Desigualdad AM-GM

En matemáticas , la desigualdad de las medias aritmética y geométrica , o más brevemente, la desigualdad AM-GM , establece que la media aritmética de una lista de números reales no negativos es mayor o igual que la media geométrica de la misma lista; y además, que las dos medias son iguales si y solo si todos los números de la lista son el mismo (en cuyo caso ambos son ese número).

El caso no trivial más simple, es decir, con más de una variable, para dos números no negativos x e  y , es la afirmación de que

${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}}$

con igualdad si y sólo si x = y . Este caso se puede ver a partir del hecho de que el cuadrado de un número real siempre es no negativo (mayor o igual a cero) y del caso elemental ( a ± b ) ² = a ² ± 2 ab + b ² de la fórmula binomial :

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq (xy)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}}$

Por lo tanto ( x + y ) ² ≥ 4 xy , con igualdad precisamente cuando ( x − y ) ² = 0 , es decir x = y . La desigualdad AM-GM se deduce de tomar la raíz cuadrada positiva de ambos lados y luego dividir ambos lados por 2 .

Para una interpretación geométrica, considere un rectángulo con lados de longitud  x e  y , por lo tanto tiene perímetro 2 x + 2 y y área  xy . De manera similar, un cuadrado con todos los lados de longitud √ xy tiene el perímetro 4 √ xy y la misma área que el rectángulo. El caso no trivial más simple de la desigualdad AM-GM implica para los perímetros que 2 x + 2 y ≥ 4 √ xy y que solo el cuadrado tiene el perímetro más pequeño entre todos los rectángulos de área igual.

El caso más simple está implícito en los Elementos de Euclides , Libro 5, Proposición 25. ^[2]

Hay extensiones disponibles de la desigualdad AM-GM para incluir ponderaciones o medias generalizadas .

La media aritmética , o menos precisamente el promedio , de una lista de n números x ₁ , x ₂ , . . . , x _n es la suma de los números dividida por  n :

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}$

La media geométrica es similar, excepto que sólo se define para una lista de números reales no negativos y utiliza la multiplicación y una raíz en lugar de la suma y la división:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}.}$

Si x ₁ , x ₂ , . . . , x _n > 0 , esto es igual al exponencial de la media aritmética de los logaritmos naturales de los números:

${\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right).}$

Nota: Esto no se aplica exclusivamente a la función exp() y a los logaritmos naturales. La base b de la exponenciación podría ser cualquier número real positivo excepto 1 si el logaritmo es de base b.

Reformulando la desigualdad usando notación matemática, tenemos que para cualquier lista de n números reales no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ,

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\,,}$

y esa igualdad se cumple si y sólo si x ₁ = x ₂ = · · · = x _n .

En dos dimensiones, 2 x ₁ + 2 x ₂ es el perímetro de un rectángulo cuyos lados tienen una longitud de  x ₁ y  x ₂ . De manera similar, 4 √ x ₁ x ₂ es el perímetro de un cuadrado con la misma área , x ₁ x ₂ , que ese rectángulo. Por lo tanto, para n = 2, la desigualdad AM-GM establece que un rectángulo de un área dada tiene el perímetro más pequeño si ese rectángulo también es un cuadrado.

La desigualdad completa es una extensión de esta idea a n dimensiones. Considere una caja n -dimensional con longitudes de aristas x ₁ , x ₂ , . . . , x _n . Cada vértice de la caja está conectado a n aristas de diferentes direcciones, por lo que la longitud promedio de las aristas incidentes al vértice es ( x ₁ + x ₂ + · · · + x _n )/ n . Por otro lado, es la longitud de la arista de un cubo n -dimensional de igual volumen, que por lo tanto también es la longitud promedio de las aristas incidentes a un vértice del cubo.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

Por lo tanto, la desigualdad AM-GM establece que solo el cubo n tiene la longitud promedio más pequeña de aristas conectadas a cada vértice entre todas las cajas n -dimensionales con el mismo volumen. ^[3]

