Difeomorfismo

En matemáticas , un difeomorfismo es un isomorfismo de variedades diferenciables . Es una función invertible que asigna una variedad diferenciable a otra de modo que tanto la función como su inversa sean continuamente diferenciables .

Dadas dos variedades diferenciables y , una función diferenciable es un difeomorfismo si es una biyección y su inversa también es diferenciable. Si estas funciones son 10 veces continuamente diferenciables, se denomina -difeomorfismo.${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$ ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización f}$$Estilo de visualización C^{r}}$

Dos variedades y son difeomorfas (usualmente se denotan como ) si existe un difeomorfismo de a . Dos variedades -diferenciables son -difeomorfas si existe una función biyectiva entre ellas que es continuamente diferenciable y cuya inversa también es continuamente diferenciable.${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\displaystyle M\simeq N}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$$Estilo de visualización C^{r}}$$Estilo de visualización C^{r}}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización r}$

Dado un subconjunto de una variedad y un subconjunto de una variedad , se dice que una función es suave si para todo en hay un entorno de y una función suave tal que las restricciones concuerdan: (nótese que es una extensión de ). Se dice que la función es un difeomorfismo si es biyectiva, suave y su inversa es suave.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización N}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle U\subconjunto M}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle g:U\to N}$${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$

Se puede comprobar localmente si una función diferenciable es un difeomorfismo con algunas restricciones moderadas. Se trata del teorema de Hadamard-Caccioppoli: ^[1]

Si , son subconjuntos abiertos conexos de tales que es simplemente conexo , una función diferenciable es un difeomorfismo si es propia y si la diferencial es biyectiva (y por lo tanto un isomorfismo lineal ) en cada punto en .${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización U}$

Algunas observaciones:

Es esencial que la función sea simplemente conexa para que sea globalmente invertible (con la única condición de que su derivada sea una función biyectiva en cada punto). Por ejemplo, consideremos la "realización" de la función cuadrada compleja${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

Entonces es sobreyectiva y satisface ${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

Por lo tanto, aunque es biyectiva en cada punto, no es invertible porque no es inyectiva (por ejemplo, ).$Estilo de visualización Df_{x}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$

Dado que la diferencial en un punto (para una función diferenciable)

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

es una función lineal , tiene una inversa bien definida si y solo si es una biyección. La representación matricial de es la matriz de derivadas parciales de primer orden cuya entrada en la -ésima fila y -ésima columna es . Esta denominada matriz jacobiana se utiliza a menudo para cálculos explícitos.$Estilo de visualización Df_{x}$$Estilo de visualización Df_{x}$${\displaystyle n\veces n}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización j}$${\displaystyle \parcial f_{i}/\parcial x_{j}}$

Los difeomorfismos se dan necesariamente entre variedades de la misma dimensión . Imaginemos que pasamos de una dimensión a otra . Si entonces nunca podría ser sobreyectiva, y si entonces nunca podría ser inyectiva. En ambos casos, por tanto, no puede ser una biyección.${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización n<k}$$Estilo de visualización Df_{x}$${\displaystyle n>k}$$Estilo de visualización Df_{x}$$Estilo de visualización Df_{x}$

Si es una biyección en entonces se dice que es un difeomorfismo local (ya que, por continuidad, también será biyectivo para todo suficientemente cercano a ).$Estilo de visualización Df_{x}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle Df_{y}}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$

Dado un mapa suave de dimensión a dimensión , si (o, localmente, ) es sobreyectiva, se dice que es una inmersión (o, localmente, una "inmersión local"); y si (o, localmente, ) es inyectiva, se dice que es una inmersión (o, localmente, una "inmersión local").${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización Df}$$Estilo de visualización Df_{x}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización Df}$$Estilo de visualización Df_{x}$${\estilo de visualización f}$

Una biyección diferenciable no es necesariamente un difeomorfismo. , por ejemplo, no es un difeomorfismo de a sí mismo porque su derivada se anula en 0 (y, por lo tanto, su inversa no es diferenciable en 0). Este es un ejemplo de un homeomorfismo que no es un difeomorfismo.$Estilo de visualización f(x)=x^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

