Ecuaciones de Fresnel

Las ecuaciones de Fresnel (o coeficientes de Fresnel ) describen la reflexión y transmisión de la luz (o radiación electromagnética en general) cuando incide sobre una interfaz entre diferentes medios ópticos . Fueron deducidas por el ingeniero y físico francés Augustin-Jean Fresnel ( / f r eɪ ˈ n ɛ l / ) quien fue el primero en comprender que la luz es una onda transversal , cuando nadie se dio cuenta de que las ondas eran campos eléctricos y magnéticos. Por primera vez, la polarización podía entenderse cuantitativamente, ya que las ecuaciones de Fresnel predijeron correctamente el diferente comportamiento de las ondas de las polarizaciones s y p incidentes sobre una interfaz material.

Cuando la luz incide en la interfaz entre un medio con índice de refracción n ₁ y un segundo medio con índice de refracción n ₂ , pueden producirse tanto reflexión como refracción de la luz. Las ecuaciones de Fresnel dan la relación entre el campo eléctrico de la onda reflejada y el campo eléctrico de la onda incidente, y la relación entre el campo eléctrico de la onda transmitida y el campo eléctrico de la onda incidente, para cada uno de los dos componentes de polarización. (Los campos magnéticos también pueden relacionarse utilizando coeficientes similares). Estas relaciones son generalmente complejas y describen no solo las amplitudes relativas, sino también los cambios de fase en la interfaz.

Las ecuaciones suponen que la interfaz entre los medios es plana y que los medios son homogéneos e isótropos . ^[1] Se supone que la luz incidente es una onda plana , lo que es suficiente para resolver cualquier problema ya que cualquier campo de luz incidente puede descomponerse en ondas planas y polarizaciones.

Existen dos conjuntos de coeficientes de Fresnel para dos componentes de polarización lineal diferentes de la onda incidente. Dado que cualquier estado de polarización se puede resolver en una combinación de dos polarizaciones lineales ortogonales, esto es suficiente para cualquier problema. De la misma manera, la luz no polarizada (o "polarizada aleatoriamente") tiene una cantidad de potencia igual en cada una de las dos polarizaciones lineales.

La polarización s se refiere a la polarización del campo eléctrico de una onda normal al plano de incidencia (la dirección z en la derivación a continuación); entonces, el campo magnético está en el plano de incidencia. La polarización p se refiere a la polarización del campo eléctrico en el plano de incidencia (el plano xy en la derivación a continuación); entonces, el campo magnético es normal al plano de incidencia. Los nombres "s" y "p" para los componentes de polarización se refieren a las palabras alemanas "senkrecht" (perpendicular o normal) y "paralelo" (paralelo al plano de incidencia).

Aunque la reflexión y la transmisión dependen de la polarización, en incidencia normal ( θ = 0 ) no hay distinción entre ellas, por lo que todos los estados de polarización están regidos por un único conjunto de coeficientes de Fresnel (y a continuación se menciona otro caso especial en el que esto es cierto).

En el diagrama de la derecha, una onda plana incidente en la dirección del rayo IO incide en la interfaz entre dos medios de índices de refracción n ₁ y n ₂ en el punto O . Parte de la onda se refleja en la dirección OR , y parte se refracta en la dirección OT . Los ángulos que forman los rayos incidente, reflejado y refractado con la normal de la interfaz se dan como θ _i , θ _r y θ _t , respectivamente. La relación entre estos ángulos está dada por la ley de reflexión : y la ley de Snell :$${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r} },}$$$${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{\mathrm {i} }=n_{2}\sin \theta _{\mathrm {t} }.}$$

El comportamiento de la luz que incide sobre la interfaz se explica considerando los campos eléctrico y magnético que constituyen una onda electromagnética y las leyes del electromagnetismo , como se muestra a continuación. Se obtiene la relación de las amplitudes del campo eléctrico (o campo magnético) de las ondas, pero en la práctica uno suele estar más interesado en fórmulas que determinen los coeficientes de potencia , ya que la potencia (o irradiancia ) es lo que se puede medir directamente a frecuencias ópticas. La potencia de una onda es generalmente proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico (o magnético).

Llamamos a la fracción de la potencia incidente que se refleja desde la interfaz la reflectancia (o reflectividad , o coeficiente de reflexión de potencia ) R , y la fracción que se refracta en el segundo medio se llama transmitancia (o transmisividad , o coeficiente de transmisión de potencia ) T. Tenga en cuenta que estos son los que se medirían justo en cada lado de una interfaz y no tienen en cuenta la atenuación de una onda en un medio absorbente después de la transmisión o reflexión. ^[2]

La reflectancia para la luz polarizada s es mientras que la reflectancia para la luz polarizada p es donde Z ₁ y Z ₂ son las impedancias de onda de los medios 1 y 2, respectivamente.$${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},}$$$${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2},}$$

Suponemos que los medios no son magnéticos (es decir, μ ₁ = μ ₂ = μ ₀ ), lo que suele ser una buena aproximación a frecuencias ópticas (y para medios transparentes a otras frecuencias). ^[3] Entonces las impedancias de onda están determinadas únicamente por los índices de refracción n ₁ y n ₂ : donde Z ₀ es la impedancia del espacio libre e i = 1, 2 . Haciendo esta sustitución, obtenemos ecuaciones utilizando los índices de refracción:$${\displaystyle Z_{i}={\frac {Z_{0}}{n_{i}}}\,,}$$$${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}}\right|^{2}\!,}$$$${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}\!.}$$

La segunda forma de cada ecuación se deriva de la primera eliminando θ _t utilizando la ley de Snell y las identidades trigonométricas .

