Teselación euclidiana mediante polígonos regulares convexos

Ejemplo de teselación periódica

Un mosaico regular tiene un tipo de cara regular.	Un mosaico semirregular o uniforme tiene un tipo de vértice , pero dos o más tipos de caras.
Un mosaico k-uniforme tiene k tipos de vértices y dos o más tipos de caras regulares.	Un mosaico que no es de borde a borde puede tener caras regulares de diferentes tamaños.

Las teselas euclidianas de polígonos regulares convexos se han utilizado ampliamente desde la antigüedad. El primer tratamiento matemático sistemático fue el de Kepler en su Harmonices Mundi ( en latín : La armonía del mundo , 1619).

Los mosaicos euclidianos suelen recibir su nombre de acuerdo con la notación de Cundy y Rollett. ^[1] Esta notación representa (i) el número de vértices, (ii) el número de polígonos alrededor de cada vértice (ordenados en el sentido de las agujas del reloj) y (iii) el número de lados de cada uno de esos polígonos. Por ejemplo: 3 ⁶ ; 3 ⁶ ; 3 ⁴ .6, nos dice que hay 3 vértices con 2 tipos de vértices diferentes, por lo que este mosaico se clasificaría como un mosaico "3-uniforme (2-tipos de vértices)". Desglosado, 3 ⁶ ; 3 ⁶ (ambos de diferente clase de transitividad), o (3 ⁶ ) ² , nos dice que hay 2 vértices (denotados por el superíndice 2), cada uno con 6 polígonos equiláteros de 3 lados (triángulos). Con un vértice final 3 ⁴ .6, 4 triángulos equiláteros contiguos más y un único hexágono regular.

Sin embargo, esta notación tiene dos problemas principales relacionados con la conformación ambigua y la unicidad ^[2] En primer lugar, cuando se trata de teselaciones k-uniformes, la notación no explica las relaciones entre los vértices. Esto hace imposible generar un plano cubierto dada solo la notación. Y segundo, algunas teselaciones tienen la misma nomenclatura, son muy similares pero se puede notar que las posiciones relativas de los hexágonos son diferentes. Por lo tanto, el segundo problema es que esta nomenclatura no es única para cada teselación.

Para resolver estos problemas, la notación de GomJau-Hogg ^[3] es una versión ligeramente modificada de la investigación y notación presentada en 2012 ^[2] sobre la generación y nomenclatura de teselaciones y cuadrículas de doble capa. Antwerp v3.0 ^[4] , una aplicación en línea gratuita, permite la generación infinita de teselados de polígonos regulares a través de un conjunto de etapas de colocación de formas y operaciones iterativas de rotación y reflexión, obtenidas directamente de la notación de GomJau-Hogg.

Siguiendo a Grünbaum y Shephard (sección 1.3), se dice que un mosaico es regular si el grupo de simetría del mosaico actúa transitivamente sobre las banderas del mosaico, donde una bandera es una terna que consiste en un vértice , una arista y una baldosa del mosaico mutuamente incidentes. Esto significa que, para cada par de banderas, hay una operación de simetría que mapea la primera bandera a la segunda. Esto es equivalente a que el mosaico sea un mosaico de arista con arista por polígonos regulares congruentes . Debe haber seis triángulos equiláteros , cuatro cuadrados o tres hexágonos regulares en un vértice, lo que produce las tres teselaciones regulares .

Azulejos regulares (3)

p6m, *632		p4m, *442
C&R: 3 6 GJ-H: 3/m30/r(h2) ( t = 1, e = 1)	C&R: 6 3 GJ-H: 6/m30/r(h1) ( t = 1, e = 1)	C&R: 4 4 GJ-H: 4/m45/r(h1) ( t = 1, e = 1)

C&R: Notación de Cundy y Rollet
GJ-H: Notación de GomJau-Hogg

La transitividad de vértices significa que para cada par de vértices hay una operación de simetría que asigna el primer vértice al segundo. ^[5]

Si el requisito de transitividad de banderas se relaja a uno de transitividad de vértices, mientras que la condición de que el teselado sea de borde a borde se mantiene, hay ocho teselados adicionales posibles, conocidos como teselados arquimedianos , uniformes o semirregulares . Tenga en cuenta que hay dos formas de imagen especular (enantiomórficas o quirales ) del teselado 3 ⁴ .6 (hexagonal romo), solo una de las cuales se muestra en la siguiente tabla. Todos los demás teselados regulares y semirregulares son aquirales.

