Área de superficie

El área superficial (símbolo A ) de un objeto sólido es una medida del área total que ocupa la superficie del objeto. ^[1] La definición matemática del área superficial en presencia de superficies curvas es considerablemente más compleja que la definición de longitud de arco de curvas unidimensionales, o del área superficial para poliedros (es decir, objetos con caras poligonales planas ), para los cuales el área superficial es la suma de las áreas de sus caras. A las superficies lisas, como una esfera , se les asigna un área superficial utilizando su representación como superficies paramétricas . Esta definición de área superficial se basa en métodos de cálculo infinitesimal e involucra derivadas parciales e integración doble .

A principios del siglo XX, Henri Lebesgue y Hermann Minkowski buscaron una definición general del área de superficie . Su trabajo condujo al desarrollo de la teoría de la medida geométrica , que estudia diversas nociones de área de superficie para objetos irregulares de cualquier dimensión. Un ejemplo importante es el contenido de Minkowski de una superficie.

Si bien las áreas de muchas superficies simples se conocen desde la antigüedad, una definición matemática rigurosa del área requiere mucho cuidado. Esto debería proporcionar una función

${\displaystyle S\mapsto A(S)}$

que asigna un número real positivo a una cierta clase de superficies que satisface varios requisitos naturales. La propiedad más fundamental del área de la superficie es su aditividad : el área del todo es la suma de las áreas de las partes . Más rigurosamente, si una superficie S es una unión de un número finito de piezas S ₁ , …, S _r que no se superponen excepto en sus límites, entonces

${\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}$

Las áreas de superficie de formas poligonales planas deben coincidir con su área definida geométricamente . Dado que el área de superficie es una noción geométrica, las áreas de superficies congruentes deben ser las mismas y el área debe depender solo de la forma de la superficie, pero no de su posición y orientación en el espacio. Esto significa que el área de superficie es invariante bajo el grupo de movimientos euclidianos . Estas propiedades caracterizan de manera única el área de superficie para una amplia clase de superficies geométricas llamadas superficies lisas por partes . Dichas superficies constan de un número finito de partes que se pueden representar en la forma paramétrica.

${\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}$

con una función continuamente diferenciable El área de una pieza individual está definida por la fórmula${\displaystyle {\vec {r}}.}$

${\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}$

De esta manera, el área de S _D se obtiene integrando la longitud del vector normal a la superficie sobre la región apropiada D en el plano paramétrico uv . El área de la superficie total se obtiene luego sumando las áreas de las partes, utilizando la aditividad del área de superficie. La fórmula principal se puede especializar para diferentes clases de superficies, dando, en particular, fórmulas para áreas de grafos z = f ( x , y ) y superficies de revolución .${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$

Una de las sutilezas del área de superficie, en comparación con la longitud de arco de las curvas, es que el área de superficie no se puede definir simplemente como el límite de áreas de formas poliédricas que se aproximan a una superficie lisa dada. Hermann Schwarz demostró que, ya para el cilindro, diferentes opciones de aproximación de superficies planas pueden conducir a diferentes valores límite del área; este ejemplo se conoce como la linterna de Schwarz . ^{[2] [3]}

A finales del siglo XIX y principios del XX, Henri Lebesgue y Hermann Minkowski desarrollaron diversos enfoques para una definición general del área de superficie . Si bien para las superficies lisas por partes existe una noción natural única de área de superficie, si una superficie es muy irregular o rugosa, puede que no sea posible asignarle un área en absoluto. Un ejemplo típico lo da una superficie con picos distribuidos de forma densa. Muchas superficies de este tipo aparecen en el estudio de los fractales . Las extensiones de la noción de área que cumplen parcialmente su función y pueden definirse incluso para superficies muy irregulares se estudian en la teoría de la medida geométrica . Un ejemplo específico de tal extensión es el contenido de Minkowski de la superficie.