Como consecuencia de la conservación de la energía , se puede encontrar la potencia transmitida (o más correctamente, la irradiancia : potencia por unidad de área) simplemente como la porción de la potencia incidente que no se refleja:  ^[4] y$${\displaystyle T_{\mathrm {s} }=1-R_{\mathrm {s} }}$$$${\displaystyle T_{\mathrm {p} }=1-R_{\mathrm {p} }}$$

Obsérvese que todas estas intensidades se miden en términos de la irradiancia de una onda en la dirección normal a la interfaz; esto es también lo que se mide en experimentos típicos. Ese número podría obtenerse a partir de las irradiancias en la dirección de una onda incidente o reflejada (dada por la magnitud del vector de Poynting de una onda ) multiplicada por cos  θ para una onda en un ángulo θ con respecto a la dirección normal (o equivalentemente, tomando el producto escalar del vector de Poynting con el vector unitario normal a la interfaz). Esta complicación puede ignorarse en el caso del coeficiente de reflexión, ya que cos  θ _i = cos  θ _r  , de modo que la relación entre la irradiancia reflejada y la incidente en la dirección de la onda es la misma que en la dirección normal a la interfaz.

Aunque estas relaciones describen la física básica, en muchas aplicaciones prácticas se trata de "luz natural" que puede describirse como no polarizada. Esto significa que hay una cantidad igual de potencia en las polarizaciones s y p , de modo que la reflectividad efectiva del material es simplemente el promedio de las dos reflectividades:$${\displaystyle R_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{2}}\left(R_{\mathrm {s} }+R_{\mathrm {p} }\right).}$$

Para aplicaciones de baja precisión que involucran luz no polarizada, como gráficos de computadora , en lugar de calcular rigurosamente el coeficiente de reflexión efectivo para cada ángulo, a menudo se utiliza la aproximación de Schlick .

Para el caso de incidencia normal , θ _i = θ _t = 0 y no hay distinción entre polarización s y p. Por lo tanto, la reflectancia se simplifica a$${\displaystyle R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\,.}$$

Para el vidrio común ( n ₂ ≈ 1,5 ) rodeado de aire ( n ₁ = 1 ), se puede observar que la reflectancia de potencia con incidencia normal es de aproximadamente el 4 %, o del 8 % si se tienen en cuenta ambos lados del panel de vidrio.

En una interfaz dieléctrica de n ₁ a n ₂ , existe un ángulo de incidencia particular en el que R _p tiende a cero y una onda incidente polarizada p se refracta de manera pura, por lo que toda la luz reflejada está polarizada s. Este ángulo se conoce como ángulo de Brewster y es de alrededor de 56° para n ₁ = 1 y n ₂ = 1,5 (vidrio típico).

Cuando la luz que viaja en un medio más denso incide en la superficie de un medio menos denso (es decir, n ₁ > n ₂ ), más allá de un ángulo de incidencia particular conocido como ángulo crítico , toda la luz se refleja y R _s = R _p = 1 . Este fenómeno, conocido como reflexión interna total , ocurre en ángulos de incidencia para los cuales la ley de Snell predice que el seno del ángulo de refracción excedería la unidad (mientras que, de hecho, sen  θ ≤ 1 para todos los θ reales ). Para el vidrio con n = 1,5 rodeado de aire, el ángulo crítico es de aproximadamente 42°.

La reflexión con una incidencia de 45° se utiliza con mucha frecuencia para realizar giros de 90°. En el caso de la luz que pasa de un medio menos denso a uno más denso con una incidencia de 45° ( θ = 45° ), se deduce algebraicamente de las ecuaciones anteriores que R _p es igual al cuadrado de R _s :$${\displaystyle R_{\text{p}}=R_{\text{s}}^{2}}$$

Esto se puede utilizar para verificar la consistencia de las mediciones de R _s y R _p , o para derivar una de ellas cuando se conoce la otra. Esta relación solo es válida para el caso simple de una interfaz de un solo plano entre dos materiales homogéneos, no para películas sobre sustratos, donde se requiere un análisis más complejo.

Las mediciones de R _s y R _p a 45° se pueden utilizar para estimar la reflectividad en incidencia normal. ^{[ cita requerida ]} El "promedio de promedios" obtenido calculando primero el promedio aritmético y geométrico de R _s y R _p , y luego promediando estos dos promedios nuevamente de manera aritmética, da un valor para R ₀ con un error de menos de aproximadamente 3% para los materiales ópticos más comunes. ^{[ cita requerida ]} Esto es útil porque las mediciones en incidencia normal pueden ser difíciles de lograr en una configuración experimental ya que el haz entrante y el detector se obstruirán mutuamente. Sin embargo, dado que la dependencia de R _s y R _p en el ángulo de incidencia para ángulos inferiores a 10° es muy pequeña, una medición a aproximadamente 5° generalmente será una buena aproximación para la incidencia normal, al tiempo que permite una separación del haz entrante y reflejado.

Las ecuaciones anteriores que relacionan potencias (que podrían medirse con un fotómetro , por ejemplo) se derivan de las ecuaciones de Fresnel que resuelven el problema físico en términos de amplitudes complejas del campo electromagnético , es decir, considerando los cambios de fase además de sus amplitudes . Esas ecuaciones subyacentes proporcionan relaciones generalmente de valores complejos de esos campos EM y pueden tomar varias formas diferentes, dependiendo del formalismo utilizado. Los coeficientes de amplitud complejos para la reflexión y la transmisión generalmente se representan con r y t minúsculas (mientras que los coeficientes de potencia se escriben con mayúscula). Como antes, asumimos que la permeabilidad magnética, µ de ambos medios es igual a la permeabilidad del espacio libre µ _0, como es esencialmente cierto para todos los dieléctricos a frecuencias ópticas.

