Forma modular

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En matemáticas , una forma modular es una función analítica (compleja) en el semiplano superior , que satisface aproximadamente una ecuación funcional con respecto a la acción grupal del grupo modular y una condición de crecimiento. La teoría de formas modulares tiene orígenes en el análisis complejo , con conexiones importantes con la teoría de números . Las formas modulares también aparecen en otras áreas, como la topología algebraica , el empaquetamiento de esferas y la teoría de cuerdas .${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\,}$

La teoría de formas modulares es un caso especial de la teoría más general de formas automórficas , que son funciones definidas en grupos de Lie que se transforman de forma precisa con respecto a la acción de ciertos subgrupos discretos , generalizando el ejemplo del grupo modular . Cada forma modular está asociada a una representación de Galois . ^[1]${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

El término "forma modular", como descripción sistemática, se atribuye habitualmente a Erich Hecke .

En general, ^[2] dado un subgrupo de índice finito , llamado grupo aritmético , una forma modular de nivel y peso es una función holomorfa del semiplano superior tal que se satisfacen dos condiciones:${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$

• Condición de automorfía: Para cualquier existe la igualdad ^{[nota 1]}${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)}$
• Condición de crecimiento: Para cualquier función está acotada${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))}$${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

donde y la función se identifica con la matriz La identificación de dichas funciones con dichas matrices hace que la composición de dichas funciones corresponda a la multiplicación de matrices. Además, se denomina forma cúspide si satisface la siguiente condición de crecimiento:${\textstyle \gamma (z)=(az+b)/(cz+d)}$${\textstyle \gamma }$${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).\,}$

• Condición cuspidal: Para cualquier función como${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0}$${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

Las formas modulares también pueden interpretarse como secciones de un haz de líneas específico en variedades modulares . Para una forma modular, el nivel y el peso se pueden definir como un elemento de${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma )}$

¿Dónde está el haz de líneas canónico en la curva modular?${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))}$

Las dimensiones de estos espacios de formas modulares se pueden calcular utilizando el teorema de Riemann-Roch . ^[3] Las formas modulares clásicas para son secciones de un fibrado de líneas en la pila de módulos de curvas elípticas .${\displaystyle \Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

Una función modular es una función que es invariante respecto del grupo modular, pero sin la condición de que f  ( z ) sea holomorfa en el semiplano superior (entre otros requisitos). En cambio, las funciones modulares son meromórficas : son holomorfas en el complemento de un conjunto de puntos aislados, que son polos de la función.

Una forma modular del peso k para el grupo modular

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

es una función de valor complejo f en el semiplano superior H = { z ∈ C , Im ( z ) > 0}, que satisface las tres condiciones siguientes:   

1.  f  es una función holomorfa en H .
2. Para cualquier z ∈ H y cualquier matriz en SL(2, Z ) como la anterior, tenemos:

   ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

3.  Se requiere que f  esté acotado cuando z → i ∞ .

Observaciones:

• El peso k suele ser un número entero positivo.
• Para k impar , sólo la función cero puede satisfacer la segunda condición.
• La tercera condición también se expresa diciendo que f es "holomorfo en la cúspide", una terminología que se explica a continuación. Explícitamente, la condición significa que existe algún tal que , es decir, está acotado por encima de alguna línea horizontal.  ${\displaystyle M,D>0}$${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D}$${\displaystyle f}$
• La segunda condición para

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

lee

${\displaystyle f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

respectivamente. Dado que S y T generan el grupo modular SL(2, Z ) , la segunda condición anterior es equivalente a estas dos ecuaciones.

• Dado que f  ( z + 1) =   f  ( z ) , las formas modulares son funciones periódicas , con período 1 , y por lo tanto tienen una serie de Fourier . 

Una forma modular se puede definir de manera equivalente como una función F del conjunto de redes en C al conjunto de números complejos que satisface ciertas condiciones:

1. Si consideramos la red Λ = Z α + Z z generada por una constante α y una variable z , entonces F (Λ) es una función analítica de z .
2. Si α es un número complejo distinto de cero y α Λ es la red obtenida al multiplicar cada elemento de Λ por α , entonces F ( α Λ) = α ^{− k} F (Λ) donde k es una constante (normalmente un entero positivo) llamada peso de la forma.
3. El valor absoluto de F (Λ) permanece acotado siempre que el valor absoluto del elemento distinto de cero más pequeño en Λ esté acotado lejos de 0.