Si , entonces el AM-GM nos dice que${\displaystyle a,b,c>0}$

${\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)\geq 2{\sqrt {1\cdot {a}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {b}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {c}}}=8{\sqrt {abc}}}$

Se puede encontrar un límite superior simple . AM-GM nos dice${\estilo de visualización n!}$

${\displaystyle 1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

y entonces

${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n!}$

con igualdad en .${\estilo de visualización n=1}$

De manera equivalente,

${\displaystyle (n+1)^{n}\geq 2^{n}n!}$

Considere la función

${\displaystyle f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac { z}{x}}}}$

Para todos los números reales positivos x , y y  z . Supongamos que deseamos hallar el valor mínimo de esta función. Se puede reescribir como:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

Aplicando la desigualdad AM–GM para n = 6 , obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}}$

Además, sabemos que los dos lados son exactamente iguales cuando todos los términos de la media son iguales:

${\displaystyle f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{when}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

Todos los puntos ( x , y , z ) que satisfacen estas condiciones se encuentran en una semirrecta que comienza en el origen y están dados por

${\displaystyle (x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\,t,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,t{\biggr )}\quad {\mbox{with}}\quad t>0.}$

Una aplicación práctica importante en las matemáticas financieras es el cálculo de la tasa de retorno : el retorno anualizado , calculado a través de la media geométrica, es menor que el retorno anual promedio, calculado a través de la media aritmética (o igual si todos los retornos son iguales). Esto es importante para analizar las inversiones , ya que el retorno promedio exagera el efecto acumulativo. También se puede utilizar para demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz .

La desigualdad AM-GM también es conocida por la variedad de métodos que pueden usarse para demostrarla.

La desigualdad de Jensen establece que el valor de una función cóncava de una media aritmética es mayor o igual que la media aritmética de los valores de la función. Como la función logaritmo es cóncava, tenemos

${\displaystyle \log \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \log x_{i}={\frac {1}{n}}\log \left(\prod x_{i}\right)=\log \left(\prod x_{i}\right)^{1/n}.}$

Tomando antilogaritmos de los lados más izquierdo y más derecho, tenemos la desigualdad AM-GM.

Tenemos que demostrar que

${\displaystyle \alpha ={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\beta }$

con igualdad sólo cuando todos los números son iguales.

Si no todos los números son iguales, entonces existen tales que . Reemplazar x _i por y x _j por dejará la media aritmética de los números sin cambios, pero aumentará la media geométrica porque${\displaystyle x_{i},x_{j}}$${\displaystyle x_{i}<\alpha <x_{j}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (x_{i}+x_{j}-\alpha )}$

${\displaystyle \alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_{i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0}$

Si los números siguen sin ser iguales, continuamos reemplazando números como se indicó anteriormente. Después de, como máximo, estos pasos de reemplazo, todos los números se habrán reemplazado por mientras que la media geométrica aumenta estrictamente en cada paso. Después del último paso, la media geométrica será , lo que demuestra la desigualdad.${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha }$

Cabe señalar que la estrategia de reemplazo funciona igual de bien desde el lado derecho. Si alguno de los números es 0, entonces también lo será la media geométrica, lo que demuestra la desigualdad de manera trivial. Por lo tanto, podemos suponer que todos los números son positivos. Si no son todos iguales, entonces existen números tales que . Reemplazar por y por deja la media geométrica sin cambios, pero disminuye estrictamente la media aritmética, ya que${\displaystyle x_{i},x_{j}}$${\displaystyle 0<x_{i}<\beta <x_{j}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle {\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}}$

${\displaystyle x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0}$La prueba sigue entonces líneas similares a las del reemplazo anterior.

De los números reales no negativos x ₁ , . . . , x _n , el enunciado AM–GM es equivalente a

${\displaystyle \alpha ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$

con igualdad si y sólo si α = x _i para todo i ∈ {1, . . . , n } .

Para la siguiente prueba aplicamos la inducción matemática y únicamente reglas aritméticas bien conocidas.

