Ecuación de convección-difusión

La ecuación de convección-difusión es una ecuación diferencial parcial parabólica que combina las ecuaciones de difusión y convección ( advección ). Describe fenómenos físicos en los que partículas, energía u otras cantidades físicas se transfieren dentro de un sistema físico debido a dos procesos: difusión y convección . Según el contexto, la misma ecuación puede denominarse ecuación de advección -difusión , ecuación de deriva ^{-difusión [1]} o ecuación de transporte escalar (genérica) . ^[2]

La ecuación general en forma conservativa es ^{[3] [4]} donde$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\mathbf {\nabla } \cdot (D\mathbf {\nabla } c-\mathbf {v} c)+R}$$

• c es la variable de interés (concentración de especies para transferencia de masa , temperatura para transferencia de calor ),
• D es la difusividad (también llamada coeficiente de difusión ), como la difusividad de masa para el movimiento de partículas o la difusividad térmica para el transporte de calor,
• v es el campo de velocidad con el que se mueve la cantidad. Es una función del tiempo y el espacio. Por ejemplo, en la advección , c podría ser la concentración de sal en un río, y luego v sería la velocidad del flujo de agua en función del tiempo y la ubicación. Otro ejemplo, c podría ser la concentración de pequeñas burbujas en un lago tranquilo, y luego v sería la velocidad de las burbujas que suben hacia la superficie por flotabilidad (ver más abajo) dependiendo del tiempo y la ubicación de la burbuja. Para flujos multifásicos y flujos en medios porosos , v es la velocidad superficial (hipotética).
• R describe las fuentes o sumideros de la cantidad c , es decir, la creación o destrucción de la cantidad. Por ejemplo, para una especie química, R > 0 significa que una reacción química está creando más especies, y R < 0 significa que una reacción química está destruyendo la especie. Para el transporte de calor, R > 0 podría ocurrir si la energía térmica se está generando por fricción .
• ∇ representa el gradiente y ∇ ⋅ representa la divergencia . En esta ecuación, ∇ c representa el gradiente de concentración.

En general, D , v y R pueden variar con el espacio y el tiempo. En los casos en que también dependen de la concentración, la ecuación se vuelve no lineal, lo que da lugar a muchos fenómenos de mezcla distintivos, como la convección de Rayleigh-Bénard cuando v depende de la temperatura en la formulación de transferencia de calor y la formación de patrones de reacción-difusión cuando R depende de la concentración en la formulación de transferencia de masa.

A menudo hay varias magnitudes, cada una con su propia ecuación de convección-difusión, donde la destrucción de una magnitud implica la creación de otra. Por ejemplo, cuando se quema metano, no solo se destruye metano y oxígeno, sino que también se crea dióxido de carbono y vapor de agua. Por lo tanto, si bien cada una de estas sustancias químicas tiene su propia ecuación de convección-difusión, están acopladas entre sí y deben resolverse como un sistema de ecuaciones diferenciales.

La ecuación de convección-difusión se puede derivar de una manera sencilla ^[4] a partir de la ecuación de continuidad , que establece que la tasa de cambio para una cantidad escalar en un volumen de control diferencial está dada por el flujo y la difusión dentro y fuera de esa parte del sistema junto con cualquier generación o consumo dentro del volumen de control: donde j es el flujo total y R es una fuente volumétrica neta para c . Hay dos fuentes de flujo en esta situación. Primero, el flujo difusivo surge debido a la difusión . Esto se aproxima típicamente por la primera ley de Fick : es decir, el flujo del material que se difunde (en relación con el movimiento en masa) en cualquier parte del sistema es proporcional al gradiente de concentración local . Segundo, cuando hay convección o flujo general, hay un flujo asociado llamado flujo advectivo : El flujo total (en un sistema de coordenadas estacionario) está dado por la suma de estos dos: Introduciendo en la ecuación de continuidad:$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,}$$$${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{diff}}=-D\nabla c}$$$${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{adv}}=\mathbf {v} c}$$$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}}+\mathbf {j} _{\text{adv}}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.}$$

En una situación común, el coeficiente de difusión es constante, no hay fuentes ni sumideros y el campo de velocidad describe un flujo incompresible (es decir, tiene divergencia cero ). Entonces, la fórmula se simplifica a: ^[5]$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v} \cdot \nabla c.}$$