Azulejos uniformes (8)

p6m, *632
C&R: 3,12 2 GJ-H: 12-3/m30/r(h3) ( t = 2, e = 2) t {6,3}	C&R: 3.4.6.4 GJ-H: 6-4-3/m30/r(c2) ( t = 3, e = 2) rr {3,6}	C&R: 4.6.12 GJ-H: 12-6,4/m30/r(c2) ( t = 3, e = 3) tr {3,6}	C&R: (3.6) 2 GJ-H: 6-3-6/m30/r(v4) ( t = 2, e = 1) r {6,3}
C&R: 4,8 2 GJ-H: 8-4/m90/r(h4) ( t = 2, e = 2) t {4,4}	C&R: 3 2 .4.3.4 GJ-H: 4-3-3,4/r90/r(h2) ( t = 2, e = 2) s {4,4}	C&R: 3 3 .4 2 GJ-H: 4-3/m90/r(h2) ( t = 2, e = 3) {3,6}: e	C&R: 3 4 .6 GJ-H: 6-3-3/r60/r(h5) ( t = 3, e = 3) sr {3,6}

C&R: Notación de Cundy y Rollet
GJ-H: Notación de GomJau-Hogg

Grünbaum y Shephard distinguen la descripción de estos teselados como arquimedianos como referencia únicamente a la propiedad local de que la disposición de los teselas alrededor de cada vértice es la misma, y ​​la de que son uniformes como referencia a la propiedad global de transitividad de vértices. Aunque estos dan como resultado el mismo conjunto de teselados en el plano, en otros espacios hay teselados arquimedianos que no son uniformes.

Existen 17 combinaciones de polígonos convexos regulares que forman 21 tipos de teselación de vértices y planos . ^{[6] [7]} Los polígonos en estos se encuentran en un punto sin espacio ni superposición. Si los enumeramos por sus figuras de vértices , uno tiene 6 polígonos, tres tienen 5 polígonos, siete tienen 4 polígonos y diez tienen 3 polígonos. ^[8]

Tres de ellos pueden realizar teselaciones regulares (6 ³ , 4 ⁴ , 3 ⁶ ), y ocho más pueden realizar teselaciones semirregulares o arquimedianas (3.12.12, 4.6.12, 4.8.8, (3.6) ² , 3.4.6.4, 3.3.4.3.4, 3.3.3.4.4, 3.3.3.3.6). Cuatro de ellos pueden existir en teselados k-uniformes superiores (3.3.4.12, 3.4.3.12, 3.3.6.6, 3.4.4.6), mientras que seis no pueden usarse para teselar completamente el plano con polígonos regulares sin espacios ni superposiciones; solo teselan el espacio por completo cuando se incluyen polígonos irregulares (3.7.42, 3.8.24, 3.9.18, 3.10.15, 4.5.20, 5.5.10). ^[9]

Teselación plano-vértice

6	3 6
5	3.3.4.3.4	3.3.3.4.4	3.3.3.3.6
4	3.3.4.12	3.4.3.12	3.3.6.6	(3.6) 2	3.4.4.6	3.4.6.4	4 4
3	3.7.42	3.8.24	3.9.18	3.10.15	3.12.12	4.5.20	4.6.12	4.8.8	5.5.10	6 3

Estos mosaicos periódicos pueden clasificarse por el número de órbitas de vértices, aristas y teselas. Si hay k órbitas de vértices, un mosaico se conoce como k -uniforme o k -isogonal; si hay t órbitas de teselas, como t -isoédrico; si hay e órbitas de aristas, como e -isotoxal.