Base de inducción: Para n = 1 el enunciado es verdadero con igualdad.

Hipótesis de inducción: Supongamos que la afirmación AM–GM es válida para todas las elecciones de n números reales no negativos.

Paso de inducción: considere n + 1 números reales no negativos x ₁ , . . . , x _{n +1} , . Su media aritmética α satisface

${\displaystyle (n+1)\alpha =\ x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.}$

Si todos los x _i son iguales a α , entonces tenemos igualdad en el enunciado AM–GM y hemos terminado. En el caso en que algunos no sean iguales a α , debe existir un número que sea mayor que la media aritmética α , y uno que sea menor que α . Sin pérdida de generalidad, podemos reordenar nuestros x _i para colocar estos dos elementos particulares al final: x _n > α y x _{n +1} < α . Entonces

${\displaystyle x_{n}-\alpha >0\qquad \alpha -x_{n+1}>0}$

${\displaystyle \implies (x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)}$

Ahora defina y con

${\displaystyle y:=x_{n}+x_{n+1}-\alpha \geq x_{n}-\alpha >0\,,}$

y considere los n números x ₁ , . . . , x _{n –1} , y que son todos no negativos. Dado que

${\displaystyle (n+1)\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}}$

${\displaystyle n\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y},}$

Por lo tanto, α es también la media aritmética de n números x ₁ , . . . , x _{n –1} , y y la hipótesis de inducción implica

${\displaystyle \alpha ^{n+1}=\alpha ^{n}\cdot \alpha \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}y\cdot \alpha .\qquad (**)}$

Debido a (*) sabemos que

${\displaystyle (\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y})\alpha -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0,}$

por eso

${\displaystyle y\alpha >x_{n}x_{n+1}\,,\qquad ({*}{*}{*})}$

en particular α > 0 . Por lo tanto, si al menos uno de los números x ₁ , . . . , x _{n –1} es cero, entonces ya tenemos una desigualdad estricta en (**). De lo contrario, el lado derecho de (**) es positivo y la desigualdad estricta se obtiene utilizando la estimación (***) para obtener un límite inferior del lado derecho de (**). Por lo tanto, en ambos casos podemos sustituir (***) en (**) para obtener

${\displaystyle \alpha ^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}\,,}$

lo que completa la prueba.

En primer lugar demostraremos que para números reales x ₁ < 1 y x ₂ > 1 se sigue

${\displaystyle x_{1}+x_{2}>x_{1}x_{2}+1.}$

De hecho, al multiplicar ambos lados de la desigualdad x ₂ > 1 por 1 – x ₁ , obtenemos

${\displaystyle x_{2}-x_{1}x_{2}>1-x_{1},}$

de donde se obtiene inmediatamente la desigualdad requerida.

Ahora, vamos a demostrar que para números reales positivos x ₁ , . . . , x _n que satisfacen x ₁ . . . x _n = 1 , se cumple

${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}\geq n.}$

La igualdad se cumple sólo si x ₁ = ... = x _n = 1 .

Base de inducción: Para n = 2 la afirmación es verdadera debido a la propiedad anterior.

Hipótesis de inducción: Supongamos que la afirmación es verdadera para todos los números naturales hasta n – 1 .

Paso de inducción: Consideremos el número natural n , es decir, para números reales positivos x ₁ , . . . , x _n , se cumple x ₁ . . . x _n = 1 . Existe al menos un x _k < 1 , por lo que debe haber al menos un x _j > 1 . Sin pérdida de generalidad, hacemos k = n – 1 y j = n .

Además, la igualdad x ₁ . . . x _n = 1 la escribiremos en la forma ( x ₁ . . . x _{n –2} ) ( x _{n –1} x _n ) = 1 . Entonces, la hipótesis de inducción implica

${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}x_{n})>n-1.}$

Sin embargo, teniendo en cuenta la base de inducción, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+\cdots +x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}&=(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}+x_{n})\\&>(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+x_{n-1}x_{n}+1\\&>n,\end{aligned}}}$

lo que completa la prueba.

