Derivado de la maliavina

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En matemáticas , la derivada de Malliavin es una noción de derivada en el cálculo de Malliavin . Intuitivamente, es la noción de derivada apropiada para las trayectorias en el espacio de Wiener clásico , que "normalmente" no son diferenciables en el sentido habitual. ^{[ cita requerida ]}

Sea el espacio de Cameron-Martin y denotemos el espacio clásico de Wiener :${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización C_{0}}$

${\displaystyle H:=\{f\in W^{1,2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})\;|\;f(0)=0\}:=\{{\text{caminos que comienzan en 0 con primera derivada en }}L^{2}\}}$;

${\displaystyle C_{0}:=C_{0}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{caminos continuos que comienzan en 0}}\};}$

Por el teorema de incrustación de Sobolev , . Sea${\displaystyle H\subset C_{0}}$

${\displaystyle i:H\to C_{0}}$

denota el mapa de inclusión .

Supongamos que es diferenciable de Fréchet . Entonces la derivada de Fréchet es una función${\displaystyle F:C_{0}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {D} F:C_{0}\to \mathrm {Lin} (C_{0};\mathbb {R} );}$

es decir, para los caminos , es un elemento de , el espacio dual a . Denote por la función lineal continua definida por${\displaystyle \sigma \en C_{0}}$${\displaystyle \mathrm {D} F(\sigma )\;}$$Estilo de visualización C_{0}^{*}}$${\estilo de visualización C_{0}\;}$${\displaystyle \mathrm {D}_{H}F(\sigma )\;}$ ${\displaystyle H\to \mathbb {R}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{H}F(\sigma ):=\mathrm {D} F(\sigma )\circ i:H\to \mathbb {R} ,}$

A veces se la conoce como derivada H. Ahora definamos que es el adjunto de en el sentido de que${\displaystyle \nabla _{H}F:C_{0}\to H}$${\displaystyle \mathrm {D} _ {H}F\;}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\left(\partial _{t}\nabla _{H}F(\sigma )\right)\cdot \partial _{t}h:=\langle \ nabla _{H}F(\sigma ),h\rangle _{H}=\left(\mathrm {D} _{H}F\right)(\sigma )(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {F(\sigma +ti(h))-F(\sigma )}{t}}.}$

Entonces el derivado de Malliavin se define por${\displaystyle \mathrm {D}_{t}}$

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{t}F\right)(\sigma ):={\frac {\parcial }{\parcial t}}\left(\left(\nabla _{H}F\right)(\sigma )\right).}$

El dominio de es el conjunto de todas las funciones reales diferenciables de Fréchet en ; el codominio es .${\displaystyle \mathrm {D}_{t}}$${\displaystyle \mathbf {F}}$${\estilo de visualización C_{0}\;}$${\displaystyle L^{2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})}$

La integral de Skorokhod se define como el adjunto de la derivada de Malliavin:${\estilo de visualización \delta \;}$

${\displaystyle \delta :=\left(\mathrm {D} _{t}\right)^{*}:\operatorname {imagen} \left(\mathrm {D} _{t}\right)\subseteq L ^{2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})\to \mathbf {F} ^{*}=\mathrm {Lin} (\mathbf {F} ;\mathbb {R} ).}$

• Derivada H