Dinámica compleja

La dinámica compleja , o dinámica holomorfa , es el estudio de sistemas dinámicos obtenidos mediante la iteración de una función analítica compleja . Este artículo se centra en el caso de la dinámica algebraica , en el que se itera un polinomio o una función racional . En términos geométricos, eso equivale a iterar una función de alguna variedad algebraica sobre sí misma. La teoría relacionada de la dinámica aritmética estudia la iteración sobre los números racionales o los números p-ádicos en lugar de los números complejos .

Un ejemplo simple que muestra algunos de los principales problemas en dinámica compleja es la aplicación de los números complejos C a sí mismos. Es útil ver esto como una aplicación de la línea proyectiva compleja a sí misma, agregando un punto a los números complejos. ( tiene la ventaja de ser compacto ). La pregunta básica es: dado un punto en , ¿cómo se mueve su órbita (u órbita hacia adelante )${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\estilo de visualización\infty}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\estilo de visualización z}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle z,\;f(z)=z^{2},\;f(f(z))=z^{4},f(f(f(z)))=z^{8} ,\;\lpuntos }$

¿Cómo se comportan, cualitativamente? La respuesta es: si el valor absoluto | z | es menor que 1, entonces la órbita converge a 0, de hecho más que exponencialmente rápido. Si | z | es mayor que 1, entonces la órbita converge al punto en , nuevamente más que exponencialmente rápido. (Aquí 0 y son puntos fijos superatractivos de f , lo que significa que la derivada de f es cero en esos puntos. Un punto fijo atrayente significa uno donde la derivada de f tiene un valor absoluto menor que 1).${\estilo de visualización\infty}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\estilo de visualización\infty}$

Por otra parte, supongamos que , lo que significa que z está en el círculo unitario en C . En estos puntos, la dinámica de f es caótica, de varias maneras. Por ejemplo, para casi todos los puntos z en el círculo en términos de la teoría de la medida , la órbita hacia delante de z es densa en el círculo, y de hecho uniformemente distribuida en el círculo. También hay infinitos puntos periódicos en el círculo, es decir, puntos con para algún entero positivo r . (Aquí significa el resultado de aplicar f a z r veces, .) Incluso en puntos periódicos z en el círculo, la dinámica de f puede considerarse caótica, ya que los puntos cerca de z divergen exponencialmente rápido de z al iterar f . (Los puntos periódicos de f en el círculo unitario son repulsivos : si , la derivada de en z tiene un valor absoluto mayor que 1.)${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle f^{r}(z)=z}$$Estilo de visualización f^{r}(z)}$ ${\displaystyle f(f(\cdots (f(z))\cdots ))}$${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle f^{r}}$

Pierre Fatou y Gaston Julia demostraron a finales de la década de 1910 que gran parte de esta historia se extiende a cualquier aplicación algebraica compleja de a sí misma de grado mayor que 1. (Dicha aplicación puede darse por un polinomio con coeficientes complejos, o más generalmente por una función racional). Es decir, siempre hay un subconjunto compacto de , el conjunto de Julia , en el que la dinámica de f es caótica. Para la aplicación , el conjunto de Julia es el círculo unitario. Para otras aplicaciones polinómicas, el conjunto de Julia es a menudo muy irregular, por ejemplo un fractal en el sentido de que su dimensión de Hausdorff no es un entero. Esto ocurre incluso para aplicaciones tan simples como para una constante . El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos c tales que el conjunto de Julia de es conexo .${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\estilo de visualización f(z)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle c\in \mathbf {C}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

Existe una clasificación bastante completa de la posible dinámica de una función racional en el conjunto de Fatou , el complemento del conjunto de Julia, donde la dinámica es "mansa". Es decir, Dennis Sullivan demostró que cada componente conexo U del conjunto de Fatou es preperiódico, lo que significa que hay números naturales tales que . Por lo tanto, para analizar la dinámica en un componente U , se puede suponer después de reemplazar f por un iterado que . Entonces (1) U contiene un punto fijo de atracción para f ; (2) U es parabólico en el sentido de que todos los puntos en U se aproximan a un punto fijo en el límite de U ; (3) U es un disco de Siegel , lo que significa que la acción de f sobre U es conjugada a una rotación irracional del disco unitario abierto; o (4) U es un anillo de Herman , lo que significa que la acción de f sobre U es conjugada a una rotación irracional de un anillo abierto . ^[1] (Nótese que la "órbita hacia atrás" de un punto z en U , el conjunto de puntos en esa función a z bajo alguna iteración de f , no necesita estar contenida en U .)${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{1}\to \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\estilo de visualización a<b}$${\displaystyle f^{a}(U)=f^{b}(U)}$${\displaystyle f(U)=U}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

