Cálculo de Jones

En óptica , la luz polarizada se puede describir utilizando el cálculo de Jones , ^[1] inventado por RC Jones en 1941. La luz polarizada se representa mediante un vector de Jones y los elementos ópticos lineales se representan mediante matrices de Jones . Cuando la luz cruza un elemento óptico, la polarización resultante de la luz emergente se encuentra tomando el producto de la matriz de Jones del elemento óptico y el vector de Jones de la luz incidente. Tenga en cuenta que el cálculo de Jones solo es aplicable a la luz que ya está completamente polarizada. La luz que está polarizada aleatoriamente, parcialmente polarizada o incoherente debe tratarse utilizando el cálculo de Mueller .

El vector de Jones describe la polarización de la luz en el espacio libre o en otro medio isótropo homogéneo no atenuante , donde la luz puede describirse correctamente como ondas transversales . Supongamos que una onda de luz plana monocromática viaja en la dirección z positiva, con frecuencia angular ω y vector de onda k = (0,0, k ), donde el número de onda k = ω / c . Entonces, los campos eléctrico y magnético E y H son ortogonales a k en cada punto; ambos se encuentran en el plano "transversal" a la dirección del movimiento. Además, H se determina a partir de E mediante una rotación de 90 grados y un multiplicador fijo que depende de la impedancia de onda del medio. Por lo tanto, la polarización de la luz se puede determinar estudiando E. La amplitud compleja de E se escribe:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i( kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin {pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz -\omega t)}.}$

Nótese que el campo E físico es la parte real de este vector; el multiplicador complejo proporciona la información de fase. Aquí está la unidad imaginaria con .${\estilo de visualización i}$${\displaystyle i^{2}=-1}$

El vector de Jones es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.}$

Así, el vector de Jones representa la amplitud y la fase del campo eléctrico en las direcciones x e y .

La suma de los cuadrados de los valores absolutos de los dos componentes de los vectores de Jones es proporcional a la intensidad de la luz. Es habitual normalizarla a 1 en el punto de inicio del cálculo para simplificarla. También es habitual restringir el primer componente de los vectores de Jones a un número real . Esto descarta la información de fase general que sería necesaria para el cálculo de la interferencia con otros rayos.

Tenga en cuenta que todos los vectores y matrices de Jones en este artículo emplean la convención de que la fase de la onda de luz está dada por , una convención utilizada por Hecht. Bajo esta convención, el aumento en (o ) indica retraso (retraso) en la fase, mientras que la disminución indica avance en la fase. Por ejemplo, un componente de vectores de Jones de ( ) indica retraso de (o 90 grados) en comparación con 1 ( ). Collett usa la definición opuesta para la fase ( ). Además, Collet y Jones siguen diferentes convenciones para las definiciones de lateralidad de la polarización circular. La convención de Jones se llama: "Desde el punto de vista del receptor", mientras que la convención de Collett se llama: "Desde el punto de vista de la fuente". El lector debe tener cuidado con la elección de la convención al consultar referencias sobre el cálculo de Jones.${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$$estilo de visualización {\phi _{x}}$${\displaystyle \phi_{y}}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle =e^{i\pi /2}}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle =e^{0}}$${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$

La siguiente tabla muestra los 6 ejemplos comunes de vectores de Jones normalizados.

Polarización	Vector de Jones	Notación típica de ket
Polarizada linealmente en la dirección x . Normalmente llamada "horizontal".	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |H\rangle}$
Polarizado lineal en la dirección y Normalmente llamado "vertical"	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |V\rangle}$
Polarizada lineal a 45° desde el eje x Normalmente llamada "diagonal" L+45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +|V\rangle {\big )}}$
Polarizada lineal a −45° desde el eje x Normalmente llamada "antidiagonal" L−45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -|V\rangle {\big )}}$
Polarización circular derecha Generalmente llamada "RCP" o "RHCP"	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -i|V\rangle {\big )}}$
Polarizado circular a la izquierda Generalmente llamado "LCP" o "LHCP"	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +i|V\rangle {\big )}}$

Un vector general que apunta a cualquier lugar de la superficie se escribe como ket . Cuando se emplea la esfera de Poincaré (también conocida como esfera de Bloch ), los kets base ( y ) deben asignarse a pares opuestos ( antípodas ) de los kets enumerados anteriormente. Por ejemplo, se podría asignar = y = . Estas asignaciones son arbitrarias. Los pares opuestos son${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |H\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$${\displaystyle |V\rangle}$