En las siguientes ecuaciones y gráficos, adoptamos las siguientes convenciones. Para la polarización s , el coeficiente de reflexión r se define como la relación entre la amplitud del campo eléctrico complejo de la onda reflejada y la de la onda incidente, mientras que para la polarización p r es la relación entre las amplitudes del campo magnético complejo de las ondas (o equivalentemente, el negativo de la relación entre las amplitudes de sus campos eléctricos). El coeficiente de transmisión t es la relación entre la amplitud del campo eléctrico complejo de la onda transmitida y la de la onda incidente, para cualquiera de las polarizaciones. Los coeficientes r y t son generalmente diferentes entre las polarizaciones s y p , e incluso en incidencia normal (¡donde las designaciones s y p ni siquiera se aplican!) el signo de r se invierte dependiendo de si la onda se considera polarizada s o p , un artefacto de la convención de signos adoptada (ver gráfico para una interfaz aire-vidrio a una incidencia de 0°).

Las ecuaciones consideran una onda plana incidente en una interfaz plana en un ángulo de incidencia , una onda reflejada en un ángulo y una onda transmitida en un ángulo . En el caso de una interfaz en un material absorbente (donde n es complejo) o reflexión interna total, el ángulo de transmisión generalmente no evalúa un número real. En ese caso, sin embargo, se pueden obtener resultados significativos utilizando formulaciones de estas relaciones en las que se evitan las funciones trigonométricas y los ángulos geométricos; las ondas no homogéneas lanzadas al segundo medio no se pueden describir utilizando un solo ángulo de propagación.${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {r} }=\theta _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {t} }}$

Utilizando esta convención, ^{[5] [6]}$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}}$$

Se puede ver que t _s = r _s + 1 ^[7] y ⁠número ₂/número ₁⁠ t _p = r _p + 1 . Se pueden escribir ecuaciones muy similares que se apliquen a la relación de los campos magnéticos de las ondas, pero la comparación de los campos eléctricos es más convencional.

Debido a que las ondas reflejadas e incidentes se propagan en el mismo medio y forman el mismo ángulo con la normal a la superficie, el coeficiente de reflexión de potencia R es simplemente el cuadrado de la magnitud de r :  ^[8]$${\displaystyle R=|r|^{2}.}$$

Por otra parte, el cálculo del coeficiente de transmisión de potencia T es menos sencillo, ya que la luz viaja en diferentes direcciones en los dos medios. Además, las impedancias de onda en los dos medios difieren; la potencia ( irradiancia ) se da por el cuadrado de la amplitud del campo eléctrico dividido por la impedancia característica del medio (o por el cuadrado del campo magnético multiplicado por la impedancia característica). Esto da como resultado: ^[9] utilizando la definición anterior de t . El factor introducido de ⁠$${\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}|t|^{2}}$$número ₂/número ₁⁠ es el recíproco de la relación de las impedancias de onda de los medios. Los factores cos( θ ) ajustan las potencias de las ondas de modo que se calculen en la dirección normal a la interfaz, tanto para las ondas incidentes como para las transmitidas, de modo que la transmisión de potencia completa corresponda a T = 1 .

En el caso de la reflexión interna total , donde la transmisión de potencia T es cero, t describe, no obstante, el campo eléctrico (incluida su fase) justo más allá de la interfaz. Se trata de un campo evanescente que no se propaga como una onda (por tanto, T = 0 ), sino que tiene valores distintos de cero muy cerca de la interfaz. El desplazamiento de fase de la onda reflejada en la reflexión interna total se puede obtener de forma similar a partir de los ángulos de fase de r _p y r _s (cuyas magnitudes son la unidad en este caso). Estos desplazamientos de fase son diferentes para las ondas s y p , que es el principio bien conocido por el que se utiliza la reflexión interna total para efectuar transformaciones de polarización .

En la fórmula anterior para r _s ‍ , si ponemos (ley de Snell) y multiplicamos el numerador y el denominador por ⁠${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$1/número ₁⁠  sin θ _t ‍ ,  obtenemos  ^{[10] [11]}$${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Si hacemos lo mismo con la fórmula para r _p ‍ , se demuestra fácilmente que el resultado es equivalente a  ^{[12] [13]}$${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Estas fórmulas  ^{[14] [15] [16]} se conocen respectivamente como ley del seno de Fresnel y ley de la tangente de Fresnel . ^[17] Aunque con una incidencia normal estas expresiones se reducen a 0/0, se puede ver que producen los resultados correctos en el límite como ‍ θ _i → 0 .

Cuando la luz produce múltiples reflexiones entre dos o más superficies paralelas, los múltiples haces de luz generalmente interfieren entre sí, lo que da como resultado amplitudes netas de transmisión y reflexión que dependen de la longitud de onda de la luz. Sin embargo, la interferencia se observa solo cuando las superficies están a distancias comparables o menores que la longitud de coherencia de la luz , que para la luz blanca común es de unos pocos micrómetros; puede ser mucho mayor para la luz de un láser .