Para números reales positivos a ₁ , . . . , a _n , denotemos

${\displaystyle x_{1}={\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}},...,x_{n}={\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}.}$

Los números x ₁ , . . . , x _n satisfacen la condición x ₁ . . . x _n = 1 . Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}\geq n,}$

de donde obtenemos

${\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}},}$

con la igualdad manteniéndose sólo para a ₁ = ... = a _n .

La siguiente demostración por casos se basa directamente en reglas aritméticas bien conocidas, pero emplea la técnica poco utilizada de inducción hacia delante-hacia atrás. Es esencialmente de Augustin Louis Cauchy y se puede encontrar en su Curso de análisis . ^[4]

Si todos los términos son iguales:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n},}$

entonces su suma es nx ₁ , por lo que su media aritmética es  x ₁ ; y su producto es x ₁ ⁿ , por lo que su media geométrica es  x ₁ ; por lo tanto, la media aritmética y la media geométrica son iguales, como se deseaba.

Queda por demostrar que si no todos los términos son iguales, entonces la media aritmética es mayor que la media geométrica. Evidentemente, esto sólo es posible cuando n > 1 .

Este caso es significativamente más complejo y lo dividimos en subcasos.

Si n = 2 , entonces tenemos dos términos, x ₁ y x ₂ , y como (según nuestra suposición) no todos los términos son iguales, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&={\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}>0,\end{aligned}}}$

por eso

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}$

como desees.

Consideremos el caso en el que n = 2 ^k , donde k es un entero positivo. Procedemos por inducción matemática.

En el caso base, k = 1 , por lo que n = 2. Ya hemos demostrado que la desigualdad se cumple cuando n = 2 , por lo que hemos terminado.

Ahora, supongamos que para un k > 1 dado , ya hemos demostrado que la desigualdad se cumple para n = 2 ^{k −1} y queremos demostrar que se cumple para n = 2 ^k . Para ello, aplicamos la desigualdad dos veces para 2 ^{k -1} números y una vez para 2 números para obtener:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}}$

donde en la primera desigualdad, los dos lados son iguales solo si

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}}$

y

${\displaystyle x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=\cdots =x_{2^{k}}}$

(en cuyo caso la primera media aritmética y la primera media geométrica son ambas iguales a  x ₁ , y lo mismo ocurre con la segunda media aritmética y la segunda media geométrica); y en la segunda desigualdad, los dos lados solo son iguales si las dos medias geométricas son iguales. Como no todos los 2 ^k números son iguales, no es posible que ambas desigualdades sean igualdades, por lo que sabemos que:

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}$

como desees.

Si n no es una potencia natural de  2 , entonces es ciertamente menor que alguna potencia natural de 2, puesto que la sucesión 2, 4, 8, . . . , 2 ^k , . . . no está acotada por encima. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, sea m alguna potencia natural de 2 que sea mayor que  n .

Entonces, si tenemos n términos, denotemos su media aritmética por  α , y expandamos nuestra lista de términos de esta manera:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=\alpha .}$

Entonces tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {(m-n)}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}})(\because x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}={\frac {{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}})\\[3pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(m-n\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&\geq {\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}}\,,\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle \alpha ^{m}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}$

y

${\displaystyle \alpha \geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

como desees.

La siguiente prueba utiliza inducción matemática y algo de cálculo diferencial básico .

Base de inducción : Para n = 1 la afirmación es verdadera con igualdad.

Hipótesis de inducción : supongamos que la afirmación AM–GM es válida para todas las elecciones de n números reales no negativos.

Paso de inducción : Para demostrar la afirmación para n + 1 números reales no negativos x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1} , necesitamos demostrar que

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1}})^{\frac {1}{n+1}}\geq 0}$

con igualdad sólo si todos los n + 1 números son iguales.

Si todos los números son cero, la desigualdad se cumple con la igualdad. Si algunos números, pero no todos, son cero, tenemos una desigualdad estricta. Por lo tanto, podemos suponer en lo siguiente que todos los números n + 1 son positivos.

