Dinámica simbólica

En matemáticas , la dinámica simbólica es el estudio de sistemas dinámicos definidos en un espacio discreto que consiste en secuencias infinitas de símbolos abstractos. La evolución del sistema dinámico se define como un simple desplazamiento de la secuencia.

Debido a su naturaleza explícita y discreta, estos sistemas suelen ser relativamente fáciles de caracterizar y comprender. Forman una herramienta clave para estudiar sistemas dinámicos topológicos o suaves , porque en muchos casos importantes es posible reducir la dinámica de un sistema dinámico más general a un sistema simbólico. Para ello, se utiliza una partición de Markov para proporcionar una cobertura finita para el sistema suave; cada conjunto de la cobertura se asocia con un solo símbolo, y las secuencias de símbolos resultan a medida que una trayectoria del sistema se mueve de un conjunto de cobertura a otro.

La idea se remonta al artículo de Jacques Hadamard de 1898 sobre las geodésicas en superficies de curvatura negativa . ^[1] Fue aplicada por Marston Morse en 1921 a la construcción de una geodésica recurrente no periódica. Trabajos relacionados fueron realizados por Emil Artin en 1924 (para el sistema ahora llamado billar Artin ), Pekka Myrberg , Paul Koebe , Jakob Nielsen , GA Hedlund .

El primer tratamiento formal fue desarrollado por Morse y Hedlund en su artículo de 1938. ^[2] George Birkhoff , Norman Levinson y la pareja Mary Cartwright y JE Littlewood han aplicado métodos similares al análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales de segundo orden no autónomas .

Claude Shannon utilizó secuencias simbólicas y cambios de tipo finito en su artículo de 1948 Una teoría matemática de la comunicación que dio origen a la teoría de la información .

A finales de la década de 1960, el método de dinámica simbólica fue desarrollado para los automorfismos torales hiperbólicos por Roy Adler y Benjamin Weiss , ^[3] y para los difeomorfismos de Anosov por Yakov Sinai, quien utilizó el modelo simbólico para construir medidas de Gibbs . ^[4] A principios de la década de 1970, la teoría se extendió a los flujos de Anosov por Marina Ratner , y a los difeomorfismos y flujos del Axioma A por Rufus Bowen .

Una aplicación espectacular de los métodos de dinámica simbólica es el teorema de Sharkovskii sobre las órbitas periódicas de una función continua de un intervalo en sí mismo (1964).

Consideremos el conjunto de secuencias infinitas bilaterales con dos símbolos, 0 y 1. Un elemento típico de este conjunto se ve así: (..., 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, ...)

Habrá exactamente dos puntos fijos bajo el mapa de desplazamiento: la secuencia de todos los ceros y la secuencia de todos los unos. Una secuencia periódica tendrá una órbita periódica. Por ejemplo, la secuencia (..., 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) tendrá un período dos.

Los conceptos más complejos, como las órbitas heteroclínicas y las órbitas homoclínicas , también tienen descripciones sencillas en este sistema. Por ejemplo, cualquier secuencia que tenga solo un número finito de unos tendrá una órbita homoclínica, que tenderá a la secuencia de todos los ceros en iteraciones hacia adelante y hacia atrás.

El recorrido de un punto respecto de la partición es una secuencia de símbolos que describe la dinámica del punto. ^[5]

La dinámica simbólica se originó como un método para estudiar sistemas dinámicos generales; ahora sus técnicas e ideas han encontrado aplicaciones significativas en el almacenamiento y transmisión de datos , el álgebra lineal , los movimientos de los planetas y muchas otras áreas ^{[ cita requerida ]} . La característica distintiva de la dinámica simbólica es que el tiempo se mide en intervalos discretos . Por lo tanto, en cada intervalo de tiempo, el sistema está en un estado particular . Cada estado está asociado con un símbolo y la evolución del sistema se describe mediante una secuencia infinita de símbolos, representados efectivamente como cadenas . Si los estados del sistema no son inherentemente discretos, entonces el vector de estado debe discretizarse, para obtener una descripción de grano grueso del sistema.

• Sistema dinámico que preserva la medida
• Combinatoria y sistemas dinámicos
• Cambiar espacio
• Cambio de tipo finito
• Dinámica compleja
• Dinámica aritmética

• Hao, Bailin (1989). Dinámica simbólica elemental y caos en sistemas disipativos. World Scientific . ISBN 9971-5-0682-3Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2009. Consultado el 2 de diciembre de 2009 .
• Bruce Kitchens, Dinámica simbólica. Desplazamientos de Markov de estado unilaterales, bilaterales y contables . Universitext, Springer-Verlag , Berlín, 1998. x+252 pp. ISBN 3-540-62738-3 MR 1484730 
• Lind, Douglas; Marcus, Brian (1995). Introducción a la dinámica simbólica y la codificación. Cambridge University Press . ISBN 0-521-55124-2. MR  1369092. Zbl  1106.37301. Archivado desde el original el 22 de junio de 2016. Consultado el 3 de junio de 2005 .
• GA Hedlund, Endomorfismos y automorfismos del sistema dinámico de desplazamiento . Math. Systems Theory, vol. 3, n.º 4 (1969) 320–3751
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• "Dinámica simbólica". Scholarpedia .

• Capítulo de ChaosBook.org "Gráficos de transición"
• Una simulación del sistema de billar de tres parachoques y su dinámica simbólica, de Chaos V: Duhem's Bull