En este caso la ecuación se puede expresar en la forma convectiva simple :$${\displaystyle {\frac {dc}{dt}}=D\nabla ^{2}c,}$$

donde la derivada del lado izquierdo es la derivada material de la variable c . En un material que no interactúa, D=0 (por ejemplo, cuando la temperatura está cerca del cero absoluto , el gas diluido tiene una difusividad de masa casi nula ), por lo tanto, la ecuación de transporte es simplemente la ecuación de continuidad:$${\displaystyle {\frac {\parcial c}{\parcial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla c=0.}$$

Utilizando la transformada de Fourier tanto en el dominio temporal como en el espacial (es decir, con núcleo integral ), se puede obtener su ecuación característica : que da la solución general: donde es cualquier función escalar diferenciable . Esta es la base de la medición de temperatura para el condensado de Bose-Einstein cercano ^[6] mediante el método del tiempo de vuelo . ^[7]${\displaystyle e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$$${\displaystyle j\omega {\tilde {c}}+\mathbf {v} \cdot j\mathbf {k} {\tilde {c}}=0\rightarrow \omega =-\mathbf {k} \cdot \ matemáticasbf {v},}$$$${\displaystyle c=f(x - v t),}$$${\estilo de visualización f}$

La ecuación de convección-difusión estacionaria describe el comportamiento en estado estable de un sistema de convección-difusión. ^[8] En un estado estable,∂ c/∂​⁠ = 0 , por lo que la ecuación a resolver se convierte en la ecuación de segundo orden: En una dimensión espacial, la ecuación se puede escribir como$${\displaystyle \nabla \cdot (-D\nabla c+\mathbf {v} c)=R.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(-D(x){\frac {dc(x)}{dx}}+v(x)c(x)\right)=R(x)}$$

Que puede integrarse una vez en la variable espacial x para dar:

$${\displaystyle D(x){\frac {dc(x)}{dx}}-v(x)c(x)=-\int _{x}R(x')dx'}$$

Donde D no es cero, se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea con coeficientes variables en la variable c(x):

$${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$donde los coeficientes son: y: Por otro lado, en las posiciones x donde D=0, el término de difusión de primer orden desaparece y la solución se convierte simplemente en el cociente:$${\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{D(x)}}}$$$${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{D(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

$${\displaystyle c(x)={\frac {1}{v(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

En algunos casos, el campo de velocidad promedio v existe debido a una fuerza; por ejemplo, la ecuación podría describir el flujo de iones disueltos en un líquido, con un campo eléctrico que tira de los iones en alguna dirección (como en la electroforesis en gel ). En esta situación, generalmente se la llama ecuación de deriva-difusión o ecuación de Smoluchowski [ ^1] en honor a Marian Smoluchowski, quien la describió en 1915 ^[9] (no debe confundirse con la relación de Einstein-Smoluchowski o la ecuación de coagulación de Smoluchowski ).

Normalmente, la velocidad media es directamente proporcional a la fuerza aplicada, lo que da como resultado la ecuación: ^{[10] [11]} donde F es la fuerza y ​​ζ caracteriza la fricción o arrastre viscoso . (La inversa ζ ⁻¹ se denomina movilidad ).$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot \left(\zeta ^{-1}\mathbf {F} c\ derecha)+R}$$

Cuando la fuerza está asociada con una energía potencial F = −∇ U (ver fuerza conservativa ), una solución de estado estable para la ecuación anterior (es decir, 0 = R = ⁠∂ c/∂​⁠ ) ​​es: (suponiendo que D y ζ son constantes). En otras palabras, hay más partículas donde la energía es menor. Se espera que este perfil de concentración concuerde con la distribución de Boltzmann (más precisamente, la medida de Gibbs ). A partir de este supuesto, se puede demostrarla relación de Einstein : ^[11]$${\displaystyle c\propto \exp \izquierda(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\derecha)}$$$${\displaystyle D\zeta =k_{\mathrm {B} }T.}$$

La ecuación de convección-difusión es una ecuación relativamente simple que describe flujos o, alternativamente, describe un sistema que cambia de forma estocástica. Por lo tanto, la misma ecuación o una ecuación similar surgen en muchos contextos no relacionados con los flujos a través del espacio.