Un ejemplo de interferencia entre reflexiones son los colores iridiscentes que se ven en una burbuja de jabón o en las delgadas películas de aceite sobre el agua. Las aplicaciones incluyen interferómetros Fabry-Pérot , recubrimientos antirreflejos y filtros ópticos . Un análisis cuantitativo de estos efectos se basa en las ecuaciones de Fresnel, pero con cálculos adicionales para tener en cuenta la interferencia.

El método de matriz de transferencia o el método recursivo de Rouard  ^[18] se pueden utilizar para resolver problemas de superficies múltiples.

En 1808, Étienne-Louis Malus descubrió que cuando un rayo de luz se reflejaba en una superficie no metálica con el ángulo adecuado, se comportaba como uno de los dos rayos que emergen de un cristal de calcita doblemente refractivo . ^[19] Más tarde acuñó el término polarización para describir este comportamiento. En 1815, David Brewster determinó experimentalmente la dependencia del ángulo de polarización con respecto al índice de refracción . ^[20] Pero la razón de esa dependencia era un misterio tan profundo que, a fines de 1817, Thomas Young se sintió impulsado a escribir:

[L]a gran dificultad de todas, que es asignar una razón suficiente para la reflexión o no reflexión de un rayo polarizado, probablemente permanecerá por mucho tiempo, para mortificar la vanidad de una filosofía ambiciosa, completamente irresuelta por cualquier teoría. ^[21]

Sin embargo, en 1821, Augustin-Jean Fresnel derivó resultados equivalentes a sus leyes del seno y la tangente (arriba), al modelar las ondas de luz como ondas elásticas transversales con vibraciones perpendiculares a lo que previamente se había llamado el plano de polarización . Fresnel confirmó rápidamente mediante experimentos que las ecuaciones predecían correctamente la dirección de polarización del haz reflejado cuando el haz incidente estaba polarizado a 45° con respecto al plano de incidencia, para la luz incidente desde el aire sobre vidrio o agua; en particular, las ecuaciones dieron la polarización correcta en el ángulo de Brewster. ^[22] La confirmación experimental fue reportada en una "posdata" al trabajo en el que Fresnel reveló por primera vez su teoría de que las ondas de luz, incluidas las ondas "no polarizadas", eran puramente transversales. ^[23]

Los detalles de la derivación de Fresnel, incluidas las formas modernas de la ley del seno y la ley de la tangente, se dieron más tarde, en una memoria leída en la Academia Francesa de Ciencias en enero de 1823. ^[24] Esa derivación combinó la conservación de la energía con la continuidad de la vibración tangencial en la interfaz, pero no permitió ninguna condición en el componente normal de vibración. ^[25] La primera derivación de los principios electromagnéticos fue dada por Hendrik Lorentz en 1875. ^[26]

En la misma memoria de enero de 1823, ^[24] Fresnel descubrió que para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, sus fórmulas para los coeficientes de reflexión ( r _s y r _p ) daban valores complejos con magnitudes unitarias. Observando que la magnitud, como de costumbre, representaba la relación de las amplitudes de pico, supuso que el argumento representaba el cambio de fase y verificó la hipótesis experimentalmente. ^[27] La ​​verificación implicó

• calcular el ángulo de incidencia que introduciría una diferencia de fase total de 90° entre los componentes s y p, para varios números de reflexiones internas totales en ese ángulo (generalmente había dos soluciones),
• sometiendo la luz a ese número de reflexiones internas totales en ese ángulo de incidencia, con una polarización lineal inicial a 45° respecto del plano de incidencia, y
• comprobando que la polarización final era circular . ^[28]

Así, finalmente tuvo una teoría cuantitativa para lo que hoy llamamos el rombo de Fresnel , un dispositivo que había estado usando en experimentos, de una forma u otra, desde 1817 (ver Rombo de Fresnel §  Historia ).

El éxito del coeficiente de reflexión complejo inspiró a James MacCullagh y Augustin-Louis Cauchy , a partir de 1836, a analizar la reflexión de los metales utilizando las ecuaciones de Fresnel con un índice de refracción complejo . ^[29]

Cuatro semanas antes de presentar su teoría completa de la reflexión interna total y el rombo, Fresnel presentó una memoria  ^[30] en la que introdujo los términos necesarios polarización lineal , polarización circular y polarización elíptica , ^[31] y en la que explicó la rotación óptica como una especie de birrefringencia : la luz polarizada linealmente se puede resolver en dos componentes polarizados circularmente que giran en direcciones opuestas, y si estos se propagan a diferentes velocidades, la diferencia de fase entre ellos -y por lo tanto la orientación de su resultante polarizada linealmente- variará continuamente con la distancia. ^[32]

De este modo, la interpretación de Fresnel de los valores complejos de sus coeficientes de reflexión marcó la confluencia de varias corrientes de su investigación y, posiblemente, la culminación esencial de su reconstrucción de la óptica física sobre la hipótesis de la onda transversal (véase Augustin-Jean Fresnel ).

Aquí derivamos sistemáticamente las relaciones anteriores a partir de premisas electromagnéticas.

