Parámetros de Stokes

Los parámetros de Stokes son un conjunto de valores que describen el estado de polarización de la radiación electromagnética . Fueron definidos por George Gabriel Stokes en 1852, ^{[1] [2]} como una alternativa matemáticamente conveniente a la descripción más común de la radiación incoherente o parcialmente polarizada en términos de su intensidad total ( I ), grado (fraccional) de polarización ( p ), y los parámetros de forma de la elipse de polarización . El efecto de un sistema óptico sobre la polarización de la luz se puede determinar construyendo el vector de Stokes para la luz de entrada y aplicando el cálculo de Mueller , para obtener el vector de Stokes de la luz que sale del sistema. Se pueden determinar a partir de fenómenos directamente observables. El artículo original de Stokes fue descubierto independientemente por Francis Perrin en 1942 ^[3] y por Subrahamanyan Chandrasekhar en 1947, ^{[4] [5]} quien lo nombró como los parámetros de Stokes.

La relación de los parámetros de Stokes S ₀ , S ₁ , S ₂ , S ₃ con los parámetros de intensidad y polarización de la elipse se muestra en las ecuaciones siguientes y en la figura de la derecha.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}$

Aquí , y son las coordenadas esféricas del vector tridimensional de coordenadas cartesianas . es la intensidad total del haz, y es el grado de polarización, restringido por . El factor de dos antes representa el hecho de que cualquier elipse de polarización es indistinguible de una rotada 180°, mientras que el factor de dos antes indica que una elipse es indistinguible de una con las longitudes de los semiejes intercambiadas acompañadas de una rotación de 90°. La información de fase de la luz polarizada no se registra en los parámetros de Stokes. Los cuatro parámetros de Stokes a veces se denotan I , Q , U y V , respectivamente.${\estilo de visualización Ip}$${\estilo de visualización 2\psi}$${\estilo de visualización 2\chi}$ ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$${\estilo de visualización \psi}$${\estilo de visualización \chi}$

Dados los parámetros de Stokes, se pueden resolver las coordenadas esféricas con las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

Los parámetros de Stokes a menudo se combinan en un vector, conocido como vector de Stokes :

${\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

El vector de Stokes abarca el espacio de luz no polarizada, parcialmente polarizada y totalmente polarizada. A modo de comparación, el vector de Jones solo abarca el espacio de luz totalmente polarizada, pero es más útil para problemas que involucran luz coherente . Los cuatro parámetros de Stokes no son un sistema de coordenadas preferido del espacio, sino que se eligieron porque se pueden medir o calcular fácilmente.

Tenga en cuenta que existe un signo ambiguo para el componente según la convención física utilizada. En la práctica, se utilizan dos convenciones independientes: la que define los parámetros de Stokes cuando se mira hacia abajo del haz en dirección a la fuente (opuesta a la dirección de propagación de la luz) o cuando se mira hacia abajo del haz en dirección contraria a la fuente (coincidente con la dirección de propagación de la luz). Estas dos convenciones dan como resultado signos diferentes para , y se debe elegir una convención y respetarla.${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización V}$

A continuación se muestran algunos vectores de Stokes para estados comunes de polarización de la luz.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Polarizado linealmente (horizontal)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Polarizado linealmente (vertical)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$	Polarizado linealmente (+45°)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}}$	Polarizado linealmente (−45°)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$	Polarizado circularmente a la derecha
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}}$	Polarizado circularmente a la izquierda
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$	No polarizado

Una onda plana monocromática se especifica por su vector de propagación , , y las amplitudes complejas del campo eléctrico , y , en una base . El par se llama vector de Jones . Alternativamente, se puede especificar el vector de propagación, la fase , , y el estado de polarización, , donde es la curva trazada por el campo eléctrico en función del tiempo en un plano fijo. Los estados de polarización más conocidos son lineal y circular, que son casos degenerados del estado más general, una elipse .${\displaystyle {\vec {k}}}$$Estilo de visualización E_{1}$$Estilo de visualización E_{2}$ ${\displaystyle ({\sombrero {\epsilon }}_{1}, {\sombrero {\epsilon }}_{2})}$${\estilo de visualización (E_{1},E_{2})}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \Psi}$${\estilo de visualización \Psi}$

