Curva modular

En teoría de números y geometría algebraica , una curva modular Y (Γ) es una superficie de Riemann , o la curva algebraica correspondiente , construida como un cociente del semiplano superior complejo H por la acción de un subgrupo de congruencia Γ del grupo modular de matrices integrales 2×2 SL(2,  Z ). El término curva modular también se puede utilizar para referirse a las curvas modulares compactificadas X (Γ) que son compactificaciones obtenidas añadiendo un número finito de puntos (llamados cúspides de Γ ) a este cociente (a través de una acción sobre el semiplano superior complejo extendido ). Los puntos de una curva modular parametrizan clases de isomorfismo de curvas elípticas , junto con alguna estructura adicional que depende del grupo Γ. Esta interpretación permite dar una definición puramente algebraica de las curvas modulares, sin referencia a los números complejos , y, además, demostrar que las curvas modulares se definen o bien sobre el cuerpo de los números racionales Q o bien sobre un cuerpo ciclotómico Q (ζ _n ). Este último hecho y sus generalizaciones son de importancia fundamental en la teoría de números.

El grupo modular SL(2,  Z ) actúa sobre el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias . La definición analítica de una curva modular implica la elección de un subgrupo de congruencia Γ de SL(2,  Z ), es decir, un subgrupo que contiene el subgrupo de congruencia principal de nivel N para algún entero positivo N , que se define como

${\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N{\text{ y }}b,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

El mínimo de tal N se llama nivel de Γ . Una estructura compleja se puede poner en el cociente Γ\ H para obtener una superficie de Riemann no compacta llamada curva modular , y comúnmente denotada Y (Γ).

Una compactificación común de Y (Γ) se obtiene añadiendo un número finito de puntos llamados cúspides de Γ. En concreto, esto se hace considerando la acción de Γ sobre el semiplano complejo extendido H * =  H ∪ Q ∪ {∞ }. Introducimos una topología sobre H * tomando como base:

• cualquier subconjunto abierto de H ,
• para todo r > 0, el conjunto${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Estoy}}(\tau )>r\}}$
• para todos los números enteros coprimos a , c y todos los r > 0, la imagen de bajo la acción de${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Estoy}}(\tau )>r\}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}$

donde m , n son números enteros tales que an + cm = 1.

Esto convierte a H * en un espacio topológico que es un subconjunto de la esfera de Riemann P ¹ ( C ). El grupo Γ actúa sobre el subconjunto Q ∪ {∞ }, dividiéndolo en un número finito de órbitas llamadas cúspides de Γ . Si Γ actúa transitivamente sobre Q ∪ {∞ }, el espacio Γ\ H * se convierte en la compactificación de Alexandroff de Γ\ H . Una vez más, se puede poner una estructura compleja en el cociente Γ\ H * convirtiéndolo en una superficie de Riemann denotada X (Γ) que ahora es compacta . Este espacio es una compactificación de Y (Γ). ^[1]

Los ejemplos más comunes son las curvas X ( N ), X ₀ ( N ) y X ₁ ( N ) asociadas a los subgrupos Γ( N ), Γ ₀ ( N ) y Γ ₁ ( N ).

La curva modular X (5) tiene género 0: es la esfera de Riemann con 12 cúspides situadas en los vértices de un icosaedro regular . La cobertura X (5) → X (1) se realiza por la acción del grupo icosaédrico sobre la esfera de Riemann. Este grupo es un grupo simple de orden 60 isomorfo a A ₅ y PSL(2, 5).

La curva modular X (7) es la cuártica de Klein de género 3 con 24 cúspides. Puede interpretarse como una superficie con tres asas teseladas por 24 heptágonos, con una cúspide en el centro de cada cara. Estas teselaciones pueden entenderse mediante dessins d'enfants y funciones de Belyi : las cúspides son los puntos que se encuentran sobre ∞ (puntos rojos), mientras que los vértices y centros de las aristas (puntos negros y blancos) son los puntos que se encuentran sobre 0 y 1. El grupo de Galois de la cubierta X (7) →  X (1) es un grupo simple de orden 168 isomorfo a PSL(2, 7) .