• ${\displaystyle |H\rangle}$y${\displaystyle |V\rangle}$
• ${\displaystyle |D\rangle}$y${\displaystyle |Un\rangle}$
• ${\displaystyle |R\rangle}$y${\displaystyle |L\rangle }$

La polarización de cualquier punto no igual a o y que no esté en el círculo que pasa por él se conoce como polarización elíptica .${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$

Las matrices de Jones son operadores que actúan sobre los vectores de Jones definidos anteriormente. Estas matrices se implementan mediante diversos elementos ópticos como lentes, divisores de haz, espejos, etc. Cada matriz representa la proyección sobre un subespacio complejo unidimensional de los vectores de Jones. La siguiente tabla muestra ejemplos de matrices de Jones para polarizadores:

Elemento óptico	Matriz de Jones
Polarizador lineal con eje de transmisión horizontal [2]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
Polarizador lineal con eje de transmisión vertical [2]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
Polarizador lineal con eje de transmisión a ±45° con la horizontal [2]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
Polarizador lineal con eje de transmisión en ángulo desde la horizontal [2]${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}(\theta )&\cos(\theta )\sin(\theta )\\\cos(\theta )\sin(\theta )&\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}}$
Polarizador circular derecho [2]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}$
Polarizador circular izquierdo [2]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}$

Un retardador de fase es un elemento óptico que produce una diferencia de fase entre dos componentes de polarización ortogonal de un haz de luz polarizado monocromático. ^[3] Matemáticamente, utilizando kets para representar vectores de Jones, esto significa que la acción de un retardador de fase es transformar la luz con polarización.

${\displaystyle |P\rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle }$

a

${\displaystyle |P'\rangle =c_{1}{\rm {e}}^{i\eta /2}|1\rangle +c_{2}{\rm {e}}^{-i\eta /2}|2\rangle }$

donde son componentes de polarización ortogonales (es decir, ) que están determinados por la naturaleza física del retardador de fase. En general, los componentes ortogonales podrían ser dos vectores base cualesquiera. Por ejemplo, la acción del retardador de fase circular es tal que${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$${\displaystyle \langle 1|2\rangle =0}$

${\displaystyle |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\qquad {\text{ and }}\qquad |2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$

Sin embargo, los retardadores de fase lineales, que son polarizaciones lineales, se encuentran con mayor frecuencia en los debates y en la práctica. De hecho, a veces se utiliza el término "retardador de fase" para referirse específicamente a los retardadores de fase lineales.${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$

Los retardadores de fase lineales suelen estar hechos de cristales uniaxiales birrefringentes como calcita , MgF2 _o cuarzo . Las placas hechas de estos materiales para este propósito se denominan placas de onda . Los cristales uniaxiales tienen un eje cristalino que es diferente de los otros dos ejes cristalinos (es decir, n _i ≠ n _j = n _k ). Este eje único se denomina eje extraordinario y también se conoce como eje óptico . Un eje óptico puede ser el eje rápido o lento para el cristal dependiendo del cristal en cuestión. La luz viaja con una velocidad de fase más alta a lo largo de un eje que tiene el índice de refracción más pequeño y este eje se llama eje rápido. De manera similar, un eje que tiene el índice de refracción más grande se llama eje lento ya que la velocidad de fase de la luz es la más baja a lo largo de este eje. Los cristales uniaxiales "negativos" (por ejemplo, calcita CaCO ₃ , zafiro Al ₂ O ₃ ) tienen n _e < n _{o ,} por lo que para estos cristales, el eje extraordinario (eje óptico) es el eje rápido, mientras que para los cristales uniaxiales "positivos" (por ejemplo, cuarzo SiO ₂ , fluoruro de magnesio MgF ₂ , rutilo TiO ₂ ), n _e > n _o y, por lo tanto, el eje extraordinario (eje óptico) es el eje lento. Existen otros retardadores de fase lineal disponibles comercialmente y se utilizan en aplicaciones más especializadas. Los rombos de Fresnel son una de esas alternativas.