Para calcular coeficientes de Fresnel significativos, debemos suponer que el medio es (aproximadamente) lineal y homogéneo . Si el medio también es isótropo , los cuatro vectores de campo E ,  B ,  D ,  H están relacionados por donde ϵ y μ son escalares, conocidos respectivamente como permitividad (eléctrica) y permeabilidad (magnética) del medio. Para el vacío, estos tienen los valores ϵ ₀ y μ ₀ , respectivamente. Por lo tanto, definimos la permitividad relativa (o constante dieléctrica ) ϵ _rel = ϵ / ϵ ₀  , y la permeabilidad relativa μ _rel = μ / μ ₀ . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,\end{aligned}}}$$

En óptica, es habitual suponer que el medio no es magnético, de modo que μ _rel = 1. Para materiales ferromagnéticos en frecuencias de radio/microondas, deben tenerse en cuenta valores mayores de μ _rel . Pero, para medios ópticamente transparentes y para todos los demás materiales en frecuencias ópticas (excepto posibles metamateriales ), μ _rel es, de hecho, muy cercano a 1; es decir, μ ≈ μ ₀ .

En óptica, normalmente se conoce el índice de refracción n del medio, que es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío ( c ) y la velocidad de la luz en el medio. En el análisis de la reflexión y transmisión parciales, también se interesa por la impedancia de onda electromagnética Z , que es la relación entre la amplitud de E y la amplitud de H . Por tanto, es deseable expresar n y Z en términos de ϵ y μ , y de ahí relacionar Z con n . Sin embargo, la última relación mencionada hará que sea conveniente derivar los coeficientes de reflexión en términos de la admitancia de onda Y , que es el recíproco de la impedancia de onda Z .

En el caso de ondas sinusoidales planas uniformes , la impedancia o admitancia de onda se denomina impedancia o admitancia intrínseca del medio. Este caso es para el que se deben derivar los coeficientes de Fresnel.

En una onda electromagnética sinusoidal plana uniforme , el campo eléctrico E tiene la forma

${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)},}$

( 1 )

donde E _k es el vector de amplitud complejo (constante), i es la unidad imaginaria , k es el vector de onda (cuya magnitud k es el número de onda angular ), r es el vector de posición , ω es la frecuencia angular , t es el tiempo, y se entiende que la parte real de la expresión es el campo físico. ^{[Nota 1]}   El valor de la expresión no cambia si la posición r varía en una dirección normal a k ; por lo tanto, k es normal a los frentes de onda .

Para avanzar la fase en el ángulo ϕ , reemplazamos ωt por ωt + ϕ  (es decir, reemplazamos − ωt por − ωt − ϕ ), con el resultado de que el campo (complejo) se multiplica por e ^−iϕ . Por lo tanto, un avance de fase es equivalente a la multiplicación por una constante compleja con un argumento negativo . Esto se vuelve más obvio cuando el campo ( 1 ) se factoriza como ‍ E _k e ^{i k ⋅ r} e ^−iωt , donde el último factor contiene la dependencia del tiempo. Ese factor también implica que la diferenciación con respecto al tiempo corresponde a la multiplicación por −iω .  ^{[Nota 2]}  

Si ℓ es el componente de r en la dirección de k  , el campo ( 1 ) se puede escribir ‍ E _k e ^{i ( kℓ − ωt )} . Si el argumento de e ^{i (⋯)} debe ser constante,  ℓ  debe aumentar a la velocidad ‍ conocida como velocidad de fase ( v _p ) . Esta a su vez es igual a ‍ . Resolviendo para k se obtiene  ${\displaystyle \omega /k\,,\,}$  ${\displaystyle c/n}$

${\displaystyle k=n\omega /c\,.}$

( 2 )

Como es habitual, descartamos el factor dependiente del tiempo e ^{− iωt} , que se entiende que multiplica cada cantidad de campo complejo. El campo eléctrico para una onda sinusoidal plana uniforme estará representado entonces por el fasor dependiente de la ubicación

${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }.}$

( 3 )

Para campos de esa forma, la ley de Faraday y la ley de Maxwell-Ampère respectivamente se reducen a  ^[33]$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

Poniendo B = μ H y D = ϵ E ‍ , ‍ como arriba, podemos eliminar B y D para obtener ecuaciones solo en E y H : Si los parámetros del material ϵ y μ son reales (como en un dieléctrico sin pérdidas), estas ecuaciones muestran que k  , E  , H forman una tríada ortogonal dextrógira , de modo que las mismas ecuaciones se aplican a las magnitudes de los respectivos vectores. Tomando las ecuaciones de magnitud y sustituyendo de ( 2 ), obtenemos donde H y E son las magnitudes de H y E . Multiplicando las dos últimas ecuaciones obtenemos         $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$   $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle n=c\,{\sqrt {\mu \epsilon }}\,.}$

( 4 )

Dividiendo (o multiplicando de forma cruzada) las mismas dos ecuaciones se obtiene H = YE ‍ , donde    

${\displaystyle Y={\sqrt {\epsilon /\mu }}\,.}$

( 5 )

Esta es la admisión intrínseca .

De ( 4 ) obtenemos la velocidad de fase ‍ . Para el vacío, esto se reduce a ‍ . Dividiendo el segundo resultado por el primero, obtenemos Para un medio no magnético (el caso habitual), esto se convierte en ⁠ ⁠ . ( Tomando el recíproco de ( 5 ), encontramos que la impedancia intrínseca es . En el vacío, esto toma el valor ‍ conocido como la impedancia del espacio libre . Por división, . Para un medio no magnético , esto se convierte en ) ${\displaystyle c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}}$  ${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$ $${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,.}$$${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}}$${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$ ${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$

En coordenadas cartesianas ( x ,  y , ‍ z ) , sea la región ‍ y < 0 ‍ con índice de refracción n ₁ , admitancia intrínseca Y ₁ , etc., y sea la región ‍ y > 0 ‍ con índice de refracción n ₂ , admitancia intrínseca Y ₂ , etc. Entonces el plano xz es la interfaz, y el eje y es normal a la interfaz (ver diagrama). Sean i y j (en letra romana en negrita ) los vectores unitarios en las direcciones x e y , respectivamente. Sea el plano de incidencia el plano xy (el plano de la página), con el ángulo de incidencia θ _i medido desde j hacia i . Sea el ángulo de refracción, medido en el mismo sentido, θ _t , donde el subíndice t representa transmitido (reservando r para reflejado ).        