La dinámica compleja se ha desarrollado de manera efectiva en cualquier dimensión. Esta sección se centra en las aplicaciones del espacio proyectivo complejo a sí mismo, la fuente más rica de ejemplos. Los principales resultados de se han extendido a una clase de aplicaciones racionales de cualquier variedad proyectiva a sí misma. ^[2] Nótese, sin embargo, que muchas variedades no tienen aplicaciones propias interesantes.${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

Sea f un endomorfismo de , es decir, un morfismo de variedades algebraicas de a sí mismo, para un entero positivo n . Tal aplicación se da en coordenadas homogéneas por${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[f_{0}(z_{0},\ldots ,z_{n}),\ldots ,f_{n}(z_{0},\ldots ,z_{n})]}$

para algunos polinomios homogéneos del mismo grado d que no tienen ceros comunes en . (Por el teorema de Chow , esto es lo mismo que una aplicación holomórfica de a sí misma.) Supóngase que d es mayor que 1; entonces el grado de la aplicación f es , que también es mayor que 1.${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle d^{n}}$

Luego hay una medida de probabilidad única en , la medida de equilibrio de f , que describe la parte más caótica de la dinámica de f . (También se ha llamado la medida de Green o medida de entropía máxima .) Esta medida fue definida por Hans Brolin (1965) para polinomios en una variable, por Alexandre Freire, Artur Lopes , Ricardo Mañé y Mikhail Lyubich para (alrededor de 1983), y por John Hubbard , Peter Papadopol, John Fornaess y Nessim Sibony en cualquier dimensión (alrededor de 1994). ^[3] El pequeño conjunto de Julia es el soporte de la medida de equilibrio en ; este es simplemente el conjunto de Julia cuando .${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n=1}$

• Para el mapeo de , la medida de equilibrio es la medida de Haar (la medida estándar, escalada para tener una medida total de 1) en el círculo unitario .${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle |z|=1}$
• De manera más general, para un entero , sea la función${\displaystyle d>1}$${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[z_{0}^{d},\ldots ,z_{n}^{d}].}$

Entonces, la medida de equilibrio es la medida de Haar en el toro n -dimensional. Para aplicaciones holomórficas más generales de a sí mismo, la medida de equilibrio puede ser mucho más complicada, como ya se ve en la dimensión compleja 1 a partir de imágenes de conjuntos de Julia.${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \{[1,z_{1},\ldots ,z_{n}]:|z_{1}|=\cdots =|z_{n}|=1\}.}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

Una propiedad básica de la medida de equilibrio es que es invariante bajo f , en el sentido de que la medida de empuje hacia adelante es igual a . Debido a que f es un morfismo finito , la medida de retroceso también está definida y es totalmente invariante en el sentido de que .${\displaystyle f_{*}\mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f^{*}\mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f^{*}\mu _{f}=\deg(f)\mu _{f}}$

Una caracterización sorprendente de la medida de equilibrio es que describe la asintótica de casi cada punto en cuando se sigue hacia atrás en el tiempo, por Jean-Yves Briend, Julien Duval, Tien-Cuong Dinh y Sibony. Es decir, para un punto z en y un entero positivo r , considere la medida de probabilidad que se distribuye uniformemente en los puntos w con . Entonces hay un subconjunto cerrado de Zariski tal que para todos los puntos z no en E , las medidas recién definidas convergen débilmente a la medida de equilibrio cuando r tiende a infinito. En más detalle: solo un número finito de subespacios complejos cerrados de son totalmente invariantes bajo f (lo que significa que ), y uno puede tomar el conjunto excepcional E como el único subespacio complejo cerrado totalmente invariante más grande no igual a . ^[4]${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle (1/d^{rn})(f^{r})^{*}(\delta _{z})}$${\displaystyle d^{rn}}$${\displaystyle f^{r}(w)=z}$${\displaystyle E\subsetneq \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle f^{-1}(S)=S}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

