En matemáticas , una ecuación de Riccati en el sentido más estricto es cualquier ecuación diferencial ordinaria de primer orden que es cuadrática en la función desconocida. En otras palabras, es una ecuación de la forma
La ecuación de Riccati no lineal siempre se puede convertir en una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal de segundo orden: [2]
Si
entonces, donde sea distinto de cero y diferenciable, satisface una ecuación de Riccati de la forma
donde y , porque
Sustituyendo , se deduce que satisface la EDO lineal de segundo orden
desde
de modo que
y por lo tanto
Luego, sustituyendo las dos soluciones de esta ecuación lineal de segundo orden en la transformación, es suficiente para tener un conocimiento global de la solución general de la ecuación de Riccati mediante la fórmula: [3]
que ocurre en la teoría de la aplicación conforme y las funciones univalentes . En este caso, las EDO están en el dominio complejo y la diferenciación es con respecto a una variable compleja. (La derivada de Schwarz tiene la notable propiedad de que es invariante bajo las transformaciones de Möbius, es decir, siempre que sea distinto de cero). La función
satisface la ecuación de Riccati .
Por lo anterior, donde es una solución de la EDO lineal
Dado que , la integración da
como resultado una constante . Por otra parte, cualquier otra solución independiente de la EDO lineal tiene un wronskiano constante distinto de cero que puede tomarse como después del escalado. Por lo tanto
para que la ecuación de Schwarz tenga solución
Obtención de soluciones por cuadratura
La correspondencia entre las ecuaciones de Riccati y las EDO lineales de segundo orden tiene otras consecuencias. Por ejemplo, si se conoce una solución de una EDO de segundo orden, entonces se sabe que se puede obtener otra solución por cuadratura, es decir, una integración simple. Lo mismo es válido para la ecuación de Riccati. De hecho, si se puede encontrar una solución particular, la solución general se obtiene como
Sustituyendo
en la ecuación de Riccati se obtiene
y desde entonces
resulta que
o
que es una ecuación de Bernoulli . La sustitución que se necesita para resolver esta ecuación de Bernoulli es
Sustituyendo
directamente en la ecuación de Riccati se obtiene la ecuación lineal
Un conjunto de soluciones para la ecuación de Riccati viene dado por
donde z es la solución general de la ecuación lineal antes mencionada.
^ Riccati, Jacopo (1724) "Animadversiones in aequationes diferenciales secundi gradus" (Observaciones sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Suplemento , 8 : 66-73. Traducción del latín original al inglés por Ian Bruce.
^ Ince, EL (1956) [1926], Ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: Dover Publications, págs. 23-25
^ Conte, Robert (1999). "El enfoque de Painlevé para ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales". The Painlevé Property . Nueva York, NY: Springer New York. pp. 5, 98. doi :10.1007/978-1-4612-1532-5_3. ISBN978-0-387-98888-7.
Lectura adicional
Hille, Einar (1997) [1976], Ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio complejo, Nueva York: Dover Publications, ISBN0-486-69620-0