Áreas superficiales de sólidos comunes

Forma	Fórmula/ecuación	Variables
Cubo	$Estilo de visualización 6a^{2}}$	a = longitud del lado
Cuboides	${\displaystyle 2\left(lb+lh+bh\right)}$	l = largo, b = ancho, h = altura
Prisma triangular	${\displaystyle bh+l\izquierda(p+q+r\derecha)}$	b = longitud de la base del triángulo, h = altura del triángulo, l = distancia entre bases triangulares, p , q , r = lados del triángulo
Todos los prismas	$Estilo de visualización 2B+Ph$	B = el área de una base, P = el perímetro de una base, h = altura
Esfera	${\displaystyle 4\pi r^{2}=\pi d^{2}}$	r = radio de la esfera, d = diámetro
Hemisferio	${\displaystyle 3\pi r^{2}}$	r = radio del hemisferio
Concha hemisférica	${\displaystyle \pi \left(3R^{2}+r^{2}\right)}$	R = radio externo del hemisferio, r = radio interno del hemisferio
Luna esférica	${\displaystyle 2r^{2}\theta}$	r = radio de la esfera, θ = ángulo diedro
Toro	${\displaystyle \left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr}$	r = radio menor (radio del tubo), R = radio mayor (distancia del centro del tubo al centro del toro)
Cilindro cerrado	${\displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)}$	r = radio de la base circular, h = altura del cilindro
Anillo cilíndrico	${\displaystyle 2\pi Rh+2\pi rh+2(\pi R^{2}-\pi r^{2})=2\pi (R+r)(R-r+h)}$	R = Radio externo r = Radio interno, h = altura
Cápsula	${\displaystyle 2\pi r(2r+h)}$	r = radio de los hemisferios y del cilindro, h = altura del cilindro
Área de superficie curva de un cono	${\displaystyle \pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi rs}$	${\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ s = altura inclinada del cono, r = radio de la base circular, h = altura del cono
Área total de la superficie de un cono	${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r\left(r+s\right)}$	s = altura inclinada del cono, r = radio de la base circular, h = altura del cono
Pirámide regular	${\displaystyle B+{\frac {Ps}{2}}}$	B = área de la base, P = perímetro de la base, s = altura inclinada
Pirámide cuadrada	${\displaystyle b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}}$	b = longitud de la base, s = altura inclinada, h = altura vertical
Pirámide rectangular	${\displaystyle lb+l{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+b{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}}$	l = largo, b = ancho, h = altura
Tetraedro	${\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}}$	a = longitud del lado
Superficie de revolución	${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}{f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}}$
Superficie paramétrica	${\displaystyle \iint _{D}\left\vert {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right\vert dA}$	${\displaystyle {\vec {r}}}$= ecuación vectorial paramétrica de superficie, ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}}$= derivada parcial de con respecto a , = derivada parcial de con respecto a , = región de sombra${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{v}}$${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$

Las fórmulas que se dan a continuación se pueden utilizar para demostrar que el área de superficie de una esfera y un cilindro del mismo radio y altura están en la proporción 2: 3 , de la siguiente manera.

Sea el radio r y la altura h (que es 2 r para la esfera).

$${\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}}$$

El descubrimiento de esta relación se atribuye a Arquímedes . ^[4]

El área superficial es importante en la cinética química . Aumentar el área superficial de una sustancia generalmente aumenta la velocidad de una reacción química . Por ejemplo, el hierro en un polvo fino se quemará , ^[5] mientras que en bloques sólidos es lo suficientemente estable como para usarse en estructuras. Para diferentes aplicaciones puede ser deseable un área superficial mínima o máxima.

La superficie de un organismo es importante por varias razones, como la regulación de la temperatura corporal y la digestión . ^[7] Los animales usan sus dientes para moler los alimentos en partículas más pequeñas, lo que aumenta la superficie disponible para la digestión. ^[8] El tejido epitelial que recubre el tracto digestivo contiene microvellosidades , lo que aumenta en gran medida el área disponible para la absorción. ^[9] Los elefantes tienen orejas grandes , lo que les permite regular su propia temperatura corporal. ^[10] En otros casos, los animales necesitarán minimizar la superficie; ^[11] por ejemplo, las personas cruzan los brazos sobre el pecho cuando tienen frío para minimizar la pérdida de calor.

La relación entre el área superficial y el volumen (SA:V) de una célula impone límites superiores al tamaño, ya que el volumen aumenta mucho más rápido que el área superficial, lo que limita la velocidad a la que las sustancias se difunden desde el interior a través de la membrana celular hacia los espacios intersticiales o hacia otras células. ^[12] De hecho, al representar una célula como una esfera idealizada de radio r , el volumen y el área superficial son, respectivamente, V = (4/3) πr ³ y SA = 4 πr ² . La relación entre el área superficial y el volumen resultante es, por tanto, 3/ r . Por tanto, si una célula tiene un radio de 1 μm, la relación SA:V es 3; mientras que si el radio de la célula es, en cambio, 10 μm, la relación SA:V se convierte en 0,3. Con un radio celular de 100, la relación SA:V es 0,03. Por tanto, el área superficial cae abruptamente con el aumento del volumen.

• Longitud del perímetro
• Área proyectada
• Teoría BET , técnica para la medición de la superficie específica de los materiales.
• Área esférica
• Integral de superficie

• Yu. D. Burago; VA Zalgaller; LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Área", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Vídeo sobre el área de superficie en Thinkwell