Una forma de describir la polarización es dando los semiejes mayor y menor de la elipse de polarización, su orientación y la dirección de rotación (ver la figura anterior). Los parámetros de Stokes , , , y , proporcionan una descripción alternativa del estado de polarización que es experimentalmente conveniente porque cada parámetro corresponde a una suma o diferencia de intensidades mensurables. La siguiente figura muestra ejemplos de los parámetros de Stokes en estados degenerados.${\displaystyle I}$${\estilo de visualización Q}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización V}$

Los parámetros de Stokes están definidos por ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2 }\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\ equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_{a}^{2}\rangle -\langle E_{b }^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\langle E_{l}^{2}\rangle .\end{aligned}}}$

donde los subíndices se refieren a tres bases diferentes del espacio de vectores de Jones : la base cartesiana estándar ( ), una base cartesiana rotada 45° ( ), y una base circular ( ). La base circular se define de modo que , .${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$${\displaystyle {\sombrero {l}},{\sombrero {r}}}$${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$

Los símbolos ⟨⋅⟩ representan valores esperados . La luz puede verse como una variable aleatoria que toma valores en el espacio C ² de los vectores de Jones . Cualquier medición dada produce una onda específica (con una fase, una elipse de polarización y una magnitud específicas), pero sigue parpadeando y oscilando entre diferentes resultados. Los valores esperados son varios promedios de estos resultados. La luz intensa, pero no polarizada, tendrá I > 0 pero Q = U = V = 0, lo que refleja que no predomina ningún tipo de polarización. Una forma de onda convincente se representa en el artículo sobre la coherencia .${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

El caso opuesto sería la luz perfectamente polarizada, que además tiene una amplitud fija y no variable: una curva sinusoidal pura. Esta se representa mediante una variable aleatoria con un único valor posible, por ejemplo . En este caso, se pueden sustituir los corchetes por barras de valores absolutos, obteniendo así un mapa cuadrático bien definido ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}I\equiv |E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}=|E_{r}|^{2}+|E_{l}|^{2}\\Q\equiv |E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U\equiv |E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V\equiv |E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\end{matrix}}}$

de los vectores de Jones a los vectores de Stokes correspondientes; a continuación se dan formas más convenientes. La función toma su imagen en el cono definido por | I | ² = | Q | ² + | U | ² + | V | ² , donde la pureza del estado satisface p = 1 (ver a continuación).

La siguiente figura muestra cómo los signos de los parámetros de Stokes están determinados por la helicidad y la orientación del semieje mayor de la elipse de polarización.

En una base fija ( ), los parámetros de Stokes cuando se utiliza una convención de fase creciente son${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}}$

mientras que para , son${\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{aligned}}}$

y para , son${\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=|E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\\\end{aligned}}}$

Para la radiación coherente puramente monocromática , de las ecuaciones anteriores se deduce que

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},}$

mientras que para toda la radiación del haz (no coherente), los parámetros de Stokes se definen como cantidades promediadas y la ecuación anterior se convierte en una desigualdad: ^[6]

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.}$

Sin embargo, podemos definir una intensidad de polarización total , de modo que${\displaystyle I_{p}}$

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},}$

donde es la fracción de polarización total.${\displaystyle I_{p}/I}$

Definamos la intensidad compleja de polarización lineal como

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\equiv |L|e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\\end{aligned}}}$

Bajo una rotación de la elipse de polarización, se puede demostrar que y son invariantes, pero${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$${\displaystyle I}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}}$

Con estas propiedades, se puede pensar que los parámetros de Stokes constituyen tres intensidades generalizadas:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}}$

donde es la intensidad total, es la intensidad de polarización circular y es la intensidad de polarización lineal. La intensidad total de polarización es , y la orientación y el sentido de rotación están dados por${\displaystyle I}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle |L|}$${\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Desde y , tenemos${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{aligned}}}$

En términos de los parámetros de la elipse de polarización, los parámetros de Stokes son

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}}$

Invirtiendo la ecuación anterior se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Los parámetros de Stokes (y por lo tanto la polarización de algunas radiaciones electromagnéticas) se pueden determinar directamente a partir de la observación. ^[7] Utilizando un polarizador lineal y una placa de cuarto de onda , se puede obtener el siguiente sistema de ecuaciones que relaciona los parámetros de Stokes con la intensidad medida: ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{l}(0)&={\frac {1}{2}}(I+Q)\\I_{l}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+U)\\I_{l}({\frac {\pi }{2}})&={\frac {1}{2}}(I-Q)\\I_{q}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+V),\\\end{aligned}}}$$

donde es la irradiancia de la radiación en un punto cuando el polarizador lineal gira en un ángulo de , y de manera similar es la irradiancia en un punto cuando la placa de cuarto de onda gira en un ángulo de . Se puede implementar un sistema utilizando ambas placas a la vez en diferentes ángulos para medir los parámetros. Esto puede dar una medida más precisa de las magnitudes relativas de los parámetros (que a menudo es el principal resultado deseado) debido a que todos los parámetros se ven afectados por las mismas pérdidas.${\displaystyle I_{l}(\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle I_{q}(\theta )}$${\displaystyle \theta }$