Otra caracterización de la medida de equilibrio (debida a Briend y Duval) es la siguiente. Para cada entero positivo r , el número de puntos periódicos del periodo r (es decir, que ), contados con multiplicidad, es , que es aproximadamente . Consideremos la medida de probabilidad que se distribuye uniformemente en los puntos del periodo r . Entonces, estas medidas también convergen a la medida de equilibrio cuando r tiende al infinito. Además, la mayoría de los puntos periódicos son repulsivos y se encuentran en , por lo que se obtiene la misma medida límite promediando solo sobre los puntos periódicos repulsivos en . ^[5] También puede haber puntos periódicos repulsivos fuera de . ^[6]${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle (d^{r(n+1)}-1)/(d^{r}-1)}$${\displaystyle d^{rn}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$

La medida de equilibrio da masa cero a cualquier subespacio complejo cerrado de que no sea todo el espacio. ^[7] Puesto que los puntos periódicos en son densos en , se deduce que los puntos periódicos de f son densos de Zariski en . Najmuddin Fakhruddin dio una prueba más algebraica de esta densidad de Zariski. ^[8] Otra consecuencia de dar masa cero a subespacios complejos cerrados no iguales a es que cada punto tiene masa cero. Como resultado, el soporte de no tiene puntos aislados, por lo que es un conjunto perfecto .${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mu _{f}}$

El soporte de la medida de equilibrio no es demasiado pequeño, en el sentido de que su dimensión de Hausdorff es siempre mayor que cero. ^[7] En ese sentido, un endomorfismo del espacio proyectivo complejo con grado mayor que 1 siempre se comporta caóticamente al menos en parte del espacio. (Hay ejemplos donde es todo . ^[9] ) Otra forma de precisar que f tiene algún comportamiento caótico es que la entropía topológica de f es siempre mayor que cero, de hecho igual a , por Mikhail Gromov , Michał Misiurewicz y Feliks Przytycki. ^[10]${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n\log d}$

Para cualquier endomorfismo continuo f de un espacio métrico compacto X , la entropía topológica de f es igual al máximo de la entropía teórica de la medida (o "entropía métrica") de todas las medidas f -invariantes en X . Para un endomorfismo holomorfo f de , la medida de equilibrio es la única medida invariante de entropía máxima, por Briend y Duval. ^[3] Esta es otra forma de decir que el comportamiento más caótico de f se concentra en el soporte de la medida de equilibrio.${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

Finalmente, se puede decir más sobre la dinámica de f en el soporte de la medida de equilibrio: f es ergódico y, más fuertemente, mezcla con respecto a esa medida, por Fornaess y Sibony. ^[11] De ello se deduce, por ejemplo, que para casi cada punto con respecto a , su órbita hacia adelante está distribuida uniformemente con respecto a .${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

Una función de Lattès es un endomorfismo f de obtenido a partir de un endomorfismo de una variedad abeliana dividiendo por un grupo finito . En este caso, la medida de equilibrio de f es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue en . Por el contrario, según Anna Zdunik , François Berteloot y Christophe Dupont, los únicos endomorfismos de cuya medida de equilibrio es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue son los ejemplos de Lattès. ^[12] Es decir, para todos los endomorfismos que no sean de Lattès, asigna su masa total 1 a algún conjunto de Borel de medida de Lebesgue 0.${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

En la dimensión 1, se sabe más sobre la "irregularidad" de la medida de equilibrio. Es decir, defina la dimensión de Hausdorff de una medida de probabilidad en (o más generalmente en una variedad suave) por${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle \dim(\mu )=\inf\{\dim _{H}(Y):\mu (Y)=1\},}$

donde denota la dimensión de Hausdorff de un conjunto de Borel Y . Para un endomorfismo f de grado mayor que 1, Zdunik demostró que la dimensión de es igual a la dimensión de Hausdorff de su soporte (el conjunto de Julia) si y solo si f es conjugado a una función de Lattès, un polinomio de Chebyshev (hasta el signo), o una función de potencia con . ^[14] (En los últimos casos, el conjunto de Julia es todo , un intervalo cerrado o un círculo, respectivamente. ^[15] ) Por lo tanto, fuera de esos casos especiales, la medida de equilibrio es altamente irregular, asignando masa positiva a algunos subconjuntos cerrados del conjunto de Julia con una dimensión de Hausdorff menor que el conjunto de Julia completo.${\displaystyle \dim _{H}(Y)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f(z)=z^{\pm d}}$${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