Cuando se trata de una función entre variedades diferenciables, un difeomorfismo es una condición más fuerte que un homeomorfismo . Para un difeomorfismo, y su inverso deben ser diferenciables ; para un homeomorfismo, y su inverso solo deben ser continuos . Todo difeomorfismo es un homeomorfismo, pero no todo homeomorfismo es un difeomorfismo.${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle f:M\to N}$es un difeomorfismo si, en los gráficos de coordenadas , satisface la definición anterior. Más precisamente: elija cualquier cubierta de por gráficos de coordenadas compatibles y haga lo mismo para . Sean y gráficos en, respectivamente, y , con y como, respectivamente, las imágenes de y . El mapa es entonces un difeomorfismo como en la definición anterior, siempre que .${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \psi}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \psi}$${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$

Dado que cualquier variedad puede parametrizarse localmente, podemos considerar algunos mapas explícitos de en .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• Dejar

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

Podemos calcular la matriz jacobiana:

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

La matriz jacobiana tiene determinante cero si y solo si . Vemos que solo podría ser un difeomorfismo alejado del eje y del eje . Sin embargo, no es biyectiva ya que , y por lo tanto no puede ser un difeomorfismo.${\displaystyle xy=0}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$

• Dejar

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

donde y son números reales arbitrarios y los términos omitidos son de grado al menos dos en x e y . Podemos calcular la matriz jacobiana en 0 :$estilo de visualización a_{i,j}}$$Estilo de visualización b_{i,j}$

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

Vemos que g es un difeomorfismo local en 0 si, y sólo si,

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

es decir, los términos lineales en los componentes de g son linealmente independientes como polinomios .

• Dejar

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

Podemos calcular la matriz jacobiana:

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

¡La matriz jacobiana tiene determinante cero en todas partes! De hecho, vemos que la imagen de h es el círculo unitario .

En mecánica , una transformación inducida por tensión se denomina deformación y puede describirse mediante un difeomorfismo. Un difeomorfismo entre dos superficies y tiene una matriz jacobiana que es una matriz invertible . De hecho, se requiere que para en , exista un entorno de en el que el jacobiano permanezca no singular . Supongamos que en un gráfico de la superficie,${\displaystyle f:U\to V}$ ${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización Df}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización Df}$${\displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

La diferencial total de u es

${\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}$, y lo mismo para v .

Entonces la imagen es una transformación lineal , que fija el origen, y se puede expresar como la acción de un número complejo de un tipo particular. Cuando ( dx ,  dy ) también se interpreta como ese tipo de número complejo, la acción es de multiplicación compleja en el plano de número complejo apropiado. Como tal, hay un tipo de ángulo ( euclidiano , hiperbólico o de pendiente ) que se conserva en dicha multiplicación. Debido a que Df es invertible, el tipo de número complejo es uniforme sobre la superficie. En consecuencia, una deformación de superficie o difeomorfismo de superficies tiene la propiedad conforme de preservar (el tipo apropiado de) ángulos.${\displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}$

Sea una variedad diferenciable que es numerable en segundo lugar y de Hausdorff . El grupo de difeomorfismos de es el grupo de todos los difeomorfismos de a sí mismo, denotado por o, cuando se entiende, . Este es un grupo "grande", en el sentido de que, siempre que no sea de dimensión cero, no es localmente compacto .${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$${\displaystyle M}$

El grupo de difeomorfismos tiene dos topologías naturales : débil y fuerte (Hirsch 1997). Cuando la variedad es compacta , estas dos topologías concuerdan. La topología débil siempre es metrizable . Cuando la variedad no es compacta, la topología fuerte captura el comportamiento de las funciones "en el infinito" y no es metrizable. Sin embargo, sigue siendo Baire .

Fijando una métrica de Riemann en , la topología débil es la topología inducida por la familia de métricas${\displaystyle M}$

${\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|}$

como varía en subconjuntos compactos de . En efecto, como es -compacto, existe una secuencia de subconjuntos compactos cuya unión es . Entonces:${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.}$

El grupo de difeomorfismos equipado con su topología débil es localmente homeomorfo al espacio de cuerpos vectoriales (Leslie 1967). Sobre un subconjunto compacto de , esto se deduce fijando una métrica de Riemann en y usando la función exponencial para esa métrica. Si es finito y la variedad es compacta, el espacio de cuerpos vectoriales es un espacio de Banach . Además, las funciones de transición de un gráfico de este atlas a otro son suaves, convirtiendo al grupo de difeomorfismos en una variedad de Banach con traslaciones derechas suaves; las traslaciones izquierdas y la inversión solo son continuas. Si , el espacio de cuerpos vectoriales es un espacio de Fréchet . Además, las funciones de transición son suaves, convirtiendo al grupo de difeomorfismos en una variedad de Fréchet e incluso en un grupo de Fréchet Lie regular . Si la variedad es -compacta y no compacta, el grupo de difeomorfismos completo no es localmente contráctil para ninguna de las dos topologías. Hay que restringir el grupo controlando la desviación de la identidad cerca del infinito para obtener un grupo de difeomorfismo que sea una variedad; ver (Michor y Mumford 2013).${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=\infty }$${\displaystyle \sigma }$