Desde un punto de vista geométrico y algebraico, los parámetros de Stokes se corresponden uno a uno con el cono cerrado, convexo y de 4 dimensiones reales de operadores hermíticos no negativos en el espacio de Hilbert C ² . El parámetro I sirve como traza del operador, mientras que las entradas de la matriz del operador son funciones lineales simples de los cuatro parámetros I , Q , U , V , que sirven como coeficientes en una combinación lineal de los operadores de Stokes . Los valores propios y vectores propios del operador se pueden calcular a partir de los parámetros de la elipse de polarización I , p , ψ , χ .

Los parámetros de Stokes con I establecido igual a 1 (es decir, los operadores de traza 1) están en correspondencia uno a uno con la bola tridimensional unitaria cerrada de estados mixtos (u operadores de densidad ) del espacio cuántico C ² , cuyo límite es la esfera de Bloch . Los vectores de Jones corresponden al espacio subyacente C ² , es decir, los estados puros (no normalizados) del mismo sistema. Obsérvese que la fase general (es decir, el factor de fase común entre las dos ondas componentes en los dos ejes de polarización perpendiculares) se pierde al pasar de un estado puro |φ⟩ al estado mixto correspondiente |φ⟩⟨φ|, del mismo modo que se pierde al pasar de un vector de Jones al vector de Stokes correspondiente.

En base al estado de polarización horizontal y al estado de polarización vertical , el estado de polarización lineal de +45° es , el estado de polarización lineal de -45° es , el estado de polarización circular de la izquierda es y el estado de polarización circular de la derecha es . Es fácil ver que estos estados son los vectores propios de las matrices de Pauli y que los parámetros de Stokes normalizados ( U/I , V/I , Q/I ) corresponden a las coordenadas del vector de Bloch ( , , ). Equivalentemente, tenemos , , , donde es la matriz de densidad del estado mixto. ${\displaystyle |H\rangle }$${\displaystyle |V\rangle }$${\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )}$${\displaystyle |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle )}$${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )}$${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )}$${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$${\displaystyle U/I=tr\left(\rho \sigma _{x}\right)}$${\displaystyle V/I=tr\left(\rho \sigma _{y}\right)}$${\displaystyle Q/I=tr\left(\rho \sigma _{z}\right)}$${\displaystyle \rho }$

Generalmente, una polarización lineal en un ángulo θ tiene un estado cuántico puro ; por lo tanto, la transmitancia de un polarizador/analizador lineal en un ángulo θ para una fuente de luz de estado mixto con matriz de densidad es , con una transmitancia máxima de en si , o en si ; la transmitancia mínima de se alcanza en la perpendicular a la dirección de transmitancia máxima. Aquí, la relación entre la transmitancia máxima y la transmitancia mínima se define como la relación de extinción , donde el grado de polarización lineal es . De manera equivalente, la fórmula para la transmitancia se puede reescribir como , que es una forma extendida de la ley de Malus ; aquí, ambas son no negativas y están relacionadas con la relación de extinción por . Dos de los parámetros de Stokes normalizados también se pueden calcular por .${\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }$${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+a_{x}\sigma _{x}+a_{y}\sigma _{y}+a_{z}\sigma _{z}\right)}$${\displaystyle tr(\rho |\theta \rangle \langle \theta |)={\frac {1}{2}}\left(1+a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta }\right)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}$${\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}}$${\displaystyle a_{z}>0}$${\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}+{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle a_{z}<0}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}$ ${\displaystyle ER=(1+DOLP)/(1-DOLP)}$${\displaystyle DOLP={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}}}$${\displaystyle A\cos ^{2}{(\theta -\theta _{0})}+B}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle ER=(A+B)/B}$${\displaystyle a_{x}=DOLP\sin {2\theta _{0}},\,a_{z}=DOLP\cos {2\theta _{0}},\,DOLP=(ER-1)/(ER+1)}$