Consideramos el último número x _{n + 1} como variable y definimos la función

${\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1}},\qquad t>0.}$

Probar el paso de inducción es equivalente a demostrar que f ( t ) ≥ 0 para todo t > 0 , con f ( t ) = 0 solo si x ₁ , . . . , x _n y  t son todos iguales. Esto se puede hacer analizando los puntos críticos de  f utilizando un poco de cálculo básico.

La primera derivada de f está dada por

${\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}},\qquad t>0.}$

Un punto crítico t ₀ tiene que satisfacer f′ ( t ₀ ) = 0 , lo que significa

${\displaystyle ({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t_{0}^{-{\frac {n}{n+1}}}=1.}$

Después de un pequeño reordenamiento obtenemos

${\displaystyle t_{0}^{\frac {n}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}},}$

Y finalmente

${\displaystyle t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}},}$

que es la media geométrica de x ₁ , . . . , x _n . Este es el único punto crítico de  f . Como f′′ ( t ) > 0 para todo t > 0 , la función  f es estrictamente convexa y tiene un mínimo global estricto en  t ₀ . A continuación calculamos el valor de la función en este mínimo global:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}{\Bigr )}\\&\geq 0,\end{aligned}}}$

donde la desigualdad final se cumple debido a la hipótesis de inducción. La hipótesis también dice que podemos tener igualdad solo cuando x ₁ , . . . , x _n son todos iguales. En este caso, su media geométrica   t ₀ tiene el mismo valor. Por lo tanto, a menos que x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1} sean todos iguales, tenemos f ( x _{n +1} ) > 0 . Esto completa la prueba.

Esta técnica se puede utilizar de la misma manera para demostrar la desigualdad generalizada AM-GM y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el espacio euclidiano R ⁿ .

George Pólya proporcionó una prueba similar a la siguiente. Sea f ( x ) = e ^{x –1} – x para todo real  x , con primera derivada f′ ( x ) = e ^{x –1} – 1 y segunda derivada f′′ ( x ) = e ^{x –1} . Obsérvese que f (1) = 0 , f′ (1) = 0 y f′′ ( x ) > 0 para todo real  x , por lo tanto f es estrictamente convexa con el mínimo absoluto en x = 1 . Por lo tanto x ≤ e ^{x –1} para todo real  x con igualdad solo para x = 1 .

Consideremos una lista de números reales no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _n . Si todos son cero, entonces la desigualdad AM-GM se cumple con igualdad. Por lo tanto, podemos suponer en lo siguiente para su media aritmética α > 0 . Mediante la aplicación n veces de la desigualdad anterior, obtenemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\frac {x_{1}}{\alpha }}{\frac {x_{2}}{\alpha }}\cdots {\frac {x_{n}}{\alpha }}}&\leq {e^{{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1}e^{{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1}\cdots e^{{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1}}\\&=\exp {\Bigl (}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1{\Bigr )},\qquad (*)\end{aligned}}}$

con igualdad si y sólo si x _i = α para cada i ∈ {1, . . . , n } . El argumento de la función exponencial se puede simplificar:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&={\frac {n\alpha }{\alpha }}-n\\&=0.\end{aligned}}}$

Volviendo a (*) ,

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{\alpha ^{n}}}\leq e^{0}=1,}$

lo que produce x ₁ x ₂ · · · x _n ≤ α ⁿ , de ahí el resultado ^[5]

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \alpha .}$

Si alguna de las es , entonces no hay nada que demostrar. Por lo tanto, podemos suponer que todas las son estrictamente positivas.${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x_{i}}$

Como las medias aritmética y geométrica son homogéneas de grado 1, sin pérdida de generalidad supongamos que . Fijemos , y . La desigualdad se demostrará (junto con el caso de igualdad) si podemos demostrar que el mínimo de sujeto a la restricción es igual a , y el mínimo solo se logra cuando . Demostremos primero que el problema de minimización restringida tiene un mínimo global.${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=1}$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$