En términos más generales, la dinámica compleja busca describir el comportamiento de los mapas racionales bajo iteración. Un caso que se ha estudiado con cierto éxito es el de los automorfismos de una variedad proyectiva compleja suave X , es decir, isomorfismos f de X a sí mismo. El caso de principal interés es aquel en el que f actúa de manera no trivial sobre la cohomología singular .${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {Z} )}$

Gromov y Yosef Yomdin demostraron que la entropía topológica de un endomorfismo (por ejemplo, un automorfismo) de una variedad proyectiva compleja suave está determinada por su acción sobre la cohomología. ^[16] Explícitamente, para X de dimensión compleja n y , sea el radio espectral de f que actúa por pullback sobre el grupo de cohomología de Hodge . Entonces la entropía topológica de f es${\displaystyle 0\leq p\leq n}$${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle h(f)=\max _{p}\log d_{p}.}$

(La entropía topológica de f es también el logaritmo del radio espectral de f en toda la cohomología .) Por lo tanto, f tiene algún comportamiento caótico, en el sentido de que su entropía topológica es mayor que cero, si y solo si actúa sobre algún grupo de cohomología con un valor propio de valor absoluto mayor que 1. Muchas variedades proyectivas no tienen tales automorfismos, pero (por ejemplo) muchas superficies racionales y superficies K3 sí tienen tales automorfismos. ^[17]${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$

Sea X una variedad compacta de Kähler , que incluye el caso de una variedad proyectiva compleja suave. Digamos que un automorfismo f de X tiene acción simple sobre cohomología si: solo hay un número p tal que toma su valor máximo, la acción de f sobre tiene solo un valor propio con valor absoluto , y este es un valor propio simple . Por ejemplo, Serge Cantat demostró que todo automorfismo de una superficie compacta de Kähler con entropía topológica positiva tiene acción simple sobre cohomología. ^[18] (Aquí un "automorfismo" es analítico complejo pero no se supone que preserve una métrica de Kähler sobre X . De hecho, todo automorfismo que preserva una métrica tiene entropía topológica cero).${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle H^{p,p}(X)}$${\displaystyle d_{p}}$

Para un automorfismo f con acción simple sobre la cohomología, se han logrado algunos de los objetivos de la dinámica compleja. Dinh, Sibony y Henry de Thélin demostraron que existe una medida de probabilidad invariante única de entropía máxima para f , llamada medida de equilibrio (o medida de Green , o medida de entropía máxima ). ^[19] (En particular, tiene entropía con respecto a f ). El soporte de se llama el pequeño conjunto de Julia . Informalmente: f tiene algún comportamiento caótico, y el comportamiento más caótico se concentra en el pequeño conjunto de Julia. Al menos cuando X es proyectivo, tiene dimensión de Hausdorff positiva. (Más precisamente, asigna masa cero a todos los conjuntos de dimensión de Hausdorff suficientemente pequeña.) ^[20]${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \log d_{p}}$${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mu _{f}}$

Algunas variedades abelianas tienen un automorfismo de entropía positiva. Por ejemplo, sea E una curva elíptica compleja y sea X la superficie abeliana . Entonces el grupo de matrices enteras invertibles actúa sobre X . Cualquier elemento del grupo f cuya traza tenga un valor absoluto mayor que 2, por ejemplo , tiene un radio espectral mayor que 1, y por lo tanto da un automorfismo de entropía positiva de X . La medida de equilibrio de f es la medida de Haar (la medida estándar de Lebesgue) sobre X . ^[21]${\displaystyle E\times E}$${\displaystyle GL(2,\mathbf {Z} )}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

Los automorfismos de Kummer se definen tomando el espacio cociente por un grupo finito de una superficie abeliana con automorfismo, y luego ampliándolo para suavizar la superficie. Las superficies resultantes incluyen algunas superficies especiales K3 y superficies racionales. Para los automorfismos de Kummer, la medida de equilibrio tiene un soporte igual a X y es suave fuera de un número finito de curvas. Por el contrario, Cantat y Dupont demostraron que para todos los automorfismos de superficie de entropía positiva excepto los ejemplos de Kummer, la medida de equilibrio no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. ^[22] En este sentido, es habitual que la medida de equilibrio de un automorfismo sea algo irregular.