La idea clave para demostrar la equivalencia de las dos definiciones es que dicha función F está determinada, debido a la segunda condición, por sus valores en redes de la forma Z + Z τ , donde τ ∈ H .

Serie I. Eisenstein

Los ejemplos más simples desde este punto de vista son las series de Eisenstein . Para cada entero par k > 2 , definimos G _k (Λ) como la suma de λ ^{− k} sobre todos los vectores λ distintos de cero de Λ :

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.}$

Entonces G _k es una forma modular del peso k . Para Λ = Z + Z τ tenemos

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}}$

Se necesita la condición k > 2 para la convergencia ; para k impar hay cancelación entre λ ^{− k} y (− λ ) ^{− k} , de modo que dichas series son idénticamente cero.

II. Funciones theta de redes unimodulares pares

Una red unimodular par L en R ⁿ es una red generada por n vectores que forman las columnas de una matriz de determinante 1 y que satisface la condición de que el cuadrado de la longitud de cada vector en L sea un entero par. La llamada función theta

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

converge cuando Im(z) > 0, y como consecuencia de la fórmula de suma de Poisson se puede demostrar que es una forma modular de peso n /2 . No es tan fácil construir redes unimodulares pares, pero aquí hay una manera: Sea n un entero divisible por 8 y considere todos los vectores v en R ⁿ tales que 2 v tiene coordenadas enteras, ya sean todas pares o todas impares, y tales que la suma de las coordenadas de v es un entero par. Llamamos a esta red L _n . Cuando n = 8 , esta es la red generada por las raíces en el sistema de raíces llamado E ₈ . Debido a que solo hay una forma modular de peso 8 hasta la multiplicación escalar,

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$

aunque las redes L ₈ × L ₈ y L ₁₆ no son similares, John Milnor observó que los toros de 16 dimensiones obtenidos al dividir R ¹⁶ por estas dos redes son, en consecuencia, ejemplos de variedades riemannianas compactas que son isoespectrales pero no isométricas (véase Escuchar la forma de un tambor ).

III. El discriminante modular

La función eta de Dedekind se define como

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.}$

donde q es el cuadrado del nomo . Entonces el discriminante modular Δ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ²⁴ es una forma modular de peso 12. La presencia de 24 está relacionada con el hecho de que la red Leech tiene 24 dimensiones. Una célebre conjetura de Ramanujan afirmó que cuando Δ( z ) se expande como una serie de potencias en q, el coeficiente de q ^p para cualquier primo p tiene valor absoluto ≤ 2 p ^11/2 . Esto fue confirmado por el trabajo de Eichler , Shimura , Kuga , Ihara y Pierre Deligne como resultado de la prueba de Deligne de las conjeturas de Weil , que se demostró que implicaban la conjetura de Ramanujan.

El segundo y tercer ejemplo dan una pista de la conexión entre las formas modulares y las cuestiones clásicas de la teoría de números, como la representación de números enteros mediante formas cuadráticas y la función de partición . El vínculo conceptual crucial entre las formas modulares y la teoría de números lo proporciona la teoría de los operadores de Hecke , que también proporciona el vínculo entre la teoría de las formas modulares y la teoría de la representación .

Cuando el peso k es cero, se puede demostrar mediante el teorema de Liouville que las únicas formas modulares son funciones constantes. Sin embargo, si se relaja el requisito de que f sea holomorfa, se llega a la noción de funciones modulares . Una función f  : H → C se denomina modular si satisface las siguientes propiedades:

• f es meromórfica en el semiplano superior abierto H
• Para cada matriz entera en el grupo modular Γ , .${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$
• La segunda condición implica que f es periódica y, por lo tanto, tiene una serie de Fourier . La tercera condición es que esta serie tiene la forma