Conjunto . Puesto que la intersección es compacta, el teorema del valor extremo garantiza que el mínimo de sujeto a las restricciones y se alcanza en algún punto dentro de . Por otra parte, observe que si cualquiera de los , entonces , mientras que , y . Esto significa que el mínimo dentro es de hecho un mínimo global, puesto que el valor de en cualquier punto dentro ciertamente no es menor que el mínimo, y el valor de en cualquier punto no dentro es estrictamente mayor que el valor en , que no es menor que el mínimo.${\displaystyle K=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\colon 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\leq n\}}$${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x_{i}>n}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})>1}$${\displaystyle F(1,1,\ldots ,1)=1}$${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)\in K\cap \{G=1\}}$${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$

El método de los multiplicadores de Lagrange dice que el mínimo global se alcanza en un punto donde el gradiente de es multiplicado por el gradiente de , para algún . Demostraremos que el único punto en el que esto sucede es cuando y ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=1.}$

Calcular y${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x_{i}}}=\prod _{j\neq i}x_{j}={\frac {G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{i}}}}$

a lo largo de la restricción. Al establecer los gradientes proporcionales entre sí, se obtiene para cada uno que y por lo tanto Dado que el lado izquierdo no depende de , se deduce que , y dado que , se deduce que y , como se desea.${\displaystyle i}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {\lambda }{x_{i}}},}$${\displaystyle n\lambda =x_{i}.}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$

Existe una desigualdad similar para la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada . Específicamente, sean los números no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _n y los pesos no negativos w ₁ , w ₂ , . . . , w _n . Sea w = w ₁ + w ₂ + · · · + w _n . Si  w > 0 , entonces la desigualdad

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}}$

se cumple con igualdad si y solo si todos los x _k con w _k > 0 son iguales. Aquí se utiliza la convención 0 ⁰ = 1 .

Si todos los w _k = 1 , esto se reduce a la desigualdad anterior de medias aritméticas y geométricas.

Una versión más fuerte de esto, que también da una versión reforzada de la versión no ponderada, se debe a Aldaz. En particular, Hay una desigualdad similar para la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada . Específicamente, sean los números no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _n y los pesos no negativos w ₁ , w ₂ , . . . , w _n . Supongamos además que la suma de los pesos es 1. Entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left(x_{i}^{\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$. ^[6]

Utilizando la forma finita de la desigualdad de Jensen para el logaritmo natural , podemos demostrar la desigualdad entre la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada establecida anteriormente.

Como una x _k con peso w _k = 0 no tiene influencia en la desigualdad, podemos suponer en lo sucesivo que todos los pesos son positivos. Si todas las x _k son iguales, entonces se cumple la igualdad. Por lo tanto, queda por demostrar la desigualdad estricta si no son todas iguales, lo que supondremos también en lo sucesivo. Si al menos una x _k es cero (pero no todas), entonces la media geométrica ponderada es cero, mientras que la media aritmética ponderada es positiva, por lo que se cumple la desigualdad estricta. Por lo tanto, podemos suponer también que todas las x _k son positivas.

Dado que el logaritmo natural es estrictamente cóncavo , la forma finita de la desigualdad de Jensen y las ecuaciones funcionales del logaritmo natural implican

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}{\Bigr )}&>{\frac {w_{1}}{w}}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {w_{n}}{w}}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.\end{aligned}}}$

Dado que el logaritmo natural es estrictamente creciente ,

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}>{\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.}$

La mayoría de las generalizaciones matriciales de la desigualdad de la media geométrica aritmética se aplican al nivel de normas unitariamente invariantes, ya que, incluso si las matrices y son semidefinidas positivas, la matriz puede no ser semidefinida positiva y, por lo tanto, puede no tener una raíz cuadrada canónica. En ^[7] Bhatia y Kittaneh demostraron que para cualquier norma unitariamente invariante y matrices semidefinidas positivas y es el caso que${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle |||\cdot |||}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{2}}|||A^{2}+B^{2}|||}$