El álgebra de Lie del grupo de difeomorfismos de consta de todos los campos vectoriales en equipados con el corchete de Lie de campos vectoriales . De manera algo formal, esto se ve haciendo un pequeño cambio en la coordenada en cada punto del espacio:${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)}$

Así que los generadores infinitesimales son los campos vectoriales.

${\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$

• Cuando es un grupo de Lie , hay una inclusión natural de en su propio grupo de difeomorfismo mediante traslación izquierda. Sea , el grupo de difeomorfismo de , entonces hay una división , donde es el subgrupo de que fija el elemento identidad del grupo.${\displaystyle M=G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G,e)}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$
• El grupo de difeomorfismos del espacio euclidiano consta de dos componentes, que son los difeomorfismos que preservan la orientación y los que invierten la orientación. De hecho, el grupo lineal general es un retracto de deformación del subgrupo de difeomorfismos que fijan el origen bajo la función . En particular, el grupo lineal general es también un retracto de deformación del grupo de difeomorfismos completo.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)}$${\displaystyle f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]}$
• Para un conjunto finito de puntos, el grupo de difeomorfismo es simplemente el grupo simétrico . De manera similar, si es cualquier variedad existe una extensión de grupo . Aquí está el subgrupo de que preserva todos los componentes de , y es el grupo de permutación del conjunto (los componentes de ). Además, la imagen de la función son las biyecciones de que preservan las clases de difeomorfismo.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$${\displaystyle {\text{Diff}}_{0}(M)}$${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Sigma (\pi _{0}(M))}$${\displaystyle \pi _{0}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$${\displaystyle \pi _{0}(M)}$

Para una variedad conexa , el grupo de difeomorfismos actúa transitivamente sobre . De manera más general, el grupo de difeomorfismos actúa transitivamente sobre el espacio de configuración . Si es al menos bidimensional, el grupo de difeomorfismos actúa transitivamente sobre el espacio de configuración y la acción sobre es transitiva múltiple (Banyaga 1997, p. 29).${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{k}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F_{k}M}$${\displaystyle M}$

En 1926, Tibor Radó se preguntó si la extensión armónica de cualquier homeomorfismo o difeomorfismo del círculo unidad al disco unidad produce un difeomorfismo en el disco abierto. Una elegante demostración fue proporcionada poco después por Hellmuth Kneser . En 1945, Gustave Choquet , aparentemente inconsciente de este resultado, produjo una demostración completamente diferente.

El grupo de difeomorfismos (que preserva la orientación) del círculo está conectado por caminos. Esto se puede ver al notar que cualquier difeomorfismo de este tipo se puede elevar a un difeomorfismo de los reales que satisface ; este espacio es convexo y, por lo tanto, conectado por caminos. Un camino suave, eventualmente constante hacia la identidad proporciona una segunda forma más elemental de extender un difeomorfismo desde el círculo hasta el disco unitario abierto (un caso especial del truco de Alexander ). Además, el grupo de difeomorfismos del círculo tiene el tipo de homotopía del grupo ortogonal .${\displaystyle f}$${\displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]}$ ${\displaystyle O(2)}$

El problema de extensión correspondiente para difeomorfismos de esferas de dimensiones superiores fue muy estudiado en los años 1950 y 1960, con contribuciones notables de René Thom , John Milnor y Stephen Smale . Un obstáculo a tales extensiones lo proporciona el grupo abeliano finito , el " grupo de esferas torcidas ", definido como el cociente del grupo de componentes abelianos del grupo de difeomorfismos por el subgrupo de clases que se extienden a difeomorfismos de la esfera .${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$${\displaystyle B^{n}}$

Para las variedades, el grupo de difeomorfismos no suele estar conectado. Su grupo de componentes se denomina grupo de clases de aplicación . En dimensión 2 (es decir, superficies ), el grupo de clases de aplicación es un grupo finitamente presentado generado por giros de Dehn ; esto ha sido demostrado por Max Dehn , WBR Lickorish y Allen Hatcher ). ^{[ cita requerida ]} Max Dehn y Jakob Nielsen demostraron que puede identificarse con el grupo de automorfismos externo del grupo fundamental de la superficie.