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

A menudo se escribe en términos de (el cuadrado del nombre ), como:${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Esto también se conoce como la expansión q de f ( principio de expansión q ). Los coeficientes se conocen como los coeficientes de Fourier de f , y el número m se llama el orden del polo de f en i∞. Esta condición se llama "meromórfica en la cúspide", lo que significa que solo un número finito de coeficientes negativos n son distintos de cero, por lo que la expansión q está acotada por debajo, lo que garantiza que es meromórfica en q  = 0.  ^{[nota 2]}${\displaystyle a_{n}}$

A veces se utiliza una definición más débil de funciones modulares: según la definición alternativa, es suficiente que f sea meromórfica en el semiplano superior abierto y que f sea invariante con respecto a un subgrupo del grupo modular de índice finito. ^[4] Esto no se cumple en este artículo.

Otra forma de expresar la definición de funciones modulares es usar curvas elípticas : cada red Λ determina una curva elíptica C /Λ sobre C ; dos redes determinan curvas elípticas isomorfas si y solo si una se obtiene de la otra multiplicando por algún número complejo distinto de cero α . Por lo tanto, una función modular también puede considerarse como una función meromórfica en el conjunto de clases de isomorfismo de curvas elípticas. Por ejemplo, la j-invariante j ( z ) de una curva elíptica, considerada como una función en el conjunto de todas las curvas elípticas, es una función modular. Más conceptualmente, las funciones modulares pueden considerarse como funciones en el espacio de módulos de clases de isomorfismo de curvas elípticas complejas.

Una forma modular f que se desvanece en q = 0 (equivalentemente, a ₀ = 0 , también parafraseada como z = i ∞ ) se llama forma cúspide ( Spitzenform en alemán ). El n más pequeño tal que a _n ≠ 0 es el orden del cero de f en i ∞ .

Una unidad modular es una función modular cuyos polos y ceros están confinados a las cúspides. ^[5]

La ecuación funcional, es decir, el comportamiento de f con respecto a, se puede relajar al requerirla sólo para matrices en grupos más pequeños.${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

Sea G un subgrupo de SL(2, Z ) que es de índice finito . Tal grupo G actúa sobre H de la misma manera que SL(2, Z ) . Se puede demostrar que el espacio topológico cociente G \ H es un espacio de Hausdorff . Típicamente no es compacto, pero se puede compactificar añadiendo un número finito de puntos llamados cúspides . Estos son puntos en el límite de H , es decir, en Q ∪{∞}, ^{[nota 3]} tales que hay un elemento parabólico de G (una matriz con traza ±2) que fija el punto. Esto produce un espacio topológico compacto G \ H ^∗ . Es más, se le puede dotar de la estructura de una superficie de Riemann , lo que permite hablar de funciones holo- y meromorfas.

Ejemplos importantes son, para cualquier entero positivo N , cualquiera de los subgrupos de congruencia

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}}$

Para G = Γ ₀ ( N ) o Γ( N ) , los espacios G \ H y G \ H ^∗ se denotan Y ₀ ( N ) y X ₀ ( N ) e Y ( N ), X ( N ), respectivamente.

La geometría de G \ H ^∗ se puede entender estudiando los dominios fundamentales de G , es decir, los subconjuntos D ⊂ H tales que D interseca cada órbita de la acción G sobre H exactamente una vez y de tal manera que el cierre de D interseca todas las órbitas. Por ejemplo, se puede calcular el género de G \ H ^{∗ . [6]}

Una forma modular para G de peso k es una función en H que satisface la ecuación funcional anterior para todas las matrices en G , que es holomorfa en H y en todas las cúspides de G . Nuevamente, las formas modulares que se desvanecen en todas las cúspides se denominan formas cúspides para G . Los espacios vectoriales C de las formas modulares y cúspides de peso k se denotan M _k ( G ) y S _k ( G ) , respectivamente. De manera similar, una función meromórfica en G \ H ^∗ se denomina función modular para G . En caso de que G = Γ ₀ ( N ), también se las conoce como formas modulares/cúspides y funciones de nivel N . Para G = Γ(1) = SL(2, Z ) , esto devuelve las definiciones mencionadas anteriormente.

