En matemáticas , especialmente en teoría del orden , un elemento maximalista de un subconjunto de un conjunto preordenado es un elemento de que no es menor que cualquier otro elemento en . Un elemento minimal de un subconjunto de un conjunto preordenado se define dualmente como un elemento de que no es mayor que cualquier otro elemento en .
Las nociones de elementos máximos y mínimos son más débiles que las de elemento mayor y elemento menor , que también se conocen, respectivamente, como máximo y mínimo. El máximo de un subconjunto de un conjunto preordenado es un elemento de que es mayor o igual que cualquier otro elemento de y el mínimo de se define nuevamente de manera dual. En el caso particular de un conjunto parcialmente ordenado , si bien puede haber como máximo un máximo y como máximo un mínimo, puede haber múltiples elementos máximos o mínimos. [1] [2] Especializándose aún más en conjuntos totalmente ordenados , las nociones de elemento maximal y máximo coinciden, y las nociones de elemento minimal y mínimo coinciden.
Como ejemplo, en la colección
ordenada por contención , el elemento { d , o } es mínimo ya que no contiene conjuntos en la colección, el elemento { g , o , a , d } es máximo ya que no hay conjuntos en la colección que lo contengan, el elemento { d , o , g } no es ninguno de los dos, y el elemento { o , a , f } es tanto mínimo como máximo. Por el contrario, no existe ni un máximo ni un mínimo para
Sea un conjunto preordenado y sea Un elemento máximo de con respecto a es un elemento tal que
Si satisface entonces necesariamente
De manera similar, unaelemento mínimo decon respecto aes un elementotal que
Si satisface entonces necesariamente
Equivalentemente, es un elemento mínimo de con respecto a si y solo si es un elemento máximo de con respecto a donde por definición, si y solo si (para todo ).
Si no se especifica el subconjunto , se debe asumir que , explícitamente, unelemento máximo (respectivamente,elemento mínimo)dees un elemento máximo (respectivamente, mínimo) decon respecto a
Si el conjunto preordenado también resulta ser un conjunto parcialmente ordenado (o más generalmente, si la restricción es un conjunto parcialmente ordenado), entonces es un elemento maximalista de si y solo si no contiene ningún elemento estrictamente mayor que explícitamente, esto significa que no existe ningún elemento tal que y
La caracterización para elementos mínimos se obtiene usando en lugar de
Existencia y singularidad
No es necesario que existan elementos máximos.
Ejemplo 1: Sea donde denota los números reales . Para todos excepto (es decir, pero no ).
Ejemplo 2: Sea donde denota los números racionales y donde es irracional.
En general, solo hay un orden parcial en Si es un elemento maximo y entonces sigue siendo posible que ni ni Esto deja abierta la posibilidad de que existan más de un elemento maximo.
Ejemplo 3: En la valla todos son mínimos y todos son máximos, como se muestra en la imagen.
Ejemplo 4: Sea A un conjunto con al menos dos elementos y sea el subconjunto del conjunto potencia que consiste en subconjuntos singleton , parcialmente ordenados por Este es el conjunto poset discreto donde no hay dos elementos comparables y, por lo tanto, cada elemento es máximo (y mínimo); además, para cualquier conjunto distinto ni ni
Elementos mayores y menores
Para un conjunto parcialmente ordenado, el núcleo irreflexivo de se denota como y se define por si y
Para miembros arbitrarios se aplica exactamente uno de los siguientes casos:
;
;
;
y son incomparables.
Dado un subconjunto y algunos
si el caso 1 nunca se aplica a ninguno , entonces es un elemento máximo de como se definió anteriormente;
Si los casos 1 y 4 nunca se aplican para ninguno, entonces se llama el mayor elemento de
Por lo tanto, la definición de un elemento mayor es más fuerte que la de un elemento máximo.
De manera equivalente, un elemento mayor de un subconjunto puede definirse como un elemento de que es mayor que cualquier otro elemento de
Un subconjunto puede tener como máximo un elemento mayor. [prueba 1]
El mayor elemento de si existe, es también un elemento maximal de [prueba 2] y el único. [prueba 3]
Por contraposición , si tiene varios elementos maximalistas, no puede tener un elemento mayor; véase el ejemplo 3. Si satisface la condición de cadena ascendente , un subconjunto de tiene un elemento mayor si, y solo si , tiene un elemento maximal. [prueba 4]
Cuando la restricción de a es un orden total ( en la imagen superior hay un ejemplo), entonces las nociones de elemento máximo y elemento máximo coinciden. [prueba 5]
Esto no es una condición necesaria: siempre que tiene un elemento máximo, las nociones coinciden también, como se dijo anteriormente. Si las nociones de elemento máximo y elemento máximo coinciden en cada subconjunto de dos elementos de entonces es un orden total en [prueba 6]
Dual a mayor es la noción de elemento menor que se relaciona con mínimo de la misma manera que mayor con máximo .
