de 5480 ± 250 kg·m ⁻³ . ^[26] En comparación con la cifra moderna de 5515 kg·m ⁻³ , quedó como testimonio de la precisión de las observaciones astronómicas de Maskelyne. ^[26]

Considere el diagrama de fuerza a la derecha, en el que la desviación ha sido muy exagerada. El análisis se ha simplificado considerando la atracción en un solo lado de la montaña. ^[22] Una plomada de masa  m está situada a una distancia  d de P , el centro de masa de una montaña de masa  M _M y densidad  ρ _M . Se desvía a través de un pequeño ángulo  θ debido a su atracción  F hacia P y su peso  W dirigido hacia la Tierra. La suma vectorial de W y F da como resultado una tensión  T en la cuerda del péndulo. La Tierra tiene una masa  M _E , un radio  r _E y una densidad  ρ _E .

Las dos fuerzas gravitacionales sobre la plomada están dadas por la ley de gravitación de Newton :

${\displaystyle F={\frac {GmM_{M}}{d^{2}}},\quad W={\frac {GmM_{E}}{r_{E}^{2}}}}$

donde G es la constante de gravitación newtoniana . G y m se pueden eliminar tomando la relación entre F y W :

${\displaystyle {\frac {F}{W}}={\frac {GmM_{M}/d^{2}}{GmM_{E}/r_{E}^{2}}}={\frac {M_{M}}{M_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}}$

donde V _M y V _E son los volúmenes de la montaña y de la Tierra. En equilibrio estático , las componentes horizontal y vertical de la tensión de la cuerda  T pueden relacionarse con las fuerzas gravitacionales y el ángulo de deflexión  θ :

${\displaystyle W=T\cos \theta ,\quad F=T\sin \theta }$

Sustituyendo por T :

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {F}{W}}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}}$

Dado que V _E , V _M y r _E son todos conocidos, se ha medido θ y se ha calculado  d , entonces se puede obtener un valor para la relación ρ _E  :  ρ _M ^{: [22]}

${\displaystyle {\frac {\rho _{E}}{\rho _{M}}}={\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}{\frac {1}{\tan \theta }}}$