Existe un modelo clásico explícito para X ₀ ( N ), la curva modular clásica ; a veces se la denomina curva modular. La definición de Γ( N ) se puede reformular de la siguiente manera: es el subgrupo del grupo modular que constituye el núcleo de la reducción módulo N . Entonces Γ ₀ ( N ) es el subgrupo más grande de matrices que son triangulares superiores módulo N :

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},}$

y Γ ₁ ( N ) es el grupo intermedio definido por:

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

Estas curvas tienen una interpretación directa como espacios de módulos para curvas elípticas con estructura de nivel y por esta razón juegan un papel importante en la geometría aritmética . La curva modular de nivel N X ( N ) es el espacio de módulos para curvas elípticas con base para la N - torsión . Para X ₀ ( N ) y X ₁ ( N ), la estructura de nivel es, respectivamente, un subgrupo cíclico de orden N y un punto de orden N . Estas curvas han sido estudiadas en gran detalle, y en particular, se sabe que X ₀ ( N ) puede definirse sobre Q .

Las ecuaciones que definen curvas modulares son los ejemplos más conocidos de ecuaciones modulares . Los "mejores modelos" pueden ser muy diferentes de los que se extraen directamente de la teoría de funciones elípticas . Los operadores de Hecke pueden estudiarse geométricamente, como correspondencias que conectan pares de curvas modulares.

Existen cocientes de H que son compactos para grupos fuchsianos Γ distintos de los subgrupos del grupo modular; una clase de ellos construida a partir de álgebras de cuaterniones también es de interés en la teoría de números.

El recubrimiento X ( N ) → X (1) es de Galois, con grupo de Galois SL(2, N )/{1, −1}, que es igual a PSL(2,  N ) si N es primo. Aplicando la fórmula de Riemann-Hurwitz y el teorema de Gauss-Bonnet , se puede calcular el género de X ( N ). Para un nivel primo p ≥ 5,

${\displaystyle -\pi \chi(X(p))=|G|\cdot D,}$

donde χ = 2 − 2 g es la característica de Euler , | G | = ( p +1) p ( p −1)/2 es el orden del grupo PSL(2, p ), y D = π − π/2 − π/3 − π/ p es el defecto angular del triángulo esférico (2,3, p ). Esto da como resultado una fórmula

${\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).}$

Así, X (5) tiene género 0, X (7) tiene género 3 y X (11) tiene género 26. Para p = 2 o 3, se debe tener en cuenta adicionalmente la ramificación, es decir, la presencia de elementos de orden p en PSL(2, Z ), y el hecho de que PSL(2, 2) tiene orden 6, en lugar de 3. Hay una fórmula más complicada para el género de la curva modular X ( N ) de cualquier nivel N que involucre divisores de N .

En general, un campo de funciones modulares es un campo de funciones de una curva modular (o, ocasionalmente, de algún otro espacio de módulos que resulta ser una variedad irreducible ). El género cero significa que dicho campo de funciones tiene una única función trascendental como generador: por ejemplo, la función j genera el campo de funciones de X (1) = PSL(2, Z )\ H *. El nombre tradicional para dicho generador, que es único hasta una transformación de Möbius y puede normalizarse apropiadamente, es Hauptmodul ( función modular principal o principal , plural Hauptmoduln ).

Los espacios X ₁ ( n ) tienen género cero para n  = 1, ..., 10 y n = 12. Puesto que cada una de estas curvas está definida sobre Q y tiene un punto Q -racional, se deduce que hay infinitos puntos racionales en cada una de dichas curvas y, por tanto, infinitas curvas elípticas definidas sobre Q con n -torsión para estos valores de n . El enunciado inverso, que solo pueden darse estos valores de n , es el teorema de torsión de Mazur .