William Thurston refinó este análisis clasificando los elementos del grupo de clases de aplicación en tres tipos: los equivalentes a un difeomorfismo periódico ; los equivalentes a un difeomorfismo que deja invariante una curva cerrada simple; y los equivalentes a difeomorfismos pseudo-Anosov . En el caso del toro , el grupo de clases de aplicación es simplemente el grupo modular y la clasificación se vuelve clásica en términos de matrices elípticas , parabólicas e hiperbólicas . Thurston logró su clasificación observando que el grupo de clases de aplicación actuaba naturalmente sobre una compactificación del espacio de Teichmüller ; como este espacio ampliado era homeomorfo a una bola cerrada, el teorema de punto fijo de Brouwer se volvió aplicable. Smale conjeturó que si es una variedad cerrada lisa orientada , el componente identidad del grupo de difeomorfismos que preservan la orientación es simple . Esto había sido probado por primera vez para un producto de círculos por Michel Herman; fue probado en total generalidad por Thurston.${\displaystyle S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle M}$

• El grupo de difeomorfismo de tiene el tipo de homotopía del subgrupo . Esto fue demostrado por Steve Smale. ^[2]${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle O(3)}$
• El grupo de difeomorfismos del toro tiene el tipo de homotopía de sus automorfismos lineales : .${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )}$
• Los grupos de difeomorfismo de superficies orientables de género tienen el tipo de homotopía de sus grupos de clase de mapeo (es decir, los componentes son contráctiles).${\displaystyle g>1}$
• El tipo de homotopía de los grupos de difeomorfismo de 3-variedades se entiende bastante bien a través del trabajo de Ivanov, Hatcher, Gabai y Rubinstein, aunque hay algunos casos abiertos pendientes (principalmente 3-variedades con grupos fundamentales finitos ).
• El tipo de homotopía de los grupos difeomórficos de las variedades - para no se entiende bien. Por ejemplo, es un problema abierto si tiene o no más de dos componentes. Sin embargo, a través de Milnor, Kahn y Antonelli se sabe que siempre que , no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW finito .${\displaystyle n}$${\displaystyle n>3}$${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{4})}$${\displaystyle n>6}$${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{n})}$

Puesto que todo difeomorfismo es un homeomorfismo, dado un par de variedades que son difeomorfas entre sí, son en particular homeomorfas entre sí. Lo inverso no es cierto en general.

Si bien es fácil encontrar homeomorfismos que no sean difeomorfismos, es más difícil encontrar un par de variedades homeomorfas que no sean difeomorfas. En las dimensiones 1, 2 y 3, cualquier par de variedades homeomorfas suaves son difeomorfas. En la dimensión 4 o mayor, existen ejemplos de pares homeomorfos pero no difeomórficos. El primer ejemplo de este tipo fue construido por John Milnor en la dimensión 7. Construyó una variedad suave de 7 dimensiones (ahora llamada esfera de Milnor ) que es homeomorfa a la 7-esfera estándar pero no difeomorfa a ella. De hecho, hay 28 clases de difeomorfismos orientados de variedades homeomorfas a la 7-esfera (cada una de ellas es el espacio total de un fibrado de fibras sobre la 4-esfera con la 3-esfera como fibra).

Se producen fenómenos más inusuales para las variedades 4-variantes . A principios de la década de 1980, una combinación de resultados debidos a Simon Donaldson y Michael Freedman condujo al descubrimiento de exótico : hay incontables subconjuntos abiertos no difeomórficos por pares de cada uno de los cuales es homeomorfo a , y también hay incontables variedades diferenciables no difeomórficas por pares homeomorfas a que no se incrustan suavemente en .${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Difeomorfismo de Anosov como el mapa del gato de Arnold
• Anomalía de Diffeo, también conocida como anomalía gravitacional , es un tipo de anomalía en la mecánica cuántica.
• Difeología , parametrizaciones suaves sobre un conjunto, lo que forma un espacio difeológico
• Difeomorfometría , estudio métrico de la figura y la forma en anatomía computacional
• Morfismo de Étale
• Gran difeomorfismo
• Difeomorfismo local
• Superdifeomorfismo

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