Los mosaicos k -uniformes con las mismas figuras de vértice se pueden identificar además por su simetría de grupo de papel tapiz .

Los mosaicos 1-uniformes incluyen 3 mosaicos regulares y 8 semirregulares, con 2 o más tipos de caras de polígonos regulares. Hay 20 mosaicos 2-uniformes, 61 mosaicos 3-uniformes, 151 mosaicos 4-uniformes, 332 mosaicos 5-uniformes y 673 mosaicos 6-uniformes. Cada uno puede agruparse por el número m de figuras de vértices distintas, que también se denominan mosaicos m -arquimedianos. ^[10]

Finalmente, si el número de tipos de vértices es el mismo que la uniformidad ( m = k a continuación), entonces se dice que el teselado es Krotenheerdt . En general, la uniformidad es mayor o igual que el número de tipos de vértices ( m ≥ k ), ya que diferentes tipos de vértices necesariamente tienen diferentes órbitas, pero no al revés. Si m = n = k , hay 11 teselados de este tipo para n = 1; 20 teselados de este tipo para n = 2; 39 teselados de este tipo para n = 3; 33 teselados de este tipo para n = 4; 15 teselados de este tipo para n = 5; 10 teselados de este tipo para n = 6; y 7 teselados de este tipo para n = 7.

A continuación se muestra un ejemplo de mosaico de 3 uniformes:

Azulejos de colores de 3 colores uniformes n.° 57 de 61

Por los lados, triángulos amarillos, cuadrados rojos (por polígonos)

por posiciones de 4 isoedros, 3 colores sombreados de triángulos (por órbitas)

Hay veinte (20) teselaciónes 2-uniformes del plano euclidiano. (también llamadas teselaciónes 2- isogonales o teselaciónes demirregulares ) ^{[5] : 62-67  [14] [15]} Se enumeran los tipos de vértice para cada una. Si dos teselaciónes comparten los mismos dos tipos de vértice, se les asignan los subíndices 1,2.

2-azulejos uniformes (20)

p6m, *632						p4m, *442
[3 6 ; 3 2 .4.3.4] 3-4-3/m30/r(c3) ( t = 3, e = 3)	[3.4.6.4; 3 2 .4.3.4] 6-4-3,3/m30/r(h1) ( t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3 3 .4 2 ] 6-4-3-3/m30/r(h5) ( t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3,4 2 , 6] 6-4-3,4-6/m30/r(c4) ( t = 5, e = 5)	[4.6.12; 3.4.6.4] 12-4,6-3/m30/r(c3) ( t = 4, e = 4)	[3 6 ; 3 2 .4.12] 12-3,4-3/m30/r(c3) ( t = 4, e = 4)	[3.12.12; 3.4.3.12] 12-0,3,3-0,4/m45/m(h1) ( t = 3, e = 3)
p6m, *632	pág. 6, 632	pág. 6, 632	cmm, 2*22	Por favor, *2222	cmm, 2*22	Por favor, *2222
[3 6 ; 3 2 .6 2 ] 3-6/m30/r(c2) ( t = 2, e = 3)	[3 6 ; 3 4 .6] 1 6-3,3-3/m30/r(h1) ( t = 3, e = 3)	[3 6 ; 3 4 .6] 2 6-3-3,3-3/r60/r(h8) ( t = 5, e = 7)	[3 2 .6 2 ; 3 4 .6] 6-3/m90/r(h1) ( t = 2, e = 4)	[3.6.3.6; 3 2 .6 2 ] 6-3,6/m90/r(h3) ( t = 2, e = 3)	[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 2 6-3,4-6-3,4-6,4/m90/r(c6) ( t = 3, e = 4)	[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 1 6-3,4/m90/r(h4) ( t = 4, e = 4)
p4g, 4*2	pág., 22×	cmm, 2*22	cmm, 2*22	Por favor, *2222	cmm, 2*22
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 4-3,3-4,3/r90/m(h3) ( t = 4, e = 5)	[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 4-3,3,3-4,3/r(c2)/r(h13)/r(h45) ( t = 3, e = 6)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1 4-3/m(h4)/m(h3)/r(h2) ( t = 2, e = 4)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2 4-4-3-3/m90/r(h3) ( t = 3, e = 5)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1 4-3,4-3,3/m90/r(h3) ( t = 3, e = 4)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2 4-3-3-3/m90/r(h7)/r(h5) ( t = 4, e = 5)

