Teorema de Montel

En el análisis complejo , un área de las matemáticas , el teorema de Montel se refiere a uno de los dos teoremas sobre familias de funciones holomorfas . Estos reciben su nombre del matemático francés Paul Montel y establecen las condiciones en las que una familia de funciones holomorfas es normal .

La primera y más simple versión del teorema establece que una familia de funciones holomorfas definidas en un subconjunto abierto de los números complejos es normal si y sólo si está localmente uniformemente acotada.

Este teorema tiene el siguiente corolario formalmente más fuerte. Supóngase que es una familia de funciones meromórficas en un conjunto abierto . Si es tal que no es normal en , y es un entorno de , entonces es denso en el plano complejo.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\estilo de visualización D}$${\displaystyle z_{0}\en D}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle U\subconjunto D}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}f(U)}$

La versión más fuerte del teorema de Montel (a veces denominada prueba de normalidad fundamental ) establece que una familia de funciones holomorfas, todas las cuales omiten los mismos dos valores, es normal.${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ,}$

Las condiciones de los teoremas anteriores son suficientes, pero no necesarias, para la normalidad. En efecto, la familia es normal, pero no omite ningún valor complejo.${\displaystyle \{z\mapsto z\}}$

La primera versión del teorema de Montel es una consecuencia directa del teorema de Marty (que establece que una familia es normal si y sólo si las derivadas esféricas están acotadas localmente) y de la fórmula integral de Cauchy . ^[1]

Este teorema también se ha llamado teorema de Stieltjes-Osgood, en honor a Thomas Joannes Stieltjes y William Fogg Osgood . ^[2]

El corolario enunciado anteriormente se deduce de la siguiente manera. Supóngase que todas las funciones en omiten el mismo entorno del punto . Mediante la poscomposición con la función obtenemos una familia uniformemente acotada, que es normal según la primera versión del teorema.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$estilo de visualización z_{1}$${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z-z_{1}}}}$

La segunda versión del teorema de Montel se puede deducir de la primera utilizando el hecho de que existe un recubrimiento universal holomorfo desde el disco unidad hasta el plano dos veces perforado (dicho recubrimiento está dado por la función modular elíptica ).${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{a,b\}}$

Esta versión del teorema de Montel también puede derivarse del teorema de Picard , utilizando el lema de Zalcman .

Un principio heurístico conocido como principio de Bloch (precisado por el lema de Zalcman ) establece que las propiedades que implican que una función entera es constante corresponden a propiedades que aseguran que una familia de funciones holomorfas es normal.

Por ejemplo, la primera versión del teorema de Montel enunciada anteriormente es análoga al teorema de Liouville , mientras que la segunda versión corresponde al teorema de Picard .

• Espacio Montel
• Prueba de normalidad fundamental
• Teorema de mapeo de Riemann

• John B. Conway (1978). Funciones de una variable compleja I. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• "Teorema de Montel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• JL Schiff (1993). Familias normales . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.

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