Más tarde, en ^[8] los mismos autores demostraron la desigualdad más fuerte que

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{4}}|||(A+B)^{2}|||}$

Finalmente, se sabe para la dimensión que la siguiente generalización matricial más fuerte posible de la desigualdad de la media aritmético-geométrica es válida, y se conjetura que es válida para todos${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle |||(AB)^{\frac {1}{2}}|||\leq {\frac {1}{2}}|||A+B|||}$

Esta desigualdad conjeturada fue demostrada por Stephen Drury en 2012. De hecho, demostró ^[9]

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{j}(AB)}}\leq {\frac {1}{2}}\lambda _{j}(A+B),\ j=1,\ldots ,n.}$

En el ámbito financiero, gran parte de las investigaciones se centran en estimar con precisión la tasa de rendimiento de un activo a lo largo de varios períodos en el futuro. En el caso de los rendimientos lognormales de los activos, existe una fórmula exacta para calcular el rendimiento aritmético del activo a partir del rendimiento geométrico del activo.

Para simplificar, supongamos que estamos observando los rendimientos geométricos anuales r ₁ , r ₂ , ... , r _N durante un horizonte temporal de N años, es decir

${\displaystyle r_{n}={\frac {V_{n}-V_{n-1}}{V_{n-1}}},}$

dónde:

${\displaystyle V_{n}}$= valor del activo en el momento ,${\displaystyle n}$

${\displaystyle V_{n-1}}$= valor del activo en el momento .${\displaystyle n-1}$

Los rendimientos geométricos y aritméticos se definen respectivamente como

${\displaystyle g_{N}=\left(\prod _{n=1}^{N}(1+r_{n})\right)^{1/N},}$

${\displaystyle a_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}r_{n}.}$

Cuando los rendimientos geométricos anuales de los activos se distribuyen de forma lognormal, se puede utilizar la siguiente fórmula para convertir el rendimiento promedio geométrico en el rendimiento promedio aritmético: ^[10]

${\displaystyle 1+g_{N}={\frac {1+a_{N}}{\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{(1+a_{N})^{2}}}}}},}$

donde es la varianza de los rendimientos de activos observados Esta ecuación implícita para una _N se puede resolver exactamente de la siguiente manera. Primero, observe que al establecer${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle z=(1+a_{N})^{2},}$

obtenemos una ecuación polinómica de grado 2:

${\displaystyle z^{2}-(1+g)^{2}-(1+g)^{2}\sigma ^{2}=0.}$

Resolviendo esta ecuación para z y utilizando la definición de z , obtenemos 4 posibles soluciones para un _N :

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1\pm {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Sin embargo, tenga en cuenta que

${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}\geq 1.}$

Esto implica que las únicas dos soluciones posibles son (ya que los rendimientos de los activos son números reales):

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Por último, esperamos que la derivada de a _N con respecto a g _N no sea negativa, ya que un aumento en el rendimiento geométrico nunca debería causar una disminución en el rendimiento aritmético. De hecho, ambos miden el crecimiento promedio del valor de un activo y, por lo tanto, deberían moverse en direcciones similares. Esto nos deja con una solución para la ecuación implícita para a _N , a saber:

${\displaystyle a_{N}={\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Por lo tanto, bajo el supuesto de que los rendimientos de los activos se distribuyen de forma lognormal, el rendimiento aritmético de los activos está totalmente determinado por el rendimiento geométrico de los activos.

Otras generalizaciones de la desigualdad de las medias aritméticas y geométricas incluyen:

• Desigualdad de Muirhead ,
• Desigualdad de Maclaurin ,
• Desigualdades QM-AM-GM-HM ,
• Desigualdad media generalizada ,
• Medias de números complejos. ^[11]

• El rompecabezas del embalaje de Hoffman
• Desigualdad de Ky Fan
• Desigualdad de Young para productos

• Arthur Lohwater (1982). "Introducción a las desigualdades". Libro electrónico online en formato PDF.