Derivada H

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En matemáticas , la H -derivada es una noción de derivada en el estudio de los espacios abstractos de Wiener y el cálculo de Malliavin . ^[1]

Sea un espacio abstracto de Wiener y supongamos que es diferenciable . Entonces la derivada de Fréchet es una función${\displaystyle i:H\to E}$${\displaystyle F:E\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {D} F:E\to \mathrm {Lin} (E;\mathbb {R} )}$;

es decir, para , es un elemento de , el espacio dual a .${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \mathrm {D} F(x)}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E}$

Por lo tanto, defina la derivada en por${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{H}F}$${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{H}F(x):=\mathrm {D} F(x)\circ i:H\to \mathbb {R} }$,

un mapa lineal continuo en .${\displaystyle H}$

Defina el -gradiente por${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nabla _{H}F:E\to H}$

${\displaystyle \langle \nabla _{H}F(x),h\rangle _{H}=\left(\mathrm {D} _{H}F\right)(x)(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {F(x+ti(h))-F(x)}{t}}}$.

Es decir, si denota el adjunto de , tenemos .${\displaystyle j:E^{*}\to H}$${\displaystyle i:H\to E}$${\displaystyle \nabla _{H}F(x):=j\left(\mathrm {D} F(x)\right)}$

• Derivado de la maliavina

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