Conjuntos dirigidos
En un conjunto totalmente ordenado , los términos elemento maximal y elemento mayor coinciden, por lo que ambos términos se usan indistintamente en campos como el análisis donde solo se consideran los órdenes totales. Esta observación se aplica no solo a subconjuntos totalmente ordenados de cualquier conjunto parcialmente ordenado, sino también a su generalización teórica del orden a través de conjuntos dirigidos . En un conjunto dirigido, cada par de elementos (particularmente pares de elementos incomparables) tiene un límite superior común dentro del conjunto. Si un conjunto dirigido tiene un elemento maximal, también es su elemento mayor [prueba 7] y, por lo tanto, su único elemento maximal. Para un conjunto dirigido sin elementos maximal o mayor, véanse los ejemplos 1 y 2 anteriores.
Conclusiones similares son válidas para los elementos mínimos.
Puede encontrar más información introductoria en el artículo sobre la teoría del orden .
Propiedades
Cada subconjunto finito no vacío tiene elementos tanto máximos como mínimos. Un subconjunto infinito no necesita tener ninguno de ellos, por ejemplo, los números enteros con el orden habitual.
El conjunto de elementos máximos de un subconjunto es siempre una anticadena , es decir, no hay dos elementos máximos diferentes de que sean comparables. Lo mismo se aplica a los elementos mínimos.
Ejemplos
En la eficiencia de Pareto , un óptimo de Pareto es un elemento máximo con respecto al orden parcial de mejora de Pareto, y el conjunto de elementos máximos se denomina frontera de Pareto.
En economía, se puede flexibilizar el axioma de antisimetría, utilizando preórdenes (generalmente preórdenes totales ) en lugar de órdenes parciales; la noción análoga al elemento máximo es muy similar, pero se utiliza una terminología diferente, como se detalla a continuación.
En la teoría del consumidor, el espacio de consumo es un conjunto , normalmente el ortante positivo de un espacio vectorial, de modo que cada uno representa una cantidad de consumo especificada para cada producto existente en la economía. Las preferencias de un consumidor suelen estar representadas por un preorden total , de modo que y se lee: es como máximo tan preferido como . Cuando y se interpreta que el consumidor es indiferente entre y pero no hay razón para concluir que nunca se supone que las relaciones de preferencia sean antisimétricas. En este contexto, para cualquier un elemento se dice que es un elemento maximalista si implica
donde se interpreta como un paquete de consumo que no está dominado por ningún otro paquete en el sentido de que es y no
Cabe señalar que la definición formal se parece mucho a la de un elemento máximo para un conjunto ordenado. Sin embargo, cuando es solo un preorden, un elemento con la propiedad anterior se comporta de manera muy similar a un elemento máximo en un ordenamiento. Por ejemplo, un elemento máximo no es único para no excluye la posibilidad de que (mientras que y no implican sino simplemente indiferencia ). La noción de elemento máximo para un preorden de preferencia sería la de elección más preferida . Es decir, algunos con implica
Una aplicación obvia es la definición de correspondencia de demanda. Sea la clase de funcionales en . Un elemento se denomina funcional de precio o sistema de precios y asigna cada paquete de consumo a su valor de mercado . La correspondencia presupuestaria es una correspondencia que asigna cualquier sistema de precios y cualquier nivel de ingresos a un subconjunto
La correspondencia de demanda asigna cualquier precio y cualquier nivel de ingreso al conjunto de elementos -máximos de .
Se llama correspondencia de demanda porque la teoría predice que para y dado, la elección racional de un consumidor será algún elemento
Nociones relacionadas
Se dice que un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es cofinal si para cada existe alguno tal que Todo subconjunto cofinal de un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos debe contener todos los elementos máximos.
Se dice que un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un conjunto inferior de si está cerrado hacia abajo: si y entonces Todo conjunto inferior de un conjunto ordenado finito es igual al conjunto inferior más pequeño que contiene todos los elementos máximos de
^ Si y son ambos mayores, entonces y y por lo tanto por antisimetría .
^ Si es el mayor elemento de y entonces Por antisimetría , esto hace que ( y ) sea imposible.
^ Si es un elemento maximal entonces (porque es el mayor) y por lo tanto dado que es maximal.
^ Sólo si : ver arriba. — Si : Supongamos por contradicción que tiene solo un elemento maximalista, pero ningún elemento mayor. Como no es mayor, debe existir alguno que sea incomparable a Por lo tanto no puede ser maximalista, es decir, debe cumplirse para algún Este último también debe ser incomparable a , ya que contradice la maximalidad de mientras que contradice la incomparabilidad de y Repitiendo este argumento, se puede encontrar una cadena ascendente infinita (tal que cada uno sea incomparable a y no maximalista). Esto contradice la condición de cadena ascendente.
^ Sea un elemento maximo, para cualquier o En el segundo caso, la definición de elemento maximo requiere que por lo que se sigue que En otras palabras, es un elemento mayor.
^ Si fueran incomparables, entonces habría dos elementos máximos, pero ningún elemento mayor, contradiciendo la coincidencia.
^ Sea maximalista. Sea arbitrario. Entonces, el límite superior común de y satisface , por lo que, por maximidad. Como se cumple por definición de , tenemos . Por lo tanto, es el elemento más grande.
^ Richmond, Bettina ; Richmond, Thomas (2009), Una transición discreta a las matemáticas avanzadas, American Mathematical Society, pág. 181, ISBN978-0-8218-4789-3.
^ Scott, William Raymond (1987), Teoría de grupos (2.ª ed.), Dover, pág. 22, ISBN978-0-486-65377-8