La teoría de superficies de Riemann se puede aplicar a G \ H ^∗ para obtener más información sobre formas y funciones modulares. Por ejemplo, los espacios M _k ( G ) y S _k ( G ) son de dimensión finita, y sus dimensiones se pueden calcular gracias al teorema de Riemann-Roch en términos de la geometría de la acción G sobre H . ^[7] Por ejemplo,

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

donde denota la función de suelo y es par.${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$${\displaystyle k}$

Las funciones modulares constituyen el campo de funciones de la superficie de Riemann, y por tanto forman un campo de grado de trascendencia uno (sobre C ). Si una función modular f no es idénticamente 0, entonces se puede demostrar que el número de ceros de f es igual al número de polos de f en la clausura de la región fundamental R _Γ .Se puede demostrar que el campo de funciones modulares de nivel N ( N ≥ 1) es generado por las funciones j ( z ) y j ( Nz ). ^[8]

La situación se puede comparar de manera provechosa con la que surge en la búsqueda de funciones en el espacio proyectivo P( V ): en ese contexto, uno idealmente querría funciones F en el espacio vectorial V que sean polinómicas en las coordenadas de v  ≠ 0 en V y satisfagan la ecuación F ( cv ) =  F ( v ) para todo c distinto de cero . Desafortunadamente, las únicas funciones de este tipo son constantes. Si permitimos denominadores (funciones racionales en lugar de polinomios), podemos dejar que F sea el cociente de dos polinomios homogéneos del mismo grado. Alternativamente, podemos quedarnos con los polinomios y relajar la dependencia de c , dejando F ( cv ) =  c ^k F ( v ). Las soluciones son entonces los polinomios homogéneos de grado k . Por un lado, estos forman un espacio vectorial de dimensión finita para cada  k y, por otro, si dejamos que k varíe, podemos encontrar los numeradores y denominadores para construir todas las funciones racionales que son realmente funciones en el espacio proyectivo subyacente P( V ).

Cabe preguntarse, puesto que los polinomios homogéneos no son realmente funciones de P( V ), ¿qué son, geométricamente hablando? La respuesta algebro-geométrica es que son secciones de un haz (también se podría decir un fibrado lineal en este caso). La situación con las formas modulares es precisamente análoga.

Las formas modulares también pueden abordarse de forma provechosa desde esta dirección geométrica, como secciones de haces de líneas en el espacio de módulos de curvas elípticas.

Para un subgrupo Γ del SL(2, Z ) , el anillo de formas modulares es el anillo graduado generado por las formas modulares de Γ . En otras palabras, si M _k (Γ) es el espacio vectorial de formas modulares de peso k , entonces el anillo de formas modulares de Γ es el anillo graduado .${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )}$

Los anillos de formas modulares de subgrupos de congruencia de SL(2, Z ) se generan de forma finita debido a un resultado de Pierre Deligne y Michael Rapoport . Dichos anillos de formas modulares se generan con un peso máximo de 6 y las relaciones se generan con un peso máximo de 12 cuando el subgrupo de congruencia tiene formas modulares de peso impar distinto de cero, y los límites correspondientes son 5 y 10 cuando no hay formas modulares de peso impar distinto de cero.

De manera más general, existen fórmulas para los límites de los pesos de los generadores del anillo de formas modulares y sus relaciones para grupos fuchsianos arbitrarios .

Las nuevas formas son un subespacio de formas modulares ^[9] de un nivel fijo que no se pueden construir a partir de formas modulares de niveles inferiores que dividen . Las otras formas se denominan formas antiguas . Estas formas antiguas se pueden construir utilizando las siguientes observaciones: si entonces se da una inclusión inversa de formas modulares .${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\mid N}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))}$

Una forma de cúspide es una forma modular con un coeficiente constante cero en su serie de Fourier. Se denomina forma de cúspide porque la forma se anula en todas las cúspides.

Hay otros usos del término "función modular", además de este clásico; por ejemplo, en la teoría de medidas de Haar , es una función Δ( g ) determinada por la acción de conjugación.

Las formas de Maass son funciones propias analíticas reales del laplaciano , pero no necesitan ser holomorfas . Las partes holomorfas de ciertas formas de onda débiles de Maass resultan ser esencialmente funciones theta simuladas de Ramanujan . Se pueden considerar grupos que no sean subgrupos de SL(2, Z ) .