En ausencia de desplazamientos Doppler , ω no cambia con la reflexión o la refracción. Por lo tanto, por ( 2 ), la magnitud del vector de onda es proporcional al índice de refracción.

Entonces, para un ω dado , si redefinimos k como la magnitud del vector de onda en el medio de referencia (para el cual n  = ‍ 1 ), entonces el vector de onda tiene magnitud n ₁ k en el primer medio (región ‍ y < 0 ‍ en el diagrama) y magnitud n ₂ k en el segundo medio. A partir de las magnitudes y la geometría, encontramos que los vectores de onda están donde el último paso utiliza la ley de Snell. Los productos puntuales correspondientes en la forma fasorial ( 3 ) son$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}+y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}-y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} &=k(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}})\,.\end{aligned}}}$

( 6 )

Por eso:

En  ${\displaystyle y=0\,,~~~\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}}\,.}$

( 7 )

Para la polarización s , el campo E es paralelo al eje z y, por lo tanto, puede describirse por su componente en la dirección z  . Sean r _s y t _s  los coeficientes de reflexión y transmisión , respectivamente. Entonces, si se toma que el campo E incidente tiene una amplitud unitaria, la forma fasorial ( 3 ) de su componente z es

${\displaystyle E_{\text{i}}=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} },}$

( 8 )

y los campos reflejados y transmitidos, en la misma forma, son

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{r}}&=r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{t}}&=t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

( 9 )

Según la convención de signos utilizada en este artículo, un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es aquel que preserva la dirección del campo transversal , es decir (en este contexto) el campo normal al plano de incidencia. Para la polarización s , eso significa el campo E. Si los campos E incidente, reflejado y transmitido (en las ecuaciones anteriores) están en la dirección z ("fuera de la página"), entonces los respectivos campos H están en las direcciones de las flechas rojas, ya que k  , E  , H forman una tríada ortogonal dextrógira. Por lo tanto, los campos H pueden describirse por sus componentes en las direcciones de esas flechas, denotadas por H _i  , H _r ‍ , H _t . Entonces, como H = YE ‍ ,           

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

( 10 )

En la interfaz, según las condiciones de interfaz habituales para los campos electromagnéticos , los componentes tangenciales de los campos E y H deben ser continuos; es decir,

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}+E_{\text{r}}&=E_{\text{t}}\\H_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-H_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=H_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,.}$

( 11 )

Cuando sustituimos de las ecuaciones ( 8 ) a ( 10 ) y luego de ( 7 ), los factores exponenciales se cancelan, de modo que las condiciones de interfaz se reducen a las ecuaciones simultáneas

${\displaystyle {\begin{aligned}1+r_{\text{s}}&=\,t_{\text{s}}\\Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}r_{\text{s}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,Y_{2}t_{\text{s}}\cos \theta _{\text{t}}\,,\end{aligned}}}$

( 12 )

que se resuelven fácilmente para r _s y t _s ‍ , dando como resultado

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

( 13 )

y

${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

( 14 )

Con una incidencia normal ( θ _i = θ _t = 0) , indicada por un subíndice adicional 0, estos resultados se convierten en  

${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {Y_{1}-Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}}}$

( 15 )

y

${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}\,.}$

( 16 )

En incidencia rasante ‍ ( θ _i → 90°) , tenemos cos θ _i → 0 ‍ , por lo tanto r _s → −1 y t _s → 0 .             

Para la polarización p , los campos E incidente, reflejado y transmitido son paralelos a las flechas rojas y, por lo tanto, pueden describirse por sus componentes en las direcciones de esas flechas. Sean esos componentes E _i  , E _r ‍ , E _t (redefiniendo los símbolos para el nuevo contexto). Sean los coeficientes de reflexión y transmisión r _p y t _{p . Entonces, si se toma que el campo} E incidente tiene una amplitud unitaria, tenemos     

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{i}}&=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{r}}&=r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{t}}&=t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

( 17 )

Si los campos E están en las direcciones de las flechas rojas, entonces, para que k  , E  , H formen una tríada ortogonal dextrógira, los respectivos campos H deben estar en la dirección −z  ("dentro de la página") y, por lo tanto, pueden describirse por sus componentes en esa dirección. Esto es coherente con la convención de signos adoptada, es decir, que un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es uno que preserva la dirección del campo transversal ( el campo H en el caso de la polarización p ) . La concordancia del otro campo con las flechas rojas revela una definición alternativa de la convención de signos: que un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es uno para el cual el vector de campo en el plano de incidencia apunta hacia el mismo medio antes y después de la reflexión o transmisión. ^[34]     

Por lo tanto, para los campos H incidente, reflejado y transmitido ,  sean los componentes respectivos en la dirección −z H _i  , H _r ‍ , H _t . Entonces, como H = YE ‍ ,         

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

( 18 )

En la interfaz, los componentes tangenciales de los campos E y H deben ser continuos, es decir,

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-E_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=E_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\\H_{\text{i}}+H_{\text{r}}&=H_{\text{t}}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,.}$

( 19 )

Cuando sustituimos de las ecuaciones ( 17 ) y ( 18 ) y luego de ( 7 ), los factores exponenciales se cancelan nuevamente, de modo que las condiciones de interfaz se reducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta _{\text{i}}-r_{\text{p}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,t_{\text{p}}\cos \theta _{\text{t}}\\Y_{1}+Y_{1}r_{\text{p}}&=\,Y_{2}t_{\text{p}}\,.\end{aligned}}}$

( 20 )

Resolviendo para r _p y t _p ‍ , encontramos

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

( 21 )

y

${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

( 22 )

Con una incidencia normal ( θ _i = θ _t = 0) indicada por un subíndice adicional 0, estos resultados se convierten en  

${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}}$

( 23 )

y

${\displaystyle t_{\text{p0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}\,.}$

( 24 )

En incidencia rasante ( θ _i  → 90°) , nuevamente tenemos cos θ _i → 0 ‍ , por lo tanto r _p → −1 y t _p → 0 .       

Comparando ( 23 ) y ( 24 ) con ( 15 ) y ( 16 ), vemos que en incidencia normal , bajo la convención de signos adoptada, los coeficientes de transmisión para las dos polarizaciones son iguales, mientras que los coeficientes de reflexión tienen magnitudes iguales pero signos opuestos. Si bien este choque de signos es una desventaja de la convención, la ventaja que conlleva es que los signos coinciden en incidencia rasante .

El vector de Poynting de una onda es un vector cuyo componente en cualquier dirección es la irradiancia (potencia por unidad de área) de esa onda sobre una superficie perpendicular a esa dirección. Para una onda sinusoidal plana, el vector de Poynting es ‍ ⁠ 1/2⁠ ‍ Re { E  × H ^∗ }  , donde E y H se deben únicamente a la onda en cuestión, y el asterisco denota conjugación compleja. Dentro de un dieléctrico sin pérdidas (el caso habitual), E y H están en fase y en ángulos rectos entre sí y con el vector de onda k  ; por lo tanto, para la polarización s, utilizando loscomponentes z y xy de E y H respectivamente (o para la polarización p, utilizando loscomponentes xy y -z de E y H ), la irradiancia en la dirección de k está dada simplemente por EH /2  , ‍ que es ‍ E ² / 2Z en un medio de impedancia intrínseca Z  = 1/ Y . Para calcular la irradiancia en la dirección normal a la interfaz, como requeriremos en la definición del coeficiente de transmisión de potencia, podríamos utilizar sólo el componente x (en lugar del componente xy completo ) de H o E o, equivalentemente, simplemente multiplicar EH /2 por el factor geométrico apropiado, obteniendo ( E ² / 2Z )  cos  θ .  

A partir de las ecuaciones ( 13 ) y ( 21 ), tomando magnitudes al cuadrado, encontramos que la reflectividad (relación entre la potencia reflejada y la potencia incidente) es

${\displaystyle R_{\text{s}}=\left|{\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

( 25 )

para la polarización s, y

${\displaystyle R_{\text{p}}=\left|{\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

( 26 )

para la polarización p. Nótese que al comparar las potencias de dos ondas de este tipo en el mismo medio y con el mismo  cos θ , la impedancia y los factores geométricos mencionados anteriormente son idénticos y se anulan. Pero al calcular la transmisión de potencia (abajo), estos factores deben tenerse en cuenta. 

La forma más sencilla de obtener el coeficiente de transmisión de potencia ( transmisividad , la relación entre la potencia transmitida y la potencia incidente en la dirección normal a la interfaz , es decir, la dirección y ) es utilizar R  +  T  = 1 ( conservación de la energía). De esta manera encontramos

${\displaystyle T_{\text{s}}=1-R_{\text{s}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}}$

( 25 toneladas )

para la polarización s, y

${\displaystyle T_{\text{p}}=1-R_{\text{p}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}}$

( 26T )

para la polarización p.

En el caso de una interfaz entre dos medios sin pérdidas (para los cuales ϵ y μ son reales y positivos), se pueden obtener estos resultados directamente utilizando las magnitudes al cuadrado de los coeficientes de transmisión de amplitud que encontramos anteriormente en las ecuaciones ( 14 ) y ( 22 ). Pero, para una amplitud dada (como se señaló anteriormente), el componente del vector de Poynting en la dirección y es proporcional al factor geométrico cos  θ ‍ e inversamente proporcional a la impedancia de onda Z . Aplicando estas correcciones a cada onda, obtenemos dos razones que multiplican el cuadrado del coeficiente de transmisión de amplitud:

${\displaystyle T_{\text{s}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

( 27 )

para la polarización s, y

${\displaystyle T_{\text{p}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

( 28 )

para la polarización p. Las dos últimas ecuaciones se aplican únicamente a dieléctricos sin pérdidas y únicamente en ángulos de incidencia menores que el ángulo crítico (más allá del cual, por supuesto, T  = 0  ).

Para luz no polarizada: donde .$${\displaystyle T={1 \over 2}(T_{s}+T_{p})}$$$${\displaystyle R={1 \over 2}(R_{s}+R_{p})}$$${\displaystyle R+T=1}$

De las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ), vemos que dos medios diferentes tendrán el mismo índice de refracción, pero diferentes admitancias, si la relación de sus permeabilidades es la inversa de la relación de sus permitividades. En esa situación inusual tenemos θ _t = θ _i ‍ ( es decir, el rayo transmitido no se desvía), de modo que los cosenos en las ecuaciones ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) y ( 25 ) a ( 28 ) se cancelan, y todas las relaciones de reflexión y transmisión se vuelven independientes del ángulo de incidencia; en otras palabras, las relaciones para la incidencia normal se vuelven aplicables a todos los ángulos de incidencia. ^[35] Cuando se extiende a la reflexión o dispersión esférica, esto da como resultado el efecto Kerker para la dispersión de Mie .   

Dado que las ecuaciones de Fresnel se desarrollaron para la óptica, se dan generalmente para materiales no magnéticos. Dividiendo ( 4 ) por ( 5 )) se obtiene Para medios no magnéticos podemos sustituir la permeabilidad al vacío μ ₀ por μ , de modo que , es decir, las admitancias son simplemente proporcionales a los índices de refracción correspondientes. Cuando hacemos estas sustituciones en las ecuaciones ( 13 ) a ( 16 ) y en las ecuaciones ( 21 ) a ( 26 ), el factor cμ ₀ se cancela. Para los coeficientes de amplitud obtenemos: ^{[5] [6]}$${\displaystyle Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,.}$$ $${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,;}$$

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

( 29 )

${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,}$

( 30 )

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

( 31 )

${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

( 32 )

Para el caso de incidencia normal estos se reducen a:

${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$

( 33 )

${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}}$

( 34 )

${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}}$

( 35 )

${\displaystyle t_{\text{p0}}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\,.}$

( 36 )

Los coeficientes de reflexión de potencia se convierten en:

${\displaystyle R_{\text{s}}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

( 37 )

${\displaystyle R_{\text{p}}=\left|{\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}\,.}$

( 38 )

Las transmisiones de potencia se pueden encontrar a partir de T  = 1 −  R .

Para permeabilidades iguales (por ejemplo, medios no magnéticos), si θ _i y θ _t son complementarios , podemos sustituir ‍ sen θ _t ‍ por ‍ cos θ _i ‍ , y ‍ sen θ _i ‍ por ‍ cos θ _t ‍ , de modo que el numerador en la ecuación ( 31 ) se convierte en ‍ n ₂ ‍ sen θ _t − n ₁ ‍ sen θ _i ‍ , que es cero (según la ley de Snell). Por lo tanto, r _p = 0 y solo se refleja el componente s-polarizado. Esto es lo que sucede en el ángulo de Brewster . Sustituyendo ‍ cos θ _i ‍ por ‍ sen θ _t ‍ en la ley de Snell, obtenemos fácilmente                    

${\displaystyle \theta _{\text{i}}=\arctan(n_{2}/n_{1})}$

( 39 )

para el ángulo de Brewster.

Aunque no se encuentra en la práctica, las ecuaciones también se pueden aplicar al caso de dos medios con una permitividad común pero diferentes índices de refracción debido a diferentes permeabilidades. A partir de las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ), si ϵ es fijo en lugar de μ , entonces Y se vuelve inversamente proporcional a n , con el resultado de que los subíndices 1 y 2 en las ecuaciones ( 29 ) a ( 38 ) se intercambian (debido al paso adicional de multiplicar el numerador y el denominador por n ₁ n ₂ ). Por lo tanto, en ( 29 ) y ( 31 ), las expresiones para r _s y r _p en términos de índices de refracción se intercambiarán, de modo que el ángulo de Brewster ( 39 ) dará r _s = 0 en lugar de r _p = 0 ‍ , ‍ y cualquier haz reflejado en ese ángulo estará p-polarizado en lugar de s-polarizado. ^[36] De manera similar, la ley del seno de Fresnel se aplicará a la polarización p en lugar de a la polarización s, y su ley tangente a la polarización s en lugar de a la polarización p.     

Este cambio de polarizaciones tiene un análogo en la antigua teoría mecánica de las ondas de luz (véase § Historia , más arriba). Se podrían predecir coeficientes de reflexión que coincidieran con la observación suponiendo (como Fresnel) que los diferentes índices de refracción se debían a diferentes densidades y que las vibraciones eran normales a lo que entonces se llamaba el plano de polarización , o suponiendo (como MacCullagh y Neumann ) que los diferentes índices de refracción se debían a diferentes elasticidades y que las vibraciones eran paralelas a ese plano. ^[37] Por lo tanto, la condición de permitividades iguales y permeabilidades desiguales, aunque no es realista, es de cierto interés histórico.

• Cálculo de Jones
• Mezcla de polarización
• Material de coincidencia de índices
• Magnitudes de campo y potencia
• Rombo de Fresnel , aparato de Fresnel para producir luz polarizada circularmente
• Pérdida de reflexión
• Reflexión especular
• Aproximación de Schlick
• La ventana de Snell
• Reflectividad de rayos X
• Plano de incidencia
• Reflexiones de señales en líneas conductoras

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• Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª edición) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 

• Ecuaciones de Fresnel – Wolfram.
• Calculadora de ecuaciones de Fresnel
• FreeSnell – Un software libre calcula las propiedades ópticas de materiales multicapa.
• Thinfilm – Interfaz web para calcular propiedades ópticas de películas delgadas y materiales multicapa (coeficientes de reflexión y transmisión, parámetros elipsométricos Psi y Delta).
• Interfaz web sencilla para calcular ángulos e intensidades de reflexión y refracción en una sola interfaz.
• Reflexión y transmitancia de dos dieléctricos ^{[ enlace muerto permanente ]} – Página web interactiva de Mathematica que muestra las relaciones entre el índice de refracción y la reflexión.
• Una derivación autónoma de primeros principios de las probabilidades de transmisión y reflexión de una multicapa con índices de refracción complejos.