Un punto periódico z de f se llama punto periódico de silla si, para un entero positivo r tal que , al menos un valor propio de la derivada de en el espacio tangente en z tiene valor absoluto menor que 1, al menos uno tiene valor absoluto mayor que 1 y ninguno tiene valor absoluto igual a 1. (Por lo tanto, f se expande en algunas direcciones y se contrae en otras, cerca de z .) Para un automorfismo f con acción simple en cohomología, los puntos periódicos de silla son densos en el soporte de la medida de equilibrio . ^[20] Por otro lado, la medida se desvanece en subespacios complejos cerrados no iguales a X . ^[20] De ello se deduce que los puntos periódicos de f (o incluso solo los puntos periódicos de silla contenidos en el soporte de ) son densos de Zariski en X .${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle f^{r}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

Para un automorfismo f con acción simple sobre la cohomología, f y su mapa inverso son ergódicos y, más fuertemente, se mezclan con respecto a la medida de equilibrio . ^[23] De ello se deduce que para casi cada punto z con respecto a , las órbitas hacia adelante y hacia atrás de z están uniformemente distribuidas con respecto a .${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

Una diferencia notable con el caso de los endomorfismos de es que para un automorfismo f con acción simple sobre cohomología, puede haber un subconjunto abierto no vacío de X en el que ni las órbitas hacia delante ni hacia atrás se aproximan al soporte de la medida de equilibrio. Por ejemplo, Eric Bedford, Kyounghee Kim y Curtis McMullen construyeron automorfismos f de una superficie racional proyectiva suave con entropía topológica positiva (de ahí la acción simple sobre cohomología) tal que f tiene un disco de Siegel, en el que la acción de f es conjugada a una rotación irracional. ^[24] Los puntos en ese conjunto abierto nunca se aproximan bajo la acción de f o su inverso.${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$

Al menos en dimensión compleja 2, la medida de equilibrio de f describe la distribución de los puntos periódicos aislados de f . (También puede haber curvas complejas fijadas por f o un iterador, que se ignoran aquí). Es decir, sea f un automorfismo de una superficie compacta de Kähler X con entropía topológica positiva . Consideremos la medida de probabilidad que se distribuye uniformemente en los puntos periódicos aislados de periodo r (lo que significa que ). Entonces esta medida converge débilmente a cuando r tiende a infinito, por Eric Bedford, Lyubich y John Smillie . ^[25] Lo mismo se aplica al subconjunto de puntos periódicos de silla, porque ambos conjuntos de puntos periódicos crecen a una tasa de .${\displaystyle h(f)=\log d_{1}}$${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle (d_{1})^{r}}$

• Dinámica en dimensión compleja 1
  • Análisis complejo
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  • Composiciones infinitas de funciones analíticas
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  • Retratos en órbita
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• Áreas relacionadas con la dinámica
  • Dinámica aritmética
  • Teoría del caos
  • Dinámica simbólica