Las curvas modulares son de género uno si y solo si es igual a uno de los 12 valores enumerados en la siguiente tabla. ^[2] Como curvas elípticas sobre , tienen modelos de Weierstrass mínimos e integrales . Esto es, y el valor absoluto del discriminante es mínimo entre todos los modelos de Weierstrass integrales para la misma curva. La siguiente tabla contiene los únicos modelos de Weierstrass reducidos , mínimos e integrales, lo que significa y . ^[3] La última columna de esta tabla se refiere a la página de inicio de la respectiva curva modular elíptica en la base de datos de formas modulares y funciones L (LMFDB) . ${\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$${\displaystyle \textstyle a_{j}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \textstyle a_{1},a_{3}\in \{0,1\}}$${\displaystyle \textstyle a_{2}\in \{-1,0,1\}}$${\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}$

${\displaystyle X_{0}(N)}$del género 1

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$
${\displaystyle N}$	${\displaystyle [a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{6}]}$	${\displaystyle \Delta }$	Base de datos LMMF
11	[0, -1, 1, -10, -20]	${\displaystyle \textstyle -11^{5}}$	enlace
14	[1, 0, 1, 4, -6]	${\displaystyle \textstyle -2^{6}\cdot 7^{3}}$	enlace
15	[1, 1, 1, -10, -10]	${\displaystyle \textstyle 3^{4}\cdot 5^{4}}$	enlace
17	[1, -1, 1, -1, -14]	${\displaystyle \textstyle -17^{4}}$	enlace
19	[0, 1, 1, -9, -15]	${\displaystyle \textstyle -19^{3}}$	enlace
20	[0, 1, 0, 4, 4]	${\displaystyle \textstyle -2^{8}\cdot 5^{2}}$	enlace
21	[1, 0, 0, -4, -1]	${\displaystyle \textstyle 3^{4}\cdot 7^{2}}$	enlace
24	[0, -1, 0, -4, 4]	${\displaystyle \textstyle 2^{8}\cdot 3^{2}}$	enlace
27	[0, 0, 1, 0, -7]	${\displaystyle \textstyle -3^{9}}$	enlace
32	[0, 0, 0, 4, 0]	${\displaystyle \textstyle -2^{12}}$	enlace
36	[0, 0, 0, 0, 1]	${\displaystyle \textstyle -2^{4}\cdot 3^{3}}$	enlace
49	[1, -1, 0, -2, -1]	${\displaystyle \textstyle -7^{3}}$	enlace

Las curvas modulares de género 0, que son bastante raras, resultaron ser de gran importancia en relación con las conjeturas de la luz de la luna monstruosa . Primero, varios coeficientes de las expansiones q de sus módulos principales fueron calculados ya en el siglo XIX, pero fue una sorpresa que los mismos números enteros grandes aparecieran como dimensiones de representaciones del grupo simple esporádico más grande, Monster.

Otra conexión es que la curva modular correspondiente al normalizador Γ ₀ ( p ) ⁺ de Γ ₀ ( p ) en SL(2, R ) tiene género cero si y solo si p es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71, y estos son precisamente primos supersingulares en la teoría del alcohol ilegal , es decir, los factores primos del orden del grupo monstruoso . El resultado sobre Γ ₀ ( p ) ⁺ se debe a Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson en la década de 1970, y la observación posterior que lo relaciona con el grupo monstruoso se debe a Ogg, quien escribió un artículo ofreciendo una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que pudiera explicar este hecho, que fue un punto de partida para la teoría del alcohol ilegal monstruoso. ^[4]

La relación es muy profunda y, como lo demostró Richard Borcherds , también involucra álgebras generalizadas de Kac-Moody . El trabajo en esta área subrayó la importancia de las funciones modulares que son meromórficas y pueden tener polos en las cúspides, en oposición a las formas modulares , que son holomorfas en todas partes, incluidas las cúspides, y habían sido los principales objetos de estudio durante la mayor parte del siglo XX.

• Teorema de Manin-Drinfeld
• Pila de módulos de curvas elípticas
• Teorema de modularidad
• Variedad Shimura , una generalización de curvas modulares a dimensiones superiores

• Steven D. Galbraith - Ecuaciones para curvas modulares