Se han enumerado hasta 6 teselas k -uniformes. Existen 673 teselas 6-uniformes del plano euclidiano. La búsqueda de Brian Galebach reprodujo la lista de Krotenheerdt de 10 teselas 6-uniformes con 6 tipos de vértices distintos, y encontró 92 de ellas con 5 tipos de vértices, 187 con 4 tipos de vértices, 284 con 3 tipos de vértices y 100 con 2 tipos de vértices.

Existen muchas maneras de generar nuevos mosaicos k -uniformes a partir de mosaicos k -uniformes antiguos. Por ejemplo, observe que el mosaico 2-uniforme [3.12.12; 3.4.3.12] tiene una red cuadrada, el mosaico 4(3-1)-uniforme [343.12; (3.12 ² )3] tiene una red cuadrada chata y el mosaico 5(3-1-1)-uniforme [334.12; 343.12; (3.12.12)3] tiene una red triangular alargada. Estos mosaicos uniformes de orden superior utilizan la misma red pero poseen una mayor complejidad. La base fractalizadora para estos mosaicos es la siguiente: ^[16]

	Triángulo	Cuadrado	Hexágono	Dodecágono diseccionado
Forma
Fractalización

Las longitudes de los lados se dilatan por un factor de .${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$

Esto se puede hacer de manera similar con el mosaico trihexagonal truncado como base, con la dilatación correspondiente de .${\displaystyle 3+{\sqrt {3}}}$

	Triángulo	Cuadrado	Hexágono	Dodecágono diseccionado
Forma
Fractalización

	Teselación hexagonal truncada	Teselación triangular truncada
Fractalización

Los polígonos regulares convexos también pueden formar mosaicos planos que no estén unidos por sus bordes. Dichos mosaicos pueden considerarse como polígonos irregulares con bordes adyacentes colineales.

Existen siete familias de teselas isogonales, cada una de las cuales tiene un parámetro de valor real que determina la superposición entre los lados de las teselas adyacentes o la relación entre las longitudes de las aristas de las diferentes teselas. Dos de las familias se generan a partir de posiciones cuadradas desplazadas, ya sea progresivas o en zigzag. Grünbaum y Shephard denominan a estas teselas uniformes , aunque esto contradice la definición de uniformidad de Coxeter, que requiere polígonos regulares de arista con arista. ^[17] Estas teselas isogonales son en realidad topológicamente idénticas a las teselas uniformes, con diferentes proporciones geométricas.

Teselación periódica isogonal de polígonos regulares no convexos de borde a borde

1	2	3	4	5	6	7
Filas de cuadrados con desplazamientos horizontales		Filas de triángulos con desplazamientos horizontales	Un mosaico por cuadrados	Tres hexágonos rodean cada triángulo.	Seis triángulos rodean cada hexágono.	Triángulos de tres tamaños
cmm (2*22)	pág. 2 (2222)	cmm (2*22)	p4m (*442)	pág. 6 (632)		pág. 3 (333)
Azulejos hexagonales		Azulejos cuadrados	Teselación cuadrada truncada	Teselación hexagonal truncada	Azulejos hexagonales	Azulejos trihexagonales

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Enlaces euclidianos y de teselación general:

• mosaicos n-uniformes, Brian Galebach
• Dutch, Steve. "Uniform Tilings". Archivado desde el original el 2006-09-09 . Consultado el 2006-09-09 .
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• Weisstein, Eric W. "Teselación". MathWorld .
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