• Alexander, Daniel (1994), Una historia de la dinámica compleja: desde Schröder hasta Fatou y Julia , Aspects of Mathematics, vol. 24, Vieweg Verlag , doi :10.1007/978-3-663-09197-4, ISBN 3-528-06520-6, Sr.  1260930
• Beardon, Alan (1991), Iteración de funciones racionales: sistemas dinámicos analíticos complejos, Springer-Verlag , ISBN 0-387-97589-6, Sr.  1128089
• Berteloot, François; Dupont, Christophe (2005), "Une caractérisation des endomorphismes de Lattès par leur mesure de Green", Commentarii Mathematici Helvetici , 80 (2): 433–454, arXiv : math/0501034 , doi :10.4171/CMH/21, MR  2142250
• Bonifant, Araceli; Lyubich, Mikhail ; Sutherland, Scott, eds. (2014), Fronteras en dinámica compleja: en celebración del 80 cumpleaños de John Milnor , Princeton University Press , doi :10.1515/9781400851317, ISBN 978-0-691-15929-4, Sr.  3289442
• Cantat, Serge (2010), "Quelques aspectos de los sistemas dinámicos polinómicos: existencia, ejemplos, rigidez", Quelques aspectos de los sistemas dinámicos polinómicos, Société Mathématique de France , págs. 13–95, ISBN 978-2-85629-338-6, Sr.  2932433
• Cantat, Serge (2014), "Dinámica de automorfismos de superficies complejas compactas", Frontiers in complex dynamics (Banff, 2011) , Princeton University Press , pp. 463–514, ISBN 978-0-691-15929-4, Sr.  3289919
• Cantat, Serge ; Dupont, Christophe (2020), "Automorfismos de superficies: rigidez de Kummer y medida de entropía máxima", Journal of the European Mathematical Society , 22 (4): 1289–1351, arXiv : 1410.1202 , doi :10.4171/JEMS/946, MR  4071328
• Carleson, Lennart ; Gamelin, Theodore (1993), Dinámica compleja , Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-4364-9, ISBN 0-387-97942-5, Sr.  1230383
• de Thélin, Henry; Dinh, Tien-Cuong (2012), "Dinámica de automorfismos en variedades de Kähler compactas", Advances in Mathematics , 229 (5): 2640–2655, arXiv : 1009.5796 , doi :10.1016/j.aim.2012.01.014, MR  2889139
• Dinh, Tien-Cuong ; Sibony, Nessim (2010), "Dinámica en varias variables complejas: endomorfismos de espacios proyectivos y aplicaciones de tipo polinomial", Holomorphic dynamical systems , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1998, Springer-Verlag , págs. 165–294, arXiv : 0810.0811 , doi :10.1007/978-3-642-13171-4_4, ISBN 978-3-642-13170-7, Sr.  2648690
• Dinh, Tien-Cuong ; Sibony, Nessim (2010), "Superpotenciales para corrientes en variedades de Kähler compactas y dinámica de automorfismos", Journal of Algebraic Geometry , 19 (3): 473–529, arXiv : 0804.0860 , doi :10.1090/S1056-3911-10-00549-7, MR  2629598
• Fakhruddin, Najmuddin (2003), "Preguntas sobre mapas propios de variedades algebraicas", Journal of the Ramanujan Mathematical Society , 18 (2): 109–122, arXiv : math/0212208 , MR  1995861
• Fornaess, John Erik (1996), Dinámica en varias variables complejas , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0317-2, Sr.  1363948
• Fornaess, John Erik ; Sibony, Nessim (2001), "Dinámica de (ejemplos)", Laminaciones y foliaciones en dinámica, geometría y topología (Stony Brook, 1998) , American Mathematical Society , págs. 47–85, doi : 10.1090/conm/269/04329 , ISBN${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ 978-0-8218-1985-2, Sr.  1810536
• Guedj, Vincent (2010), "Propriétés ergodiques des apps rationnelles", Quelques aspectos de los sistemas dinámicos polinómicos, Société Mathématique de France , págs. 97-202, arXiv : math/0611302 , ISBN 978-2-85629-338-6, Sr.  2932434
• Milnor, John (2006), Dinámica en una variable compleja (3.ª ed.), Princeton University Press , arXiv : math/9201272 , doi :10.1515/9781400835539, ISBN 0-691-12488-4, Sr.  2193309
• Morosawa, Shunsuke; Nishimura, Yasuichiro; Taniguchu, Masahiko; Ueda, Tetsuo (2000), Dinámica holomorfa , Cambridge University Press , ISBN 0-521-66258-3, Sr.  1747010
• Tan, Lei, ed. (2000), El conjunto de Mandelbrot, tema y variaciones , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 274, Cambridge University Press , ISBN 0-521-77476-4, Sr.  1765080
• Zdunik, Anna (1990), "Orbifolds parabólicos y la dimensión de la medida máxima para mapas racionales", Inventiones Mathematicae , 99 (3): 627–649, Bibcode :1990InMat..99..627Z, doi :10.1007/BF01234434, MR  1032883

• Galería de dinámicas (Curtis McMullen)
• Encuestas en sistemas dinámicos