Semiplano superior

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En matemáticas , el semiplano superior , ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ es el conjunto de puntos ⁠ ⁠${\estilo de visualización (x,y)}$ en el plano cartesiano con ⁠ ⁠${\displaystyle y>0.}$ El semiplano inferior es el conjunto de puntos ⁠ ⁠${\estilo de visualización (x,y)}$ con ⁠ ⁠ en cambio. Cada uno es un ejemplo de ${\displaystyle y<0}$semiespacio bidimensional .

Las transformaciones afines del semiplano superior incluyen

1. turnos , , y${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}$${\displaystyle c\in \mathbb {R}}$
2. dilataciones ,${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$${\displaystyle \lambda >0.}$

Proposición: Sean ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle B}$ semicírculos en el semiplano superior con centros en el borde. Entonces hay una aplicación afín que lleva a .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Demostración: Primero desplaza el centro de ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ a ⁠ ⁠${\displaystyle (0,0).}$ Luego toma${\displaystyle \lambda =({\text{diameter of}}\ B)/({\text{diameter of}}\ A)}$

y dilatar. Luego desplazarse ⁠ ⁠${\displaystyle (0,0)}$ al centro de ⁠ ⁠${\displaystyle B.}$

Definición: .${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}$

⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ se puede reconocer como el círculo de radio ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ centrado en ⁠ ⁠${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}$ y como el diagrama polar de ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

Proposición: ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0),}$ ⁠ ⁠${\displaystyle \rho (\theta )}$ en ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}},}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle (1,\tan \theta )}$ son puntos colineales .

De hecho, es la inversión de la línea en el círculo unitario . En efecto, la diagonal de ⁠ ⁠ a ⁠ ⁠ tiene una longitud al cuadrado , por lo que es el recíproco de esa longitud.${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,\tan \theta )}$${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$

La distancia entre dos puntos cualesquiera ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ en el semiplano superior se puede definir consistentemente de la siguiente manera: La bisectriz perpendicular del segmento de ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ a ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ interseca el límite o es paralela a él. En el último caso ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ se encuentran en un rayo perpendicular al límite y se puede usar la medida logarítmica para definir una distancia que es invariante bajo dilatación. En el primer caso ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ se encuentran en un círculo centrado en la intersección de su bisectriz perpendicular y el límite. Por la proposición anterior, este círculo se puede mover por movimiento afín a ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$ Las distancias en ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ se pueden definir usando la correspondencia con los puntos en y la medida logarítmica en este rayo. En consecuencia, el semiplano superior se convierte en un espacio métrico . El nombre genérico de este espacio métrico es plano hiperbólico . En términos de los modelos de geometría hiperbólica , este modelo se designa frecuentemente como modelo de semiplano de Poincaré .${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$

Los matemáticos a veces identifican el plano cartesiano con el plano complejo , y entonces el semiplano superior corresponde al conjunto de números complejos con parte imaginaria positiva :

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

El término surge de una visualización común del número complejo como el punto en el plano dotado de coordenadas cartesianas . Cuando el eje está orientado verticalmente, el " semiplano superior " corresponde a la región por encima del eje y, por lo tanto, a los números complejos para los que .${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y>0}$

Es el dominio de muchas funciones de interés en el análisis complejo , especialmente las formas modulares . El semiplano inferior, definido por ⁠ ⁠${\displaystyle y<0}$ es igualmente bueno, pero menos utilizado por convención. El disco unitario abierto ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ (el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno) es equivalente por una aplicación conforme a ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (ver " Métrica de Poincaré "), lo que significa que generalmente es posible pasar entre ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

También desempeña un papel importante en la geometría hiperbólica , donde el modelo de semiplano de Poincaré proporciona una forma de examinar los movimientos hiperbólicos . La métrica de Poincaré proporciona una métrica hiperbólica en el espacio.

El teorema de uniformización para superficies establece que el semiplano superior es el espacio de recubrimiento universal de superficies con curvatura gaussiana negativa constante .

El semiplano superior cerrado es la unión del semiplano superior y el eje real. Es el cierre del semiplano superior.

Una generalización natural en geometría diferencial es el hiperbólico -espacio ${\displaystyle n}$ , la ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}$variedad riemanniana de simetría máxima, simplemente conexa y de dimensión variable con${\displaystyle n}$ curvatura seccional constante . En esta terminología, el semiplano superior es ⁠ ⁠ ya que tiene dimensión real ⁠ ⁠ ${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle 2.}$

En teoría de números , la teoría de las formas modulares de Hilbert se ocupa del estudio de ciertas funciones en el producto directo de copias${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$ del semiplano superior. Otro espacio interesante para los teóricos de números es el semiespacio superior ${\displaystyle n}$de Siegel , que${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}$ es el dominio de las formas modulares de Siegel .

• Barrio de la cúspide
• Plano superior complejo extendido
• Grupo fucsia
• Dominio fundamental
• Medio espacio
• Grupo kleiniano
• Grupo modular
• Pila de módulos de curvas elípticas
• Superficie de Riemann
• Teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick

• Weisstein, Eric W. "Semiplano superior". MathWorld .