Cualquier retardador de fase lineal con su eje rápido definido como el eje x o y tiene cero términos fuera de la diagonal y, por lo tanto, se puede expresar convenientemente como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{i\phi _{x}}&0\\0&{\rm {e}}^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

donde y son los desfases de los campos eléctricos en las direcciones y respectivamente. En la convención de fase , defina la fase relativa entre las dos ondas como . Entonces, un valor positivo (es decir, > ) significa que no alcanza el mismo valor que hasta un momento posterior, es decir, adelanta . De manera similar, si , entonces adelanta .${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle \phi _{y}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \phi _{y}}$${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle \epsilon <0}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{x}}$

Por ejemplo, si el eje rápido de una placa de cuarto de onda es horizontal, entonces la velocidad de fase a lo largo de la dirección horizontal está por delante de la dirección vertical, es decir, adelanta . Por lo tanto, lo que para una placa de cuarto de onda da como resultado .${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$

En la convención opuesta , defina la fase relativa como . Entonces significa que no alcanza el mismo valor que hasta un momento posterior, es decir, conduce a .${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle E_{y}}$

Retardadores de fase	Matriz de Jones correspondiente
Placa de cuarto de onda con eje rápido vertical [4] [nota 1]	${\displaystyle {\rm {e}}^{\frac {i\pi }{4}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$
Placa de cuarto de onda con eje rápido horizontal [4]	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}}$
Placa de cuarto de onda con eje rápido en ángulo respecto del eje horizontal${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
Placa de media onda rotada por [5]${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$
Placa de media onda con eje rápido en ángulo respecto del eje horizontal [6]${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\cos \theta \sin \theta \\2\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
Retardador de fase lineal (placa de onda general) [3]	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right)\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right)\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
Material birrefringente arbitrario (retardador de fase elíptico) [3] [7]	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

La matriz de Jones para un material birrefringente arbitrario es la forma más general de una transformación de polarización en el cálculo de Jones; puede representar cualquier transformación de polarización. Para ver esto, se puede mostrar

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos(\eta /2)-i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )&-\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )\\\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )&\cos(\eta /2)+i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

La matriz anterior es una parametrización general para los elementos de SU(2) , utilizando la convención

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~}$

donde la línea superior denota conjugación compleja .

Finalmente, reconociendo que el conjunto de transformaciones unitarias en puede expresarse como${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}}$

queda claro que la matriz de Jones para un material birrefringente arbitrario representa cualquier transformación unitaria, hasta un factor de fase . Por lo tanto, para la elección apropiada de , , y , se puede encontrar una transformación entre dos vectores de Jones cualesquiera, hasta un factor de fase . Sin embargo, en el cálculo de Jones, dichos factores de fase no cambian la polarización representada de un vector de Jones, por lo que se consideran arbitrarios o se imponen ad hoc para cumplir con una convención establecida.${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$

Las expresiones especiales para los retardadores de fase se pueden obtener tomando valores de parámetros adecuados en la expresión general para un material birrefringente. ^[7] En la expresión general:

• El retardo de fase relativo inducido entre el eje rápido y el eje lento viene dado por${\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}}$
• ${\displaystyle \theta }$es la orientación del eje rápido con respecto al eje x.
• ${\displaystyle \phi }$es la circularidad.

Obsérvese que para los retardadores lineales, = 0 y para los circulares, = ± /2, = /4. En general, para los retardadores elípticos, toma valores entre - /2 y /2.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

Supongamos que un elemento óptico tiene su eje óptico ^{[ aclaración necesaria ]} perpendicular al vector de superficie para el plano de incidencia ^{[ aclaración necesaria ]} y gira alrededor de este vector de superficie un ángulo θ/2 (es decir, el plano principal por el que pasa el eje óptico, ^{[ aclaración necesaria ]} forma un ángulo θ/2 con respecto al plano de polarización del campo eléctrico ^{[ aclaración necesaria ]} de la onda TE incidente). Recordemos que una placa de media onda gira la polarización en un ángulo dos veces mayor que el ángulo entre la polarización incidente y el eje óptico (plano principal). Por lo tanto, la matriz de Jones para el estado de polarización girado, M( θ ), es

${\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

dónde${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

Esto concuerda con la expresión para una placa de media onda en la tabla anterior. Estas rotaciones son idénticas a la transformación del divisor unitario del haz en física óptica dada por

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}}$

donde los coeficientes con y sin prima representan haces incidentes desde lados opuestos del divisor de haz. Los componentes reflejados y transmitidos adquieren una fase θ _r y θ _t , respectivamente. Los requisitos para una representación válida del elemento son ^[8]

${\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi }$

y${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}$

Ambas representaciones son matrices unitarias que se ajustan a estos requisitos y, como tales, ambas son válidas.

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Esto implicaría una matriz de rotación tridimensional . Véase el trabajo realizado sobre este tema en Russell A. Chipman y Garam Yun. ^{[9] [10] [11] [12] [13]}

• Polarización
• Parámetros de dispersión
• Parámetros de Stokes
• Cálculo de Mueller
• Polarización de fotones

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