También vale la pena señalar que una rotación del eje de polarización por un ángulo θ corresponde al operador de rotación de esfera de Bloch . Por ejemplo, el estado de polarización horizontal rotaría a . El efecto de una placa de cuarto de onda alineada con el eje horizontal se describe por , o equivalentemente la compuerta de fase S , y el vector de Bloch resultante se convierte en . Con esta configuración, si realizamos el método del analizador rotatorio para medir la relación de extinción, podremos calcular y también verificar . Para que este método funcione, el eje rápido y el eje lento de la placa de onda deben estar alineados con las direcciones de referencia para los estados base.${\displaystyle R_{y}(2\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$${\displaystyle |H\rangle }$${\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }$${\displaystyle R_{z}(\pi /2)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /4}&0\\0&e^{+i\pi /4}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle (-a_{y},a_{x},a_{z})}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

El efecto de una placa de cuarto de onda rotada en un ángulo θ se puede determinar mediante la fórmula de rotación de Rodrigues como , con . La transmitancia de la luz resultante a través de un polarizador lineal (placa analizadora) a lo largo del eje horizontal se puede calcular utilizando la misma fórmula de rotación de Rodrigues y centrándose en sus componentes en y :${\displaystyle R_{n}(\pi /2)={\frac {1}{\sqrt {2}}}I-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}$${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}\cos {2\theta }+{\hat {x}}\sin {2\theta }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=tr[R_{n}(\pi /2)\rho R_{n}(-\pi /2)|H\rangle \langle H|]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+(a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta })\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left(1+a_{y}\sin {2\theta }+DOLP\times {\frac {\cos {(4\theta -2\theta _{0})}+\cos {(2\theta _{0})}}{2}}\right)\end{aligned}}}$

La expresión anterior es la base teórica de muchos polarímetros. Para luz no polarizada , T=1/2 es una constante. Para luz polarizada puramente circular, T tiene una dependencia sinusoidal del ángulo θ con un período de 180 grados, y puede alcanzar la extinción absoluta donde T=0. Para luz polarizada puramente lineal, T tiene una dependencia sinusoidal del ángulo θ con un período de 90 grados, y la extinción absoluta solo se puede alcanzar cuando la polarización de la luz original está a 90 grados del polarizador (es decir, ). En esta configuración, y , con un máximo de 1/2 en θ=45°, y un punto de extinción en θ=0°. Este resultado se puede utilizar para determinar con precisión el eje rápido o lento de una placa de cuarto de onda, por ejemplo, utilizando un divisor de haz polarizador para obtener una luz polarizada linealmente alineada con la placa del analizador y girando la placa de cuarto de onda en el medio.${\displaystyle a_{z}=-1}$${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle T={\frac {1-\cos {(4\theta )}}{4}}}$

De manera similar, el efecto de una placa de media onda rotada en un ángulo θ se describe mediante , que transforma la matriz de densidad en:${\displaystyle R_{n}(\pi )=-i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(\pi )\rho R_{n}(-\pi )&={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot [-{\vec {\sigma }}+2{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[I-{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+2({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]\end{aligned}}}$

La expresión anterior demuestra que si la luz original es de polarización lineal pura (es decir, ), la luz resultante después de la placa de media onda sigue siendo de polarización lineal pura (es decir, sin componente) con un eje mayor rotado. Tal rotación de la polarización lineal tiene una dependencia sinusoidal del ángulo θ con un período de 90 grados.${\displaystyle a_{y}=0}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

• Cálculo de Mueller
• Cálculo de Jones
• Polarización (ondas)
• Modelo de cielo de Rayleigh
• Operadores de Stokes
• Mezcla de polarización

• Jackson, JD, Electrodinámica clásica , John Wiley & Sons, 1999. ISBN 9780471309321 
• Stone, JM, Radiación y Óptica , McGraw-Hill, 1963.
• Collett, E., Guía de campo para la polarización , Guías de campo SPIE vol. FG05 , SPIE, 2005. ISBN 0-8194-5868-6 . 
• E. Hecht, Óptica , 2.ª ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X . 
• William H. McMaster (1954). "Polarización y parámetros de Stokes". Am. J. Phys . 22 (6): 351. Bibcode :1954AmJPh..22..351M. doi :10.1119/1.1933744.
• William H. McMaster (1961). "Representación matricial de la polarización". Rev. Mod. Phys . 33 (1): 8. Bibcode :1961RvMP...33....8M. doi :10.1103/RevModPhys.33.8.