Las formas modulares de Hilbert son funciones en n variables, cada una de ellas un número complejo en el semiplano superior, que satisfacen una relación modular para matrices 2×2 con entradas en un campo de números totalmente reales .

Las formas modulares de Siegel se asocian a grupos simplécticos más grandes de la misma manera en que las formas modulares clásicas se asocian a SL(2, R ) ; en otras palabras, se relacionan con las variedades abelianas en el mismo sentido en que las formas modulares clásicas (que a veces se denominan formas modulares elípticas para enfatizar el punto) se relacionan con las curvas elípticas.

Las formas de Jacobi son una mezcla de formas modulares y funciones elípticas. Ejemplos de tales funciones son muy clásicos - las funciones theta de Jacobi y los coeficientes de Fourier de las formas modulares de Siegel de género dos - pero es una observación relativamente reciente que las formas de Jacobi tienen una teoría aritmética muy análoga a la teoría habitual de las formas modulares.

Las formas automórficas extienden la noción de formas modulares a los grupos de Lie generales .

Las integrales modulares de peso k son funciones meromórficas en el semiplano superior de crecimiento moderado en el infinito que no pueden ser modulares de peso k por una función racional.

Los factores automórficos son funciones de la forma que se utilizan para generalizar la relación de modularidad que define las formas modulares, de modo que${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

La función se denomina nebentypus de la forma modular. Funciones como la función eta de Dedekind , una forma modular de peso 1/2, pueden ser abarcadas por la teoría al permitir factores automórficos.${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$

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La teoría de las formas modulares se desarrolló en cuatro períodos:

• En relación con la teoría de las funciones elípticas , a principios del siglo XIX
• Por Felix Klein y otros hacia finales del siglo XIX, cuando se empezó a comprender el concepto de forma automórfica (para una variable).
• Por Erich Hecke, alrededor de 1925
• En la década de 1960, las necesidades de la teoría de números y la formulación del teorema de modularidad en particular dejaron en claro que las formas modulares están profundamente implicadas.

Taniyama y Shimura identificaron una correspondencia 1 a 1 entre ciertas formas modulares y curvas elípticas. Robert Langlands se basó en esta idea para la construcción de su extenso programa Langlands , que se ha convertido en uno de los programas de investigación de mayor alcance y trascendencia en matemáticas.

En 1994, Andrew Wiles utilizó formas modulares para demostrar el último teorema de Fermat . En 2001, se demostró que todas las curvas elípticas eran modulares sobre los números racionales. En 2013, se demostró que las curvas elípticas eran modulares sobre cuerpos cuadráticos reales . En 2023, se demostró que las curvas elípticas eran modulares sobre aproximadamente la mitad de los cuerpos cuadráticos imaginarios, incluidos los cuerpos formados al combinar los números racionales con la raíz cuadrada de los números enteros hasta −5. ^[1]

• Prueba de Wiles del último teorema de Fermat

• Apostol, Tom M. (1990), Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97127-0
• Diamond, Fred; Shurman, Jerry Michael (2005), Un primer curso en formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 228, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0387232294 Conduce a una descripción general de la prueba del teorema de modularidad .
• Gelbart, Stephen S. (1975), Formas automórficas en grupos de Adèle , Annals of Mathematics Studies, vol. 83, Princeton, NJ: Princeton University Press , MR  0379375Proporciona una introducción a las formas modulares desde el punto de vista de la teoría de la representación .
• Hecke, Erich (1970), Mathematische Werke , Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht
• Rankin, Robert A. (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X
• Ribet, K.; Stein, W., Conferencias sobre formas modulares y operadores de Hecke
• Serre, Jean-Pierre (1973), Un curso de aritmética , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 7, Nueva York: Springer-VerlagEl capítulo VII proporciona una introducción elemental a la teoría de formas modulares .
• Skoruppa, NP; Zagier, D. (1988), "Formas de Jacobi y un cierto espacio de formas modulares", Inventiones Mathematicae , 94 , Springer : 113, Bibcode :1988InMat..94..113S, doi :10.1007/BF01394347
• He aquí las formas modulares, la «quinta operación fundamental» de las matemáticas