• Es formalmente idéntica a la ecuación de Fokker-Planck para la velocidad de una partícula.
• Está estrechamente relacionada con la ecuación de Black-Scholes y otras ecuaciones en matemáticas financieras. ^[12]
• Está estrechamente relacionada con las ecuaciones de Navier-Stokes , porque el flujo de momento en un fluido es matemáticamente similar al flujo de masa o energía. La correspondencia es más clara en el caso de un fluido newtoniano incompresible, en cuyo caso la ecuación de Navier-Stokes es:$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}\mathbf {M} -\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {M} +(\mathbf {f} -\nabla P)}$$

donde M es el momento del fluido (por unidad de volumen) en cada punto (igual a la densidad ρ multiplicada por la velocidad v ), μ es la viscosidad, P es la presión del fluido y f es cualquier otra fuerza del cuerpo como la gravedad . En esta ecuación, el término del lado izquierdo describe el cambio en el momento en un punto dado; el primer término de la derecha describe la difusión del momento por la viscosidad ; el segundo término de la derecha describe el flujo advectivo del momento; y los dos últimos términos de la derecha describen las fuerzas externas e internas que pueden actuar como fuentes o sumideros de momento.

La ecuación de convección-difusión (con R = 0 ) puede verse como una ecuación diferencial estocástica , que describe un movimiento aleatorio con difusividad D y sesgo v . Por ejemplo, la ecuación puede describir el movimiento browniano de una sola partícula, donde la variable c describe la distribución de probabilidad de que la partícula esté en una posición dada en un momento dado. La razón por la que la ecuación puede usarse de esa manera es porque no hay diferencia matemática entre la distribución de probabilidad de una sola partícula y el perfil de concentración de una colección de infinitas partículas (siempre que las partículas no interactúen entre sí).

La ecuación de Langevin describe la advección, la difusión y otros fenómenos de una manera explícitamente estocástica. Una de las formas más simples de la ecuación de Langevin es cuando su "término de ruido" es gaussiano ; en este caso, la ecuación de Langevin es exactamente equivalente a la ecuación de convección-difusión. Sin embargo, la ecuación de Langevin es más general. ^[11]

En física de semiconductores , esta ecuación se denomina ecuación de deriva-difusión . La palabra "deriva" está relacionada con la corriente de deriva y la velocidad de deriva . La ecuación normalmente se escribe: ^[13] donde$${\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla nn\mu _{n}\mathbf {E} \ \{\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} \\{\frac {\partial n}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R\\{\frac {\partial p}{\partial t }}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R\end{aligned}}}$$

• n y p son las concentraciones (densidades) de electrones y huecos , respectivamente,
• q > 0 es la carga elemental ,
• J _n y J _p son las corrientes eléctricas debidas a los electrones y huecos respectivamente,
• ⁠Yo _en/- q⁠ y ⁠J _p/qson las " corrientes de partículas" correspondientes de electrones y huecos respectivamente,
• R representa la generación y recombinación de portadores ( R > 0 para la generación de pares electrón-hueco, R < 0 para la recombinación).
• E es elvector del campo eléctrico
• ${\displaystyle \mu_{n}}$y son la movilidad de electrones y huecos .${\displaystyle \mu_{p}}$

El coeficiente de difusión y la movilidad están relacionados por la relación de Einstein como se muestra arriba: donde k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta . La corriente de deriva y la corriente de difusión se refieren por separado a los dos términos en las expresiones para J , a saber:$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\\D_{p}&={\ frac {\mu _{p}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{aligned}}}$$

Esta ecuación se puede resolver junto con la ecuación de Poisson numéricamente. ^[14]

A la derecha se muestra un ejemplo de los resultados de la solución de la ecuación de difusión por deriva. Cuando la luz incide sobre el centro de un semiconductor, se generan portadores en el medio y se difunden hacia los dos extremos. La ecuación de difusión por deriva se resuelve en esta estructura y la distribución de la densidad electrónica se muestra en la figura. Se puede ver el gradiente de portadores desde el centro hacia los dos extremos.

• Wesseling, Pieter (2001). Principios de dinámica de fluidos computacional . Vol. 29. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-05146-3. ISBN 978-3-642-05145-6.

• Sewell, Granville (1988). La solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . Academic Press